Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 8
Текст из файла (страница 8)
< Необходимость. Пусть Š— связное подмножество К и тройка точек а, 6, с такова, что а е Е, Ь Е Е, но с ф Е, хотя а < с < 6. Полагая А = (х Е Е ( х < с), В = (х Е Е )х > с), видим,что а е. А, 6 е В, т. е. А ~ О и В ф И и А П В = о. Кроме того, Е = А 0 В и оба множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е. 0 То есть одновременно открытых и замкнутых. Ь 4.
СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Достаточность. Пусть Š— подпространство И, обладающее тем свойством, что вместе с любой парой точек а и Ь ему принадлежит и всякая промежуточная точка отрезка [а, Ь). Покажем, что Е связно. Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е, причем А ф О и В = Е ~ А у4 О. Пусть а Е А и Ь Е В.
Для определенности будем считать, что а < Ь (а ф Ь, так как АПВ = И). Рассмотрим точку с1 = яцр(А й [а, ЬЦ. Поскольку А Э а ( (с1 < Ь Е В, имеем сз е Е. Ввиду замкнутости А в Е заключаем, что с| е А. Рассматривая теперь точку с2 = шЦВ й [сз, ЬЦ, аналогично, ввиду замкнутости В, заключаем, что с2 Е В. Таким образом, а < с1 < с2 < Ь, поскольку сз Е А, с2 Е В и АПВ = О.
По из определений с1 и с2 и того, что Е = А 0 В, теперь вытекает, что ни одна точка интервала [ем с2[ не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е. Таким образом, множество Е не может иметь подмножества А с указанными свойствами, что и доказывает связность Е. ~ь Задачи и упражнении 1. а) Проверьте, что если А--открыто-замкнутое подмножество (Х,т), то В = Х ~ А тоже является таковым. Ь) Покажите, что в терминах объемлющего пространства свойство связности множества можно выразить в следующем виде: подмножество Е топологнческого пространства (Х, т) связно тогда и только тогда, когда в Х нельзя увязать пару открытых (замкнутых) и не пересекающихся множеств Сх~, С" таких,чтоЕПСх ФИ, Ейных ФИ иЕССхОСх.
2. Покажите, что: а) Объединение связных подпространств, имеющих общую точку, связно. Ь) Пересечение связных подпространств не всегда связно. с) Замыкание связного пространства — связно. 3. Группу 04,(п) невырожденных матриц порядка и с вещественными элементами можно рассматривать как открытое подмножество в произведении Й" топологических пространств, если с каждым элементом матрицы связывать свой экземпляр множества 2 действительных чисел. Связно ли пространство Сз. (н)? 4. Топалогнческое пространство называется локально связным, если каждая его точка обладает связной окрестностью.
а) Покажите, что нз локальной связности еще не вытекает связность топологнческого пространства. Ь) Множество Е в й~ есть график функции х «-~ язп — (при х з4 0) плюс отрезок ((х,у) е Кя ~ х = 0 А [у[ < Ц оси ординат. На Е рассматривается вндуцнрованная из и~ топология. Покажите, что получающееся при этом вб ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБ1ЦАЯ ТЕОРИЯ) топологвческое пространство является связным, но не является локально связным. 5. В гл. У11, б 2, и. 2 мы определили связное подмножество Н" как такое множество Е С Й", любые две точки которого можно соединить путем с носителем в Е. В отличие от введенного в настоящем параграфе определения топологической связности, рассмотренное в главе Ъ'П понятие именуется обычно линейной свлзностпью. Проверьте, что: а) Всякое линейно связное подмножество Н" является связным.
Ъ) Не всякое связное подмножество Н" при и > 1 является линейно связным (см. задачу 4). с) Всякое связное открытое подмножество К" является линейно связным. 2 5. Полные метрические пространства В этом параграфе речь будет уже только о метрических пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную роль в различных отделах анализа. 1. Основные определения и примеры, По аналогии с уже известными нам из рассмотрения пространства К" понятиями введем понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек произвольного метрического пространства. Определение 1.
Последовательность (х„;п Е 1Ч) точек метрического пространства (Х,д) называется Яундаменгпальной последовательностью или последоаатпельносгпью Коши, если для любого е > О найдется номер Д1 Н )Ч такой, что при любых номерах т,п Н Ъ1, больших, чем Ж, выполняется соотношение д(хп„х„) < с. Определение 2. Будем говорить, что последовательность (х„; п Е Щ точек мегрического пространства (Х, д) сходигпся к гпочне а е Е Х и что а есть предел этой последовательности, если 1)ш д(а, х„) = О. Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде, называть сходящпмися.
Теперь дадим основное Определение 3. Метрическое пространство (Х,д) называется полнььн, если каждая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся. Пример 1. Множество К действительных чисел со стандартной 15. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 27 метрикой является полным метрическим пространством, что следует кз критерия Коши сходимости числовой последовательности. Пример 2. Если из множества И удалить, например, число О, то в стандартной метрике множество И '1 О уже не будет полным пространством. Действительно, последовательность х„= 1/и, п е И, его точек фундаментальна, но она не имеет предела в И '1 О.
Пример 3. Пространство И" с любой из стандартных метрик в нем является полным, как это было выяснено в гл. 17П, 2 2, п, 1. Пример 4. Рассмотрим множество С[а,Ь] вещественнозначных непрерывных на отрезке [а, Ь] с И функций с метрикой с~(1,д) = п1ах ]1(х) — д(х)] а<х(Ь (см. 2 1, пример 7). Покажем, что метрическое пространство (С[а, Ь],И) является полным.
< Пусть (1„(х);п Е М) — фундаментальная последовательность функций из С[а, Ь], т. е. Че > О 3 М ~ Ы Чт ~ Я Ч и ~ Ы ((т > п А и > М) =~ Чх е [а,Ь] Я (х) — у„(х)] < е)). (2) При каждом фиксированном значении х Е [а, Ь], как видно из (2), числовая последовательность (2'„(х); и Е М) фундаментальна и по критерию Коши имеет определенный предел 7'(х). Итак, 1(х):.= Бш 1„(х), х Е [а,Ь].
(3) Проверим, что функция 7'(х) непрерывна на [а, Ь], т. е. ~ Е С[а, Ь]. Из (2) и (3) следует, что при п > Ж выполнено неравенство !,1(х) — 1„(х)/ < е, '7 х Е [а, Ь]. (4) Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность точек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной последовательностью, то в определении полного метрического пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия Коши сходимости последовательности.
28 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Фиксируем точку х Н [а, Ь] и проверим непрерывность функции / в этой точке. Пусть смещение Ь таково, что (х+ Ь) Н [а, Ь]. Из тождества У(х + Ь) — /(х) = /(х + Ь) — ~п(х + Ь) + У„(х + Ь) — /п(х) + / (х) — /(х) вытекает неравенство [У(х + Ь) — У( ) [ < < )/(х+ Ь) — /„(х+ Ь)[+ [/„(х+ Ь) — /„(х)[+ [/„(х) — /(х)[.
(5) Итак, пространство С[а, 6] с метрикой (1) является полным метрическим пространством. Это очень важный и широко используемый в анализе факт. Пример 5. Если на том же множестве С[а, Ь] вместо метрики (1) рассмотреть интегральную метрику 4/, д) = [/ — д[(х) с1х, а (6) то возникающее метрическое пространство уже не будет полным. Ради простоты обозначений положим [а, Ь] = [ — 1, Ц и рассмотрим, к примеру, последовательность (/„Н С[ — 1, Ц; п Н 1Ч) функций, определенных следующим образом: — 1, если — 1 < х < — 1/п, / (х) = пх, если — 1/п <х <1/и, 1, если 1/п <х <1 (рис.
67). Крайние члены правой части последнего неравенства в силу (4) не превосходят е, если п > М. Фиксировал и > г1, получаем функцию У„Н С[а, Ь] и, подбирая 6 = а(с) так, что при [Ь~ < а выполняется ]/ (х+Ь) — У„(х)] < с, получаем, что [/(х+Ь) — /(х)[ < Зс, если [Ь/ < б. Но это и означает, что функция / непрерывна в точке х. Поскольку точка х была произвольной точкой отрезка [а, Ь], мы показали, что / Е С[а,Ь]. ь 1 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29 Из свойств интеграла непосредственно вытекает, что эта последовательность фундаментальна в смысле метрики (6) в С[ — 1, Ц. Вместе с тем она не имеет предела в С[ — 1, Ц, ибо если бы непрерывная функция / Е С[ — 1, Ц была пределом указанной последовательности в смысле метрики (6), то на промежутке — 1 < х < 0 функция / должна была бы быть постоянной, равной — 1, а на промежутке 0 < < х < 1 †постоянн, равной 1, что несовместимо с непрерывностью / в точке х=О.
ь Рис. 67. Пример 6. Несколько труднее показать, что даже множество К[а, Ь] определенных на отрезке [а,б] вещественнозначных интегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в смысле метрики (6) ">. Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега интегрируемости функции по Риману. В качестве [а,б] возьмем отрезок [О, Ц и построим на нем такое канторовское множество, которое не является множеством меры нуль. Пусть сз Е]0, 1/3[. Удалим из отрезка [О, Ц среднюю его часть длины Ь, точнее, Ь/2-окрестность середины отрезка [О, Ц. На каждом из оставшихся двух отрезков удалим среднюю часть длины Ь 1/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
