Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. > Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое подмножество У компактпа К само лвляетсл компакпвом, ~ Пусть (С„, а Е А) — открытое покрытие У. Добавив к нему открытое множество С = К 1.е', получим открытое покрытие всего компакта К. Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие К.
23. КОМПАКТЫ 21 Поскольку С 11.г' = И, то, значит, из системы (С„, а Е А) выделяется конечное покрытие множества с. > 2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств, являющихся компактами, относительно топологии, индуцированной метрикой. Определение 2. Говоря г, что множество Е С Х является е-сетью в метрическом пространстве (Х,д), если для любой точки х е Х найдется точка е Е Е такая, что д(е, х) ( е.
Лемма 4 (о конечной е-сети). Если метрическое пространство (К,д) — компакт, то для любого е > О в нем имеется конечная е-сеть. ~ Для каждой гочки х Е К берем открытый шар В(х, е). Из открытого покрытия К зтими шарами выделяем конечное покрытие В(х1, е), ..., В(х„, е). Точки х1,..., х„, очевидно, образуют искомую е-сеть. ~ Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из произимьной последовательности извлекают сходящуюся подпоследовательность.
Оказывается, справедливо следующее Утверждение 2 (критерий метрического компакта). Метрическое пространство (К, а) яв ьяется компактом в том и только в том случае, когда из любой последовательности его точек можно извле чь подпоследова1пельность, сходяи1уюся к некоторой точке из К. Сходимость последовательности (х„) к некоторой точке а Е К, как и прежде, означает, что для любой окрестности У(а) точки а 6 К найдется номер М Е г1 такой, что при и > Ж будем иметь х„Е Г1(а).
Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в 2 б. Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы. Лемма 5, Если метрическое пространство (К,д) таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходяи1уюся в К подпоследовательность, то для любого е > О имеется конечная е-сеть. м Если бы для некоторого ео > О в К не было конечной ео-сети, то в К можно было бы построить последовательность (х„1 точек так, что д(х„,х,) > ео при любом п Е 1ч и любом значении г 6 (1,..., и — 1).
22 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. ~ Лемма 6. Если метрическое пространство (К,д) таково, что из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то любая последовательность вложеннььх замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет непустое пересечение.
м Если У1 3 ... ~ У„.э ... — указанная последовательность замкнутых в К множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим последовательность х1,..., х„,..., из которой извлечем сходящуюся подпоследовательность (х„, ). Ее предел а й К по построению обязан принадлежать каждому из замкнутых множеств Уп 1 Е И.
> Теперь докажем утверждение 2. ~ Сначала проверим, что если (К, д) — компакт, а (х„) — последовательность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке К. Если последовательность (х„) имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно, поэтому можем считать, что последовательность (х„1 имеет бесконечно много различных значений. Для е1 = 1/1 строим конечную 1-сеть и берем тот замкнутый шар В(аь, 1), который содержит бесконечное число членов последовательности. По лемме 3 шар В(аы 1) сам является компактом, в котором существует конечная ез = 1/2 сеть и ее шар В(аз,1/2), содержащий бесконечно много элементов последовательности.
Так возникает последовательность В(а1,1) З В(аг,1/2) Э ... Э Э В(а„, 1/п) Э ... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую точку а Е К. Выбирая в шаре В(а1,1) точку х„„последовательности (х„1, затем в шаре В(ав, 1/2) точку х„„последовательности с номером п2 > п1 и т.д., получим подпоследовательность (х„,), которая по построению сходится к а. Докажем теперь обратное утверждение, т.е.
проверим, что если из любой последовательности (х„) точек метрического пространства (К, д) можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то (К, а) — компакт. В самом деле, если из некоторого открытого покрытия (С„, а Е А) пространства (К, д) нельзя выделить конечное покрытие, то, построив в силу леммы 5 конечную .'-сеть в К, найдем замкнутый шар В(а1,1), 13. КОМПАКТЫ 23 который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы (С,„, а е А).
Этот шар В(ам 1) теперь можно считать исходным множеством и, построив в нем конечную 1/2-сеть, найдем в нем шар В(а2, 1/2), который не допускает конечного покрытия множествами системы (С, сг Е е А). Получаемая таким образом последовательность вложенных замкнутых множеств В(а1,1) ~ В(а2,1/2) З ... Э В(о„,1/п) З ... в силу леммы 6 имеет, и как видно из построения, только одну общую точку а Е К. Эта точка покрыта некоторым множеством Соь нашей системы, и, поскольку Со, открыто, все множества В(а„,1/и) при достаточно больших значениях п должны лежать в С,. Полученное противоречие завершает доказательство утверждения 2.
~ Задачи н упражнении 1. Подмножество метрического пространства называется вполне ограяичеяямм, если для любого е > 0 оно имеет конечную е-сеть. а) Проверьте, что полная ограниченность множества не зависит от того, формируется ли с-сеть из точек самого множества или из точек объемлющего пространства. Ь) Покажите, что подмножество метрического пространства является компактом тогда н только тогда, когда оно вполне ограничено в замкнуто. с) Покажите на примере, что замкнутое ограниченное множество метрического пространства не всегда вполне ограничено и, значит, не всегда является компактом, 2.
Подмножество топологического пространства называется отияоситаельно колпактивььн, если его замыкание является компактом. Приведите примеры относительно компактных подмножеств П". 3. Топологическое пространство называется локально компактяььк, если каждая точка зтого пространства имеет относительно компактную окрестность. Приведите примеры локально компактных, но не компактных топологических пространств. 4. Покажите, что для любого локально компактного, но не компактного топологнческого пространства (Х, гх) найдется такое компактное топологнческое пространство (1;гг), что Х С У, а У ~ Х состоит из одной точки и пространство (Х, тх) является подпространством топологического пространства (У, тг).
24 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) З 4. Связные топологические пространства Определение 1. Топологическое пространство (Х, т) называется селзным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств0, кроме самого Х и пустого множества. Это определение становится более прозрачным с точки зрения нашей интуиции, если ему придать следующую форму.
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда его нельзя представить в виде объединения двух его непустых замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек. Определение 2. Множество Е в топологическом пространстве (Х, т) называется связным, если оно связно как топологическое надпространство (Х,т) (с индуцированной топологией). Из зтого определения и определения 1 вьггекает, что свойство множества Е быть связным не зависит от объемлющего пространства. Точнее, если (Х,тх) и (У, ту) — топологические пространства, содержащие Е и индуцирующие на Е одну и ту же топологию, то Е связно или нет одновременно как в Х, так и в У. Пример 1. Пусть Е = (х Е К ) х ф О).
Множество Е = (х Е Е ! х < О) непусто, не совпадает с Е и в то же время открыто-замкнуто в Е (как и Е+ — — (х е Е ~ х > О)), если рассматривать Е как топо- логическое пространство с топологией, индуцированной стандартной топологией К. Таким образом, Е не связно, как и подсказывает наша интуиция. зтверждение (о связных подмножествах К). Непустое множестпво Е С К связно тогда и только тогда, когда длл любых х, г, принадлежащих Е, из х < у < г следует, что у Е Е. Таким образом, на прямой связными являются только промежутки (конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
