Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 4
Текст из файла (страница 4)
д. Таким образом, если разбить Я[а, 6] на классы эквивалентных функций, причем функции из И[а,Ь] считать эквивалентными, если они отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности к[а, 6] таких классов эквивалентности соотношение (7) действительно задает метрику. Множество %[а, Ь], наделенное этой метрикой, обозначается через Йр[а, 6], а иногда и просто через кр[а, Ь]. Пример 10. В множестве СРВ[а,Ь] функций, определенных на [а, 6] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка Й включительно, можно определить следующую метрику: 6 ГЛ 1Х, НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБН1АЯ ТЕОРИЯ) Напомним эти основные для дальнейшего понятия.
Определение 2. При б > 0 и а Н Х множество В(а,д) = (х Н Х ] д(а,х) < о1 называется шаром с центром а Н Х радиуса Ь или также 5-окрестностью точки а. В случае общего метрического пространства это название удобно, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим образом, к которому мы привыкли в Кз. Пример 11. Единичный шар в С[а,Ь] с центром в функции, тождественно равной нулю на [а, Ь], состоит из тех функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], модуль которых меньше единицы на этом отрезке.
Пример 12. Пусть Х вЂ” единичный квадрат в Кз, расстояние между точками которого определяется как расстояние между этими же точками в К~. Тогда Х является метрическим пространством, причем взятый сам по себе квадрат Х с такой метрикой можно считать шаром любого радиуса р > ~/2/2 относительно своего центра. Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой формы.
Так что термин шар не следует понимать слишком буквально. Определение 3. Множество С с Х называется открытым в метрическом пространстве (Х, д), если для любой точки х Н С найдется шар В(х, Ь) такой, что В(х, 6) С С. Из этого определения, очевидно, следует„что само Х вЂ” открытое в (Х, с~) множество; пустое множество И также открыто. Теми же рассуждениями, что и в случае К", можно доказать, что шар В(а,г) или его внешность (х Н Х [ с((а,х) > г1 суть открытые множества. (См. гл.
ИП, 6 1, примеры 3, 4.) Определение 4. Множество У с Х называется замкнутььи в (Х, д), если его дополнение Х 1 У' открыто в (Х, д). В частности, отсюда заключаем, что замкнутьп1 шар В(а,т):= (х Н Х ] а(а,х) < т'1 является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (Х, д). 11. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Для открытых и замкнутых множеств в метрическом пространстве (Х, ьь) справедливо зтверждение 1. а) Объединение О Са множеств любой си- аЕА стемы (С, ст Е А) множеств Са, открытпых в Х, явл етсл множеством, открьппым в Х. Ь) Пересечение П С„конечного числа множеств, отпкрытых в Х, ь=1 является множеством, открытым в Х. а') Пересечение П з-а множеств любой системы (У;„тз е А) мно- аЕА жесте Уа, замкнутых в Х, является множеством, замкнутпым в Х.
Ь') Объединение Ц У; конечного числа множеств, замкнутых в Х, ь=1 является множеством, замкнутым в Х. Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств в Кп, и мы его опускаем. (См. гл. Ъ'П, ~ 1, утверждение 1.) Определение 5. Открытое в Х множество, содержащее точку х е Х, называется окрестностью этой точки в Х.
Определение 6. Точка х Е Х по отношению к множеству Е с Х называется внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой своей окрестностью; внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополнения к Е в Х, граничной тпочкой Е, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой по отношению к Е (т.е. если в любой окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие,так и точки, не принадлежащие множеству Е). Пример 13. Все точки шара В(а,т) являются его внутренними точками, а множество СхВ(а, г) = Х 1 В(а, г) состоит из точек, внешних по отношению к шару В(а, г).
В случае пространства Кп со стандартной метрикой д в Кп сфера 8 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) В(а,г) = (х Н хс' ~ й(а,х) = г ) 01 является множеством граничных точек шара В(а, т)Ц. Определение 7. Точка а Н Х называется предельной для множества Е С Х, если для любой ее окрестности 0(а) множество Е Г1 0(а) бесконечно. Определение 8. Объединение множества Е и всех его предельных точек в Х называется замыканием множества Е в Х.
Как и прежде, замыкание множества Ь' с Х будем обозначать через Е. о'тверждение 2. Множество У с Х замкнуто в Х тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. Итак, (У замкнуто в Х) е== (У' = У в Х). Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет доказательство аналогичного утверждения в случае, когда Х = Ко, изложенного в гл.
Ъ'П, 21. 3. Подпространство метрического пространства. Если (Х,д) — метрическое пространство, Ь' — подмножество Х, то, полагая для любой пары точек х1, х2 из Е расстояние равным д(х1, хэ), т. е. расстоянию между этими точками в Х,мы получим метрическое пространство (Ь', й), которое по отношению к исходному пространству (Х, а) принято называть подпространством. Итак, мы принимаем следующее Определение 9. Метрическое пространство (Хы д1) называется подпространством метрического пространства (Х,д), если Х1 С Х и для любой пары точек а, 6 множества Х1 справедливо равенство 4(а, Ь) = д(а, Ь).
Поскольку шар В1(а, г) = (х Е Х1 ~ д1(а, х) С г) в подпространстве (Х1, д1) метрического пространства (Х, д), очевидно, является пересечением В1 (а, т) = Х1 П В(а, г) ОВ связи с примером 13 сьс также задачу 2 в конце этого параграфа. 11. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО множества Х1 С Х с шаром В(а,т) в Х, то всякое открытое в Х1 множество имеет вид 01 — — Х~ ОС, где С вЂ” множество, открытое в Х, а всякое замкнутое в Х1 множество У~ имеет вид У'1 =ХНУ, где У вЂ” множество, замкнутое в Х.
Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в метрическом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и зависит от этого объемлющего пространства. Пример 14. Интервал [х[ ( 1, у = 0 оси абсцисс плоскости Кг со стандартной метрикой в и~ является метрическим пространством (ХПА1), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Хь Вместе с тем очевидно, что Х1 не является замкнутым множеством в й' = Х. Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества также относительно.
Пример 15. Множество С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь) функций с метрикой (7) является подпространством метрического пространства Яр[а, Ь). Однако. если на С[а, Ь) рассматривать метрику (б), а не (7), то это уже не будет иметь место. 4. Прямое произведение метрических пространств. Если (Хн 4) и (Хг, дг) — два метрических пространства, то в прямом произведении Х| х Хг можно ввести метрику И. Наиболее распространенные способы введения метрики в Х1 х Хг состоят в следующем.
Если (хн хг) Е Х1 х Хг и (х1, х!г) б Х1 х Хг, то можно положить п((хп хг), (х1, хг)) = о((х1, хг), (х[1 хг)) = 01(х1, х[) + Йг(хг, хг), или о((х1, хг) ~ (х1, хг)) = щзх(о1(х1, х[), Йг(хг, хг)). 10 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику на Х1 х Хз. Определение 10. Если (Х1,д1), (Хз,с(з) — два метрических пространства, то пространство (Х1 х Хз, с(), где с(-- введенная любым из указанных выше способов метрика в Х1 х Хз, будем называть прямым произведением исходных мстричсскох пространств. Пример 16. Пространство К~ можно считать прямым произведением двух метрических пространств К со стандартной метрикой на К, а метрическое пространство Кз есть прямое произведение К~ х К1 метрических пространств К~ и К' = К.
Задачи и упражнения 1. а) Развивая пример 2, покажите, что если /: К~. — 1 К+ — непрерывная строго выпуклая вверх функция, причем /(О) = О, а (Х, д) — метрическое пространство, то на Х можно определить новую метрику ду следующим соотношением: ду(хы хз) = /(д(х„хз)).
Ъ) Покажите, что на любом метрическом пространстве (Х, д) можно ввести метрику д'(хы хз) = ~Я „* '*, в которой расстояния между точками ие 1-~-В хыхз будут превосходить единицу. 2. Пусть (Х,д) — метрическое пространство с указанной в начале примера 2 тривиальной (дискрехокой) метрикой, н пусть а Б Х. Каковы в данном случае множества В(а, 1/2), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 1), В(а, 3/2) и множества (х Е Х ~ а(а, х) = 1/2), (х Е Х ~ д(а, х) = Ц, В(а, 1) 1 В(а, 1), В(а, 1) 1 В(а, 1)? 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
