Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Элементы векторного анализа и теории поля... 303 ЧН1 ОГЛАВЛЕНИЕ 3 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях . 1. Касательное пространство к многообразию в точке (397). 2. Дифференциальная форма на многообразии (401). 3. Внешний дифференциал (404). 4. Интеграл от формы по многообразию (405).
5. Формула Стокса (407). Задачи и упражнения 397 з 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 1. Теорема Пуанкаре (415). 2. Гомологии и когомологии (419). Задачи и упражнения 415 З 1. Потачечная и равномерная сходимость................ 428 1. Поточечная сходимость (428). 2. Постановка основных вопросов (429). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящих от параметра (432).
4, Критерий Коши равномерной сходимости (436). Задачи и упражнения 437 3 2. Равномерная сходимость рядов функций............... 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда (438). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда (441), 3. Признак Абеля-Дирихле (443). Задачи и упражнения 438 448 3 3. Функциональные свойства предельной функции 1. Конкретизация задачи (449). 2. Условия коммутирования двух предельных переходов (450) 3. Непрерывность и предельный переход (452). 4.
Интегрирование и предельный переход (456). 5. Дифференцирование и предельный переход (458). Задачи и упражнения 449 464 * ~4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций 468 1. Теорема Арцсла — Асколи (468). 2. Метрическое пространство С(К, 1') (471).
3. Теорема Стоуна (473). Задачи и упражнения 476 Глава ХЧ1. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций............ 428 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава ХЪ11. Интегралы, зависящие от параметра. ~ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра .........
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (479). 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра (480). 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра (482). 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра (486).
Задачи и упражнения 479 32. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра (489). 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра (499). 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру (502). 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (505). Задачи и упражнения 489 511 13. Эйлеровы интегралы . 1. Бета-функция (515). 2. Гамма-функция (517). 3. Связь между функциями В и Г (521).
4. Некоторые примеры (522). Задачи и упражнения 515 524 3 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра (561). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (562). 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью (564). *4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае (569). Задачи и упражнения 561 582 ~ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях 528 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения) (528).
2. Некоторые общие свойства свертки (531). 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная теорема Вейерштрасса (535). я 4. Начальные представления о распределениях (542). Задачи и упражнения 554 х ОГЛАВЛЕНИЕ Глава ХУ|11. Ряд Фурье и преобразование Фурье 587 ~1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье 1.
Ортогональные системы функций (587). 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье (595). * 3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе (608). Задачи и упражнения 587 613 ~ 2. Тригонометрический ряд Фурье 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье (620). 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье (625) . 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье (635). 4. Полнота тригонометрической системы (641).
Задачи и упражнения 620 649 3 3. Преобразование Фурье .. 1. Представление функции интегралом Фурье (658). 2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобразования Фурье (674). 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье (677). 4. Примеры приложений (684).
Задачи и упражнения 658 690 Глава Х1Х. Асимптотические разложения. 698 701 715 ~ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа).............. 1. Идея метода Лапласа (718). 2. Принцип локализации для интеграла Лапласа (722). 3. Канонические интегралы и их асимптотика (725). 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа (729). *5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа (732). Задачи и упражнения 718 745 Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов 753 Вопросы к экзамену з 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд........ 1.
Основные определения (701). 2. Общие сведения об асимптотических рядах (707). 3. Степенные асимптотические ряды (712). Задачи и упражнения ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРЕИЗДАНИЯМ В четвертом издании устранены замеченные опечатки. Москва, 2002 год В. Зорич Третье издание отличается от второго лишь локальной правкой (хотя в одном случае она состояла даже в исправлении доказательства), а также добавлением нескольких, как мне представляется, полезных задач.
В. Зорич Москва, 2001 год Отличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что исправлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах состоят в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые разделы отдельных тем (например, это коснулось рядов и преобразований Фурье). Даны более прозрачные доказательства отдельных важных теорем (например, общей теоремы о конечном приращении). Включены некоторые новые примеры приложений и новые содержательные задачи, примыкающие к соответствующим разделам теории и порой заметно расширяющие ее.
Приведены экзаменационные вопросы, а также вопросы и задачи коллоквиумов. Расширен список дополнительной литературы. Дальнейшие сведения о материале и некоторых особенностях этой второй части курса даны ниже в предисловии к первому изданию. В. Зорич Москва, 1998 год ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В предисловии к первой части была дана достаточно подробная характеристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по содержанию лишь этой второй его части. Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до общей формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой стороны, аппарат рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий ряды Фурье, преобразование Фурье и представления об асимптотических разложениях. Таким образом, эта часть 11 в основном соответствует программе второго года обучения на математических факультетах университетов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух больших тем по семестрам, я изложил их практически независимо. Главы 1Х и Х, с которых начинается эта книга, в сжатом и общем виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было получено в первой части в отношении непрерывных и дифференцируемых функций. Они отмечены звездочкой и написаны как дополнение к первой части.
В нем, однако, содержится много таких понятий, которые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа математикам. Наличие этих двух глав делает вторую книгу формально почти независимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен, чтобы при чтении этих двух глав обойтись без многочисленные примеров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали излагаемому здесь формализму. Основной новый материал книги, посвященный интегральному ис- ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х1Ъ' числению функций многих переменных, начинается с главы Х1, с которой, собственно, без потери связности восприятия после первой части можно читать эту вторую часть курса.
При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала на элементарном материале вводятся все основные геометрические понятия и аналитические конструкции, которые потом составляют лестницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
