Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных форм на многообразиях посвящена глава ХЪ', которую я рассматриваю как весьма желательное систематизирующее дополнение к изложенному и разъясненному на конкретных объектах в обязательных для изучения главах Х1 — Х1Ъ'. В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от параметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. Х1Х) начальные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов, поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности, аппарат анализа.
Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы, которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой. Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже вышедшей из печати первой части. Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, которые не упоминались в первой части, Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства отмечаются знаками < и ° соответственно, а когда зто удобно, определения вводятся специальными символами:= или =: (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со стороны определяемого объекта, Сохраняя традиции части 1, в этой книге много внимания уделено как прозрачности и логической четкости самих математических конструкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных приложений развиваемой теории.
Москва, 1982 год В. Зорич я ГЛАВА ГХ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свойства непрерывных отображений, которые бь|ли ранее установлены для числовых функций и отображений типа у": К вЂ” > К". При этом будет введен ряд простых, но важных понятий, имеющих общематематическое употребление. ~ 1. Метрическое пространство 1. Определение и примеры Определение 1. Говорят, что множество Х наделено метрикой или структурой метрического пространства, или что Х есть метрическое пространство, если указана функция удовлетворяющая условиям а) д(хыхг) = 0 св х1 = хг, Ь) сК(хм ха) = сЮ(хв, х1) (симметричность), с) й(хп ха) < д(хп хх) + д(хг, ха) (неравенство треугольника), где хп х2, ха — произвольные элементы Х. Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием в Х.
Таким образом, метрическое пространство есть пара (Х,в), со- стоящая из множества Х и заданной на нем метрики. 2 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Элементы множества Х в соответствии с геометрической терминологией обычно называют точками. Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить хз = х1, то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что 0< ((х1бх2), т.е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), Ь), с), неотрицательно. рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. Множество К действительных чисел становится метрическим пространством, если для чисел х1, х2 положить д(х1,х2) = = ~х1 — х2~, как мы зто всегда и делали.
Пример 2. На К можно ввести и много других метрик. Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми двумя различными точками расстояние полагается равным единице. Значительно содержательнее следующая метрика на К. Пусть х б-+ б-1 у(х) — определенная для х > 0 неотрицательная функция, обращающаяся в нуль лишь при х = О. Если зта функция строго выпукла вверх, то, полагая для точек х1, х2 Н К (2) а(х1,х2) = Ях1 — х2~), получим метрику на К. Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что,как легко проверить, 1 строго монотонна и при 0 < а < 6 удовлетворяет неравенствам 1(а+ 6) — 1(6) < 1(а) — 1(0) = 1(а).
В «, б б " б(» ~)=бб~ Й 4х1 х2) = *' *2 . В последнем случае расстояние между любыми 1+ ~х1 — х2 ' точками прямой меньше единицы. Пример 3. В К", кроме традиционного расстояния УЪ а(х1, х2) = Е !х1 х2)2 б=1 11 МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО между точками х1 = (х11,..., х1), ха = (х~~,..., х~), можно ввести рас- стояние и 1/р др(х1 ха): ~) ]х1 ха]Р ~=1 (4) где р > 1. То, что для функции (4) выполнено неравенство треугольни- ка, вытекает из неравенства Минковского (см.
гл. Ъ', ~ 4, п. 2). Пример 5. 11ри сравнении результатов двух серий из и однотипных жьмерений чаще всего используют метрику (4) при р = 2. Расстояние между точками в втой метрике называют обычно их средним квадратичным уклонением. Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход при р -+ +ос, то, как легко видеть, получается следующая метрика в К": д(х1,ха) = шах ]х1 — х2~.
1< <и (5) Пример 7. Множество С1а, 6] функций, непрерывных на отрезке, становится метрическим пространством, если для функций 1, д из С(а, 6] положить д(1,д) = шах /1(х) — д(х)/. (б) а<а<Ь Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с искаженными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление ошибок и получение слова --операция не всегда однозначная, и потому при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той расшифровке искаженного текста, для получения которой потребуется сделать меньше исправлений.
В соответствии со сказанным в теории кодирования на множестве всех последовательностей длины и, состоящих из нулей и единиц, используется метрика (4) при р = 1. Геометрически множество таких последовательностей интерпретируется как множество вершин единичного куба 1 = (х Е Кн ] О < < х' < 1,ь = 1,...,и) в Р'. Расстояние между двумя вершинами - зто число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из координат одной из зтих вершин координаты другой вершины. Каждая такая перемена есть переход вдоль одного из ребер куба.
Таким образом, рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами. 4 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что ]5(х) — Ь(х)[ < [1(х) — д(х)! + [д(х) — Ь(х)! < д(~,д) + е((д, Ь), т.
е. ЙЦ,Ь) = шах [1(х) — Ь(х)[ < ЙЦ,д) + д(д,Ь). а(х<в Пример 8. Подобно метрике (4) в С[а, 6] при р > 1 можно ввести метрику Ь 1,~р др(~, д) = [7 — д['(х) Нх а (7) То,что при р ) 1 это действительно метрика, следует из неравенства Минковского для интегралов, получающегося предельным переходом из неравенства Минковского, которое можно написать для интегральных сумм. Особо важными частными случаями метрики (7) являются: при р = = 1 — интегральная метрика; при р = 2 — метрика среднего квадратичного уклонения; при р = +ос равномерная метрика.
Пространство С[а,6], наделенное метрикой (7), часто обозначают символом С„[а,6]. Можно проверить, что С,[а,6] есть пространство С[а, 6], наделенное метрикой (6). Пример 9, Метрику (7) можно было бы использовать также на множестве Я[а, 6] функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, 6]. Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то аксиома а) в этом случае не будет выполнена.
Мы знаем, однако, что интеграл от неотрицательной функции у Н К[а, 6] равен нулю тогда и только тогда, когда у(х) = 0 почти во всех точках отрезка [а, 6]. Метрика (б) ---так называемая равномернац или чебышевеная, мещрина в С[а, 6] ---используется тогда, когда мы желаем заменить одну функцию другой, например, полиномом, по которой можно было бы вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой точке х Н [а,6].
Величина е((у,д) как раз характеризует точность такого приближенного расчета. Метрика (б) в С[а, 6] очень схожа с метрикой (б) в М'. Ь 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО д(У,д) = шах(Мш...,Мь), (8) где М, = шах [,1 "~(х) — д~'~(х)[, ь = 0,1,...,Ь. а<х<Ь Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть метрика. Предположим, например, что у' есть координата движущейся точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый район пребывания точки в промежуток времени [а, 6] и запрещается превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны превышать определенный уровень, то естественно рассмотреть для функции 1 Е С~~)[а, Ь) набор ( шах [7(х)[, шах [1'(х)[, шах ~~а(х)~) и по этимха- а<а<а а<х<Ь а<х<Ь рактеристикам два движения 7", д считать близкими, если величина (8) для них мала.
Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же множество можно метризовать различными способами. Введение той или иной метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы будем интересоваться самыми общими свойствами метрических пространств, присущими им всем. 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства. Пусть (Х, ь() — метрическое пространство. Подобно тому, как зто было сделано в главе Ъ'П, з 1 для случая Х = Ка, в общем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной точке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки, предельной точки множества и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
