Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Замечание 2. Построение множества )к действительных чисел, исходя из множества 44 рациональных чисел, можно было бы провести в полном соответствии с проведенньпи выше в общем виде построением пополнения метрического пространства. Именно так переход от 4й к К был осуществлен Кантором.
Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство тс(а, Ь] интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство Е(а, Ь) функций, интегрируемых по Лебегу. Задачи и упражнения 1. а) Докажите следующую лемму о вложенных шарах. Пусть (Х,а) — метприческое простпранстпво и В(хмтт) Э ... Э В(х„,т„) 3 ...— последоватпельность замкнутых вложенных шаров в Х, радиусы которых стремлтсл к нулю. Пространство (Х, д) полно тпогда и только тогда, когда длл любой такой последоватпельности существует, и притом единственная, тпочка, принадлежащая всем шарам этой последовательности.
Ь) Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы исключить требование со -+ О прн и -+ оо,то пересечение последовательности вложенных шаров может оказаться пустым даже в полном пространстве. 2. а) Множество Е с Х метрического пространства (Х,д) называется нигде не плотным в Х, если оно не плотно нн в одном шаре, т.е.
если для любого шара В(х, г) найдется другой шар В(хм гт) С В(х, г), свободный от точек множества Е. Множество Е называется множестпвом первой катпегории в Х, если его можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. 16. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Множество, не являющееся множеством первой категории, называют множеством второй катпезории в Х. Покажите, что полное метрическое пространство есть множество второй категории (в себе). Ь) Покажите, что если функция ~ Е С1 1(а, Ь) такова, что Чх Е [а, Ь) Вп Е 1Ч Чт > и ф 1(х) = 0), то функция у — многочлен. ~ 6.
Непрерывные отображения топологических пространств Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки зрения анализа результаты настоящей главы. Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены, являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже хорошо известных нам понятий и утверждений на случай отображений произвольных топологических или метрических пространств. Для многих фактов при зтом оказываются почти идентичными с уже рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в зтих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие утверждения, изложенные подробно ранее.
1. Предел отображения а. Основное определение и его частные случаи Определение 1. Пусть |: Х вЂ” ~ У вЂ” отображение множества Х с фиксированной в Х базой В = 1В) в топологическое пространство У. Говорят, что точка А е У является пределом отображения )': Х вЂ” + У ио базе В и пишут 11ш )'(х) = А, если для любой окрестности У(А) н точки А в У существует злемент В н В базы В, образ которого при отображении )' содержится в У(А).
В логической символике определение 1 имеет вид 1пп)'(х) = А:= ЧУ(А) С У В В Н В (У(В) С У(А)). Чаще всего нам будет встречаться случал, когда Х, как и У,— топологическое пространство, а  — база окрестностей или проколотых окрестностей некоторой точки а Е Х. Сохраняя для базы проколоо тых окрестностей (П (а)) точки а прежнее обозначение х — ~ а, можно Зб ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) конкретизировать определение 1 для этой базы: 1пп У(х) = А:= Ч У(А) с У 3 У (а) С Х ( 1'(Ь' (а)) С У(А)). Если (Х,дх) и (У,ду) — метрические пространства, то последнее определение можно переформулировать уже на языке в — б: 1пп Дх) = А:= Чг > О 3 б > О Чх Н Х а — >а (О < дх(а,х) < б =ь дг(А,Дх)) < г).
Иными словами, !пп у(х) = А л=ь 1пп ду(А, у(х)) = О. Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно определить понятие предела отображения у:Х -+ У в топологическое или метрическое пространство У так же, как это было сделано в случае У = К илн, более общо, в случае У = К".
Ь. О свойствах предела отображения. Сделаем некоторые замечания относительно общих свойств предела. Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой единственность предела в случае, когда У не является хаусдорфовым пространством, уже не имеет места. Если же У вЂ” хаусдорфово пространство, то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не отличается от уже проведенного в частных случаях У = К или У = К". Далее, если 1: Х -+ У вЂ” отображение в метрическое пространство, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает ограниченность множества 1(Х) в У) и о финальной ограниченности отображения по базе В в Х (что означает существование элемента В базы В, на котором 1 ограничено). Из самого определения предела отображения вытекает, что если отображение 1: Х -+ У множества Х с базой В в метрическое пространство У имеет предел по базе В, то оно финально ограничено по этой базе.
с. Вопросы существования предела отображения о'твержденне 1 (о пределе композиции отображений). 1Хдсть У вЂ” множество с базой ВР, а д: У вЂ” + Л' — отображение У в топологичесное пространство л, имеющее предел по базе Ву. 1 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 37 Пусть Х вЂ” множество с базой Вх и 1': Х -т У вЂ” такое отпображение Х в У, чтпо для любого элементов Ву Н Ву базы Ву суитествуетп элемента Вх Е Вг базы Вх, образ котпорого содержитпся в Ву, т. е. ДВх) С Ву.
При этих условиях композииия д о т': Х -+ Я отпображений у" и д определена, имеетп предел по базе Вх и 1ппд о т'(х) = 1ппд(у), нх ну Доказательство см. в гл. 111, б 2, теорема 5. Другим важным утверждением о существовании предела является критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь будет идти уже об отображении т': Х -+ У в метрическое и даже в полное метрическое пространство. В случае отображения у: Х вЂ” + У множества Х в метрическое пространство (У, д) естественно принять следующее Определение 2. Колебанием отображения ~: Х + У на множестве Е с Х называется величина ьтЦ, Е) = впр д®хт), У(хг)). хьхтЕЕ Имеет место Утверждение 2 (критерий Коши существования предела отображения). Пустпь Х вЂ” множестпво с базой В, т: Х -+ У вЂ” отпображение Х в полное метприческое простпранство (У,д). Длл того, чтпобы отображение ~ имело предел по базе В, необходимо и достатпочно, чтобы для любого е > О нашелся такой элемент В базы В, на котором колебание отпображения меньше е.
Короче: В 11шу(х) «=» Че > О Л В ~ В (ьт(у, В) ( е). и Доказательство см. в гл.1П, б 2, теорема 4. Полезно заметить, что полнота пространства У нужна только при переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того, если У не является полным пространством, то именно этот переход, вообще говоря, невозможен.
38 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) 2. Непрерывные отображения а. Основные определения Определение 3. Отображение (: Х -+ У топологического пространства (Х, тх) в топологическое пространство (У, ту) называется непрерывнььм в тоже а Е Х, если для любой окрестности Ъ'(у(а)) С У точки у(а) Е У найдется окрестность (т(а) С Х точки а Е Х, образ которой т ((,т(а)) содержится в $'(,т (а)). Итак, у: Х -т У непрерывно в а Е Х:= = ьт' Ъ'(((а)) 3 ьь'(а)ЦЯ1(а)) с Щ(а))). В случае, если Х и У вЂ” метрические пространства (Х, дх), (У, ду), определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке г — 6: у: Х вЂ” ь У непрерывно в а е Х:= = Чг > 0 Зб > 0 Чх Е Х (дх(а,х) < б ~ дуЦ(а),ь'(х)) < г). Определение 4.
Отображение (: Х вЂ” + У называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке х Е Х. Множество непрерывных отображений Х в У обозначают символом С(Х, У). Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение у': Х -ь У топологического пространстпва (Х, тх) в топологическое простпранстпво (У, ту) непрерывно тогда и тполько тогда, когда прообраз любого открытпого (замкнутого) подмножества У открыт (замкнут) в Х. < Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу, достаточно доказать теорему для открытых множеств. Покажем сначала, что если ~ Е С(Х,У), а Су Е гу, то Сх =,ь' ~(С~ ) Е тх. Если Сх = Еь, то открытость прообраза налицо.
Если же Сх ф О и а Е Сх, то по определению непрерывности отображения у в точке а для окрестности Су точки у(а) найдется такая окрестность (тх(а) точки а в Х, что ~((тх(а)) с Су. Значит, Ух(а) С Сх = ь' ь(Су). Поскольку Сх = О (тх(а), заключаем, что ьье Ох Сх — открыто, т.е. Сх Е тх. 1 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 39 Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в У множества открыт в Х, то ~ Е С(Х,У).
Но, взяв любую точку а Е Х и произвольную окрестность $'у(~(а)) ее образа в У, мы обнаруживаем, что множество ух(а) = ~ ь(Ъуща))) является открытой окрестностью точки а в Х, образ которой содержится в 1у(у(а)). Следовательно, проверено определение непрерывности отображения ~: Х вЂ” ь У в произвольной точке а Н Х.
~ Определение 5. Биективное отображение ~: Х + У одного топологического пространства (Х,тх) на другое (У,ту) называется гомеоморфным илн гомеоморфиэмом, если как оно само, так и ему обратное отображение 1 ь: У вЂ” ь Х непрерывны. Определение 6. Топологические пространства, допускающие гомеоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфныии.
Как показывает теорема 1, при гомеомор фном отображении ~: Х -+ У топологического пространства (Х,тх) на пространство (У, ту) системы открытых множеств тх, ту соответствуют друг другу в том смысле, что ь 'х Н тх <Ф ь (ь 'х) = 0~ Н ту. Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморфные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно, гомеоморфность топологических пространств есть такое же отношение эквивалентности в множестве топологических пространств, как, например, изометричность есть отношение эквивалентности в метрических пространствах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
