Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ь) Проверьте, что норма в линейном пространстве Х является функцией, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется естественной метрикой (3). с) Докажите, что если Х вЂ” конечномерное линейное пространство, а 9х)! н ~~х(!' — две нормы на Х, то всегда можно найти положительные числа М, Ж такие, что для любого вектора х Е Х выполнено М((х9 < 9ф!' < М((х(!. (19) б) На примере норм Йх((~ и ((х)( в пространстве 1 убедитесь, что предыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, не выполняется. 2. а) Докажите неравенство (5). Ь) Проверьте соотношение (6).
с) Покажите, что при р — ~ +со определенная формулой (12) величина ~лр стремится к величине ()Д, задаваемой формулой (11). 3. а) Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное пространство 1р является полным. Ъ) Покажите, что подпространство пространства 1ю состоящее из финитяых (заканчивающихся нулями) последовательностей, не является банаховым пространством. ГЛ Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 60 4.
а) Проверьте, что соотношения (11), (12) задают норму в пространстве С[а, 6], и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а в другом не полное нормированное пространство. Ь) Задает ли формула (12) норму в линейном пространстве я.[а,6] интегрируемых по Риману функций? с) Какую факторизацию (отождествление) следует провести в Я[а, 6], чтобы задаваемая формулой (12) величина была нормой в полученном линейном пространстве? 5. а) Проверьте, что формулы (13) — (15) действительно задают скалярное произведение в соответствующих линейных пространствах. Ь) Будет ли задаваемая формулой (15) форма скалярным произведением в пространстве?с[а, 6] интегрируемых по Рнману функций? с) Какие функции в %[а,6] следует отождествить, чтобы ответ на вопрос Ь) был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности? 6.
Используя неравенство Коши — Буняковского, найдите нижнюю грань /ь '~ /ь значений произведения [ у(х)ах ~[(1/~)(х)ах иа множестве непрерывь а ных вещественнозначных функций, не обращающихся в нуль на отрезке [а, 6] 5 2, Линейные н полнлннейные операторы 1. Определения и примеры. Начнем с того, что напомним дующее Определение 1, Если Х и У- линейные пространства над од. ним и тем же полем (в нашем случае полем И или С), то отображение А: Х вЂ” ь У называется лмнейным, если для любых векторов х, хм хз пространства Х и любого числа Л поля коэффициентов имеют место равенства А(х1+ хз) = А(х1) + А(хз), А(Лх) = ЛА(х). Для линейного оператора А: Х -+ У вместо А(х) часто пишут Ах. Определение 2. Отображение А: Х1 х ...
х Х„-+ У прямого произведения линейных пространств Хм..., Х„в линейное пространство У называется полилинейным (п-линейнььм), если это отображение у = А(хн...,х„) линейно по каждой переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Множество ьь-линейных отображений А:Х1 х ... х Х„ -+ У будет обозначаться символом х,(ХЬ ...,Х„; У). 1 2.
ЛИНЕЙНЫЕ И НОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61 В частности, при и = 1 получаем множество л".(Х; У) линейных отображений из Х> = Х в У. При и = 2 полилинейное отображение называется билинейныло, при и = 3 — трцлинейным и т. д. Не следует смешивать и-линейное отображение АЕЕ(ХН..., Х„; У) и линейное отображение А б л,(Х;У) линейного пространства Х = = Х~ х ... х Х„(см. в втой связи примеры 9 — 11).
Если У = К или У = С, то линейные и полилинейные отображения называют чаще линейными или соответственно поли юинейнылои функцилаи (или функционалами, если отображаются пространства функций). Когда же У вЂ” произвольное линейное пространство, линейное отображение А: Х вЂ” о У чаще называют линейным операпоороло, действующим из пространства Х в пространство У. Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений. Пример 1. Пусть 1 — линейное пространство числовых финитных о последовательностей. Оператор А: 1 — о 1 определим следующим обрао о зом: А((х~>хз>...
>х„>0>...)):= (1хд,2хз,...,пхо,О> ). Пример 2. Функционал А: С([а, Ь], К) — ~ 11 определим соотношением А(у):= Пхо)> где у' Е С([а, Ь],2), а хе — фиксированная точка отрезка [а, Ь]. Пример 3. Функционал А: С([а, Ь],й) о К определим соотношением Ь А(у):= Дх) йх. о Пример 4. Преобразование А: С([а,Ь],2) -+ С([а,Ь],2) определим формулой х А(~):= 1(1) >Й, о где х — точка, пробегающая отрезок [а,6]. Все зто, очевидно, линейные отображения. ГЛ. Х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 62 Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных отображений. Пример 5. Обычное произведение (хм...,х„) )-~ хз ....х„п действительных чисел является типичным примером и-линейной функции А 6 с",(~...,К;К). А Пример 6. Скалярное произведение (хь х2) )-+ (хь х2) в евклидовом векторном пространстве над полем К является билинейной функцией. Пример 8. Если Х вЂ” конечномерное векторное пространство над полем И; (еь..., е„) — базис в Х; х = х'е, — координатное представление вектора х е Х, то, полагая х~ ... х" 1 1 А(хм,х„) = стеф получаем и-линейную функцию А: Х" -+ 2. В качестве полезного дополнения к приведенным примерам разберем еще структуру линейных отображений произведения линейных пространств в произведение линейных пространств. Пример 9.
Пусть Х = Х1 х ... х Х вЂ” -линейное пространство, являющееся прямым произведением линейных пространств Хь..., Х,„, и пусть А: Х вЂ” ~ У вЂ” линейное отображение Х в линейное пространство У. Представляя каждый вектор х = (хм..., х,„) е Х в виде х=(хм...,х )= = (хм0,...,0) + (О,хз,0,...,0)+... + (О,...,О,х ) (1) и полагая для х, Е Х,) 1 б (1)..., Зп1 А,(х,):= А((0,..., О, х„О,..., 0)), (2) Пример 7. Векторное, произведение (хм х2) ) —,) (хь х2) векторов трехмерного евклидова пространства л з является билинейным оператором, г.
е. А ~ ЦЕз Дз.Дз), 12. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ мы замечаем, что А,: Х, — ~ У суть линейные отображения и что А(х) = А2 (х~) +... + А„„(х,„). (3) Пример 10. Исходя из определения прямого произведения У = = У~ х... х У„линейных пространств УО..., У„и определения линейного отображения А: Х вЂ” ~ У, легко видеть, что любое линейное ото- бражение А: Х -+ У = У~ х... х У„ имеет вид х ~-+ Ах = (А~я,..., А„х) = (уы..., у ) = у Е У, где А,: Х вЂ” > У, — линейные отображения. Пример 11. Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое линейное отображение А: Х, х... х Х,„= Х -+ У = У~ х ...
х У„ прямого произведения Х = Х2 х ... х Х,„линейных пространств в другое прямое произведение У = У~ х ... х У„линейных пространств имеет вид где Ао .. Х -+ У,— линейные отображения. Вчастности,еслиХ~=Х2=...=Х, =В, У~=У2= =У =И то Ао. Хз -+ У, суть линейные отображения К Н х ~-~ аох Е )2, каждое из которых задается одним числом а, . Таким образом, в этом случае соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного отображения А: К"' -+ Р'. 2. Норма оператора Определение 3.
Пусть А: Х2 х ... х Մ— ~ У вЂ” полилинейный оператор, действующий из прямого произведения нормированных пространств ХО..., Х„в нормированное пространство У. Поскольку при любых линейных отображениях А,: Х, -+ У определяемое формулой (3) отображение А: Х = Х~ х...
х Х вЂ” ~ У, очевидно, линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого линейного отображения А Е .С(Х = Х2 х ... х Х;У). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Величина ~А( ь,* )|~ *. )х~(х, х ... х (х„)х„ ,-,ее (5) где верхняя грань берется по всевозможным наборам ть..., х„отлич- ных от нуля векторов пространств Хь..., Х„, называется нормой по- лилииейиого оператора А.
()А(( = вир ~А ( —,..., — "11 = япр )А(еь..., е„)(, (6) еь,е ~ ~,)Х1) (Хв)/ ~ ев...,еп е фЕ где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам еь..., е„едииичиых векторов пространств Хь..., Х„соответствеиио (т.е. (е,( = 1, е = 1,...,и). В частности, для линейного оператора А: Х вЂ” ~ У из (5) и (6) получаем '5А1) = зир — = япр )Ае!. )Ах) (7) хне !4 !е/=1 Из определения 3 нормы полилииейного оператора А следует, что если 1)А(! < оо, то при любых векторах х, Е Х„е = 1,..., и, справедливо неравенство )А(т1,..., хв)! < ((А)( (х1! х... х )х„).
(8) В частности, для линейного оператора получаем )Ат) < '5А(()х). В правой части формулы (5) вместо знака й '5 нормы вектора употреблено обозначение ) ~, рядом с которым стоит символ того иормированного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и, если ие возникает недоразумений, будем опускать символ пространства, подразумевая, что норма 1модуль) вектора вмтислкетот всегда в том пространстве, «второму вектор принадлежит. Мы хотим тем самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и нормы линейного или полилииейиого оператора, действующего иа иормированиых векторных пространствах.
Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилииейиого оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом: 12. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ бб Кроме того, из определения 3 следует, что если норма полилинейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для которых неравенство ]А(х1,..., х„)] < М(х1] х ... х ]х„( (10) выполнено при любых значениях х; Н Х;, 1 = 1,..., и. Определение 4. Полилинейный оператор А: Х1 х ...
х Х„-+ У называется огранпченньья, если существует такое число М Е К, что при любых значениях х1,..., х„из пространств Х1,..., Х„соответственно справедливо неравенство (10). Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы, которые имеют конечную норму. На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл нормы линейного оператора в знакомом случае А: К -+ К". В этом случае единичная сфера пространства К переходит под действием преобразования А в некоторый эллипсоид в К", центр которого совпадает с нулем в К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
