Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ГЛ Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 86 Если с каждым вектором ы = ю1е1+ызез+юзез пространства, приложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой скоростью ~ы~ относительно определяемой этим вектором оси, то из полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент 1 тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости вращения ы($) (см. задачу 5).
4. 'Частные производные отображения. Пусть У = У(а)— окрестность точки а Е Х = Х1 х... х Х,„в прямом произведении нормированных пространств Хы..., Х,, и пусть 1: У -+ У вЂ” отображение У в нормированное пространство У. В этом случае (13) У = 1(х) = 1" (хь..., хт), и значит, фиксировав в (13) все переменные, кроме одной перемен- ной х„положив хь = аю Й Е (1,..., т) 1 ю, мы получим функцию 1'(ап...,а, мх„а,~1,...,а,„) =: Ях) =: у,(х,), (14) определенную в некоторой окрестности У, точки а, пространства Х,. Определение 3.
Отображение ~р,: с1, -+ У по отношению к исходному отображению (13) называют частным отображением но переменной х, в точке а Е Х. Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в точке х, = а„то его производная в этой точке называется частной производной или частным дифференциалом отображения ~ е точке а но переменной х,. Эту частную производную обозначают обычно одним из символов д,у(а), .0,у(а), — (а), Д (а).
д~ дх, В соответствии с этими определениями П,~(а) Е л.(Х,; У), точнее, В,1(а) Е 1;(ТХ,(а,); ТУЩа))). Дифференциал д('(а) отображения (13) в точке а (если 1 дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных дифференциалов по отдельным переменным. 18.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ 87 Ранее все зти понятия нам уже встречались в случае вещественнозначных функций т, вещественных переменных, поэтому мы не будем здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние рассуждения, с учетом разобранного в 8 2 примера 9, легко доказать, что и в общем случае справедливо следующее з'тверждение 3. Если отобразкение (13) дифференцируемо в точке а = (аь,..., а,„) е Хь х... х Х,„= Х, то оно имеет в этой точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный дифференциал и частные дифференциалы свлзаньь соотношением дДа)ьь = Вью(а))ь +... + В у (а))ь где Ь = (Ьд,..., Уь ) е ТХь(аь) х ...
х ТХт(ат) = ТХ(а). Па примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие частных дифференциаюв, вообще говоря, не гарантирует дифференцируемости функции (13). Задачи и упражнения 1. а) Пусть А Е б(Х;Х) — нильпвтентный оператор, т.е. существует такое к Е М, что Аь = О. Покажите, что оператор (Š— А) в этом случае имеет обратный, причем (Š— А) ' = Е+ А +... + А" ". Ь) Пусть В: Р(х] -+ Р[х] — оператор дифференцирования на линейном пространстве Р(х] поливомов.
Заметив, что  — нильпотентный оператор, запишите оператор ехр(аВ), где а Е К, и покажите, что ехр(аР)(Р(х)) = Р(х + +а) =: Т,(Р(х)). с) Запишите матрицы операторов В: Р„]х] -+ Р„]х] и Т,: Р„(х] -+ Р„(х] (из задачи Ъ) в базисе е, = ~* — ))ь„1 < ь < и, пространства Р„(х] вещественных полиномов степени и от одной переменной. 2. а) Если А,В Б Е(Х;Х) и ВВ ' Е ь(Х;Х), то ехр(В 'АВ) = В ь(ехрА)В. Ь) Если АВ = ВА, то ехр(А + В) = ехр А ° ехрВ. с) Проверьте, что ехр О = Е и что ехр А всегда имеет обратный оператор, причем (ехрА) ь = ехр( — А). 3. Пусть А Е Е(Х; Х).
Рассмотрим отображение ьвл. И -+ ь(Х; Х), определяемое соответствием И Э ~ ь-+ ехр(~А) Е Е(Х; Х). Покажите, что: а) отображение ьрл непрерывно; Ь) чьл есть гомоморфизм К как аддитивной группы в мультипликативную группу обратимых операторов из Е(Х; Х). 4. Проверьте, что: 88 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ а) Если Лы..., ˄— -собственные значения оператора А Е Л(С"; С"), то ехрЛы..., ехр Л„суть собственные значения оператора ехр А. Ь) бес(ехрА) = ехр(сгА), где 1гА — след оператора А Е С(С";С").
с) Если А Е ь(К"; Ж"), то с5ес(ехрА) ) О. б) Если А' --. транспонированная по отношению к матрице А Е,С(С"; С") матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к элементам А) элементов, то (ехр А)* = ехр А' и ехр А = ехр А. / — 1 О е) Матрица «( не является матрицей вида ехрА, какова бы ни была квадратная матрица А второго порядка. б. Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой группы и структурой топологического пространства, называется топологической или непрерььеноб группой, если групповая операция непрерывна в указанной топологии; если же групповая операция в некотором смысле даже аналитична, то топологическая группа называется группой Яи'~.
Алгебра Яи †э линейное пространство Х с антикоммутативной билинейной операцией [, ): Х х Х -+ Х, удовлетворяющей шождесглву Якоби: для любых векторов а, Ь, с Е Х [[а, Ь], с] + [[Ь, с], а] + [[с, а), Ь] = О. Группы и алгебры Ли тесно связаны между собой и важную роль в осуществлении этой связи играет отображение ехр (см. задачу 1). Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидово пространство Ез с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим пока эту алгебру Ли через 1,Ам а) Покажите, что вещественные кососимметрические матрицы порядка 3 образуют алгебру Ли (обозначим ее ЬАз), если произведение матриц А и В определить соотношением [А, В] = А — ВА.
Ь) Покажите, что соответствие Π— юз ь~з 51 = ьг' Π— ь~~ е+(шммюшз) =ю> — „>з ь~1 О является изоморфизмом алгебр ЬАя и ЬАм с) Проверьте, что если кососимметрическая матрица П и вектор и соответствуют друг другу, как указано в Ь), то для любого вектора и С Ез имеет место равенство 5)г = «и, г], а для любой матрицы Р Е ВО(3) -- соответствие Р 5 Р 1 ~ + Р щ Й) Проверьте, что если К Э 1 н 0(5) Е ВО(3) — гладкое отображение, то матрица 51(5) = О 1(5)0(5) — кососимметрическая.
е) Покажите, что если г(г) — радиус-вектор некоторой точки вращающегося волчка, а 5)(5) — найденная в и) матрица (О '0)(г), то г(5) = (Пг)($). П Точное определение группы Ли и соответствующую сноску см. в гл. ХЧ, 8 2, задача 8, 14. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ 89 в (в) е2 (в) -Я.(в) = -Й(в)е~(в) ";, (в) -вг(в)ег(в). +м(в)ев(в), Выясните геометрический смысл коэффициента м(в), называемого кручением кривой в соответствующей точке. 8 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования 1. Теорема о конечном приращении, Изучая числовые функции многих переменных, мы в гл.
У, 8 3. п. 1 доказали для них теорему о конечном приращении и подробно обсудили различные аспекты этой важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные ЦЖ. Ф. Френе (1816 1900) — французский математик. 1) Пусть и и ш — два приложенных к началу координат вектора пространства Ев.
Пусть в Ев выбран правый репер и пространство совершает правое вращение с угловой скоростью ~ш~ вокруг оси, определяемой вектором ш. Покажите, что при этом г(1) = (ы, г(1)]. 8) Сопоставьте результаты задач П), е), 1) и укажите вектор мгновенной скорости вращающегося волчка, о котором говорилось в примере 8. Ь) Используя результат задачи с), проверьте, что вектор скорости ы не зависит от выбора неподвижного орторепера в Ев, т. е. не зависит от системы координат.
6. Пусть г = г(в) = (хь(в),хэ(в),хв(в)) — параметрическое уравнение гладкой кривой в Ев, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль кривой (нотууольнив париметриэацал кривой). а) Покажите, что вектор ев(в) = ~~~(в), касательный к кривой, в этом случае имеет единичную длину. Ь) Вектор -~ -(в) = — ~(в) ортогонален вектору ев. Пусть еэ(в) — единичный вектор, сонаправленный -~-'-(в). Коэффициент к(в) в равенстве -~;~-(в) = = к(в)ег(в) называют кривизной кривой в соответствующей точке. с) Построив вектор ев(в) = (ев(в), еэ(в)), мы получаем в каждой точке нашей кривой репер (ев, ею ев)(в), который называют репером Фрекеп или соврововкдоещаи трехгранником кривой.
Проверьте следующие формулы Френе: ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 90 в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический смысл нормы линейного оператора (см. з 2, п. 2). Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть 1': У вЂ” > У вЂ” непрерывное отображение открмтоео множества У нормированноео пространства Х в нормированное пространство У. Если отрезок [х,х + Ц = (( Е Х ] ~ = х+ 0й, О < 0 < 1) полностью содержится в У и отображение (' дифференцируемо во всех точках интервала ]х,х+ 6[= (с Е Х ] ~ = х + 06,0 < 0 < 1), то справедлива следуюи[ал оценка: ]Дх+ Ь) — У(х) Ь' < впр ]]У'(1)]]с[х.г]][з]х (1) я]х,х-~-в[ л[ Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [х', хо] С С [х, х + Ь] нам удалось проверить неравенство ]1(хв) — дх')] < зпр ]]у'(()]] ]хо — х'], ~е[х',х"] (2) в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [х', хо], то, поль- зуясь непрерывностью 1' и нормы, а также тем, что зпр ]]~'(~)]] < впр ]]1 (С)]], (Е[х',х"] я]х,х-~-з[ мы в пределе при х' -+ х и хо -+ х + 6 получили бы неравенство (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
