Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если Х вЂ” конечномерное пространство, 1е1,..., ел~ — базис в Х и Ь = Ь'е,--разложение векторов Ь„у = 1,..., и по этому базису, то в силу полилинейности 1("'~(х) можно записать, что 1(")(х)(Ь1,..., Ь„) = 1(")(х)(Ь1'еп,..., Ь'„"е,„) = = ~(")(х)(ен,...,е, )Ь" ° Ь'" или, используя прежние обозначения дп„з„~(х) для Ве~ ° Ре„1(х), можно окончательно получить, что У(")(х)(Ь~..., Ь„) = О„„,,„У(х)Ь" ,... Ь*„-, где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по повторяющимся индексам в пределах их изменения, т.
е. от 1 до Й. Условимся в следующем сокращении: У(")( )(Ь,..., Ь) =: ~(")(х)Ь". В частности, если речь идет о конечномерном пространстве Х и Ь = Ь'е„то 1(в)(х)Ьв — О 1(х)Ьн .. Ьы что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих пе- ременных. 15. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 103 4. Некоторые замечания. В связи с обозначением (11) рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе Пример. Пусть А Е Е(Х1,...,Х„;У), т.е.
у = А(хп...,х„) есть и-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого произведения линейных нормированных пространств Х1,..., Х„в линейное нормированное пространство У. В примере 5 предыдущего параграфа было показано, что А является дифференцируемым отображением А: Х1 х ... х Х„-+ У, причем А'(х1,..., х„) (Ь1,..., Ь„) = = А(Ь1,хг,...,х„) +... + А(х1,...,х, 1, Ь„). Таким образом, если Х1 =...
= Х„= Х несли А — симметрический оператор, то А'(х,...,х)(Ь,...,Ь) = пА(х,..., х,Ь) =: (пАх" 1)Ь. Значит, если рассмотреть функцию Г: Х вЂ” ~ У, определяемую условием Х Э х ~-+ Р(х) = А(х,..., х) =: Ах", то она окажется дифференцируемой и Р'(х)Ь = (пАх" ')Ь, т, е. в зтом случае Р'(х) Ь = пАх" ', где Ах" 1:= А(х,..., х, ). в-1 В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке х е У дифференциал ((")(х), то функция г"(Ь) = 1(")(х)Ь" дифференцируемаи Р'(Ь) = п~~")(х)Ь" '. (12) Заканчивая обсуждение понятия производного отображения и-го порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1) определена на множестве У пространства Х, являющегося прямым произведением нормированных пространств ХО..., Х,, то можно говорить ГЛ.
Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 104 о частных производных отображениях д17(х),..., д 7" (х) первого и более высокого поРЯдка дн л„у" (х) от фУнкции 7' по пеРеменным х, Н Х„ $= 1,...,гп. Па основании теоремы 2 из 0 4 в этом случае по индукции получаем, что если в некоторой точке х Н Х = Х1 х... х Х,„все частные производные дч л„1'(х) отобРаженил 7' (7 — + У непРеРывны, то в этой точке отображение 7' илгеет дифференциал и-го порядка 7(")(х). Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то можно заключить, что отображение 17 Э х + 1'(")(х) Н я".(Х,...,Х;У) а раэ непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все частные производные отображения 17 Э х + дч л„('(х) Н .С(Хч,..., Х,„; У) порядка и (или, что то же самое, до порядка и включительно) исходного отображения гг: 17 — г У.
Класс отображений (1), имеющих в (7 непрерывные производные отображения до порядка и включительно, обозначают символом С("1(17, У) или, если не возникает недоразумений, более коротким символом С(")(с7) или даже С("). В частности, если Х = Х1 х... х Х„, то сделанное выше заключение можно коротко записать в виде где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных функций. Задачи и упражнения 1. Проведите полностью доказательство равенства (7). 2. Проведите подробно конец докззатеяьства утверждения о симметричности 71гс(х). 3. а) Покажите, что если для пары векторов Аг, Ьг н отображения (1) в области 17 определены функции РьгРьг~, Рь Рьг~ н они непрерывны в некотоРой точке х Н 17, то в этой точке имеет место Равенство Рь, Рь 7'(х) = Рьг Рьг г (х) Ь) Покажите на примере числовой функции 7'(х,у), что непрерывность в некоторой точке смешанных производных у~~-, ~-~~-, хотя и влечет в силу а) нх равенство в этой точке, вообцге говоря, не влечет наличия в этой точке второго дифференциала функции.
16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 105 с) Покажите, что наличие ~~э~(х, у), хотя и обеспечивает наличие и равенство в соответствующей точке смешанных производных у-л- „у-л-, не влечет, ЖАР Рубх вообще говоря, их непрерывность в этой точке. 4. Пусть А е ь(Х,...,Х;1'), причем А — симметрический и-линейный оператор. Найдите последовательные производные до порядка и + 1 включительно от функции х ~-ь Ах":= А(х,..., х). 56.
Формула Тейлора и исследование экстремумов 1. Формула Тейлора для отображений. Теорема 1. Если отображение (': 11 — ~ У окрестности 11 = 11(х) точки х нормированного пространства Х в нормированное пространство У 1паково, что )' имеет в (1 производные до порядка и — 1 включительно, а в самой точке х имеет производную ~ОО(х) порядка и, то Пх+ 6) = 1( ) + ~( )6 +... + —,У(") (х)6" + о9 ~а) (1) при 6 — ь О.
Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора, написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений. ~ Докажем формулу Тейлора (1) по индукции. При и = 1 она верна в силу определения ~'(х). Пусть формула (1) верна для некоторого (и — 1) Е М. Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12) вз 55 и сделанного предположения индукции получаем 1(х+6) — (У(х) + 1 (х)6+... + -'-,У(.)(.)6.) < < впр !/У'(х + 66) — (~'(х) + 1 в(х) (06) +... о<в<1 ... + ',У(а)(*)(В6)"-') /~)6| =.(~О6~"-'И6~ = о(~6~") при 6 -+ О. ° Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных, вариантах формулы Тейлора.
В свое время они подробно обсуждались для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю (см., например, задачу 1). ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 106 2. Исследование внутренних экстремумов. Используя формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные дифференциальные условия внутреннего локального экстремума вещественнозначной функции, определенной на некотором открытом множестве нормированного пространства.
Как мы увидим, эти условия аналогичны уже известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественнозначной функции вещественного переменного. Теорема 2. Пусть 1": У вЂ” + Й вЂ” вещественнозначнал функция, определенная на открытом множестве У нормированного пространства Х и имеющал в окрестности некоторой точки х Е У непрерывные производные отображения до порядка Ь вЂ” 1 > 1 включительно, а также производное отображение 11")(х) порядка Ь в самой точке х.
Если 1'(х) = О,..., З'1" 1)(х) = О и У~")(х) ~ О, то длл того, чтобы х была точкой экстремума функции з, необходимо, чтобы Ь бььло четко, а форма 1'1Ь)(х)Ьл была полуопределенной1); достаточно, чтобы значения формы 11ь)(х)Ь" на единичной сфере )Ь) = 1 были отделены от нуля; при этом, если на этой сфере 11~)(х)Ь" > 6 > О, п1о х — точка локального минимума, а если У(") ( ) Ь' < б < О, то х — точка локального максимума. ~ Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение (1) функции 1 в окрестности точки х. Сделанные предположения позволяют записать, что где сз(Ь) — вещественнозначная функция, причем а(Ь) — + О при Ь вЂ” + О.
Докажем сначала необходимые условия. ОЭто значит, что форма ~Ы1(х)Ь~ не может принимать значения разных знаков, хотя при некоторых значениях Ь ф О она может обращаться в нуль. Равенство уе1(х) = О, как обычно, понимается в том смысле, что уо1(х)Ь = О для любого вектора Ь. 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 107 Поскольку ~ОО(х) ф О, найдется такой вектор Ьо ф О, на котором ~Об(х)Ь~~ ф О. Тогда при значениях вещественного параметра Ф, достаточно близких к нулю, Пх + ~Ь0) Х(х) =, (х)Фо) + а(1Ьа) ~ИЬо ~ 1 Ь,У (х)Ь0+а(~Ь0)~Ь0! и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что и (("1(х)Ь~ь.
Для того, чтобы х была точкой экстремума, необходимо, чтобы левая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака при изменении знака 1. Но это возможно, только если Ь четно. Проведенное рассуждение показывает, что если х — точка экстремума, то знак разности У(х+ ФЬ0) — у(х) при достаточно малых значениях 1 совпадает со знаком ~ОО(х)Ь0~, и, следовательно, в этом случае пе может быть двух векторов Ье, Ьм на которых бы форма ~ОО(х) принимала значения разных знаков. Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
