Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Значит, норма А в данном случае просто наибольшая из полуосей этого эллипсоида. С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при данном отображении, что видно из первого равенства в (7). Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных пространств норма полилинейного и, в частности., линейного оператора всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это, вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих примеров. Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1 — 8.
Пример 1'. Если считать, что 1 — подпространство нормирован- о ного пространства 1р, в котором вектор е„= ~0,..., О, 1, О,... ) имеет и — 1 единичную норму, то, поскольку Ае„= пе„, ясно, что ]]А~~ = оо. Пример 2'. Если ]Д = шах ]1(х)] ~< 1, то ]АД = )Дхб)] < 1, а<и<6 причем ~АУ~ = 1, если У(хе) = 1, значит, ]]А]] = 1.
Заметим, что если на том же линейном пространстве СЦа, Ь], К) вве- 66 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ сти, например, интегральную норму Ь й= Ш(х) 1х, а Пример 3'. Если [у'[ = шах [У(х)[ < 1, то а<х<Ь Ь [АЛ= У(х) х а Ь Ь < ф(х)дх < 1Нх = Ь вЂ” а. Но при Дх) ь— в 1 получаем [АЦ = Ь вЂ” а, поэтому [[А[[ = Ь вЂ” а. Пример 4'. Если Щ = шах [у(х)[ < 1, то а(х<ь | у(Ь)Ж < шах ~ [Д(Ь)~Й < шах(х — а) = Ь вЂ” а. а<х<ЬУ а<х<Ь а а П1ах а<х<ь Но при у(Ь) = 1 получаем х шах 1Ж=Ь вЂ” а, а(х(Ь 1 а поэтому и в данном примере [[А[[ = Ь вЂ” а. Пример 5'. Непосредственно из определения 3 в данном случае получаем, что [[А[[ = 1.
Пример 6'. В силу неравенства Коши — Буняковского [(хм ха)[ < [хь[. [хз[, то результат вычисления [[А[[ может существенно измениться. Действительно, пусть [а,Ь1 = [О, Ц, а хз = 1. Интегральная норма функции ~„ = х" на отрезке [О, Ц, очевидно, равна -„- +1, в то время как АУ„= Ах" = х" [ 1 = 1. Отсюда следует, что в этом случае [[А[[ = оо. Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство С([а, Ь],К) рассматривается с нормой, определяемой максимумом модуля функции на отрезке [а, Ь[. 12. ЛИНЕЙНЫЕ И НОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ причем, если х« = х2, то это неравенство переходит в равенство.
Сле- довательно, ))А)) = 1. Пример 7'. Мы знаем, что Цх«,х2)! = ~х«'0хз~в1п р, где ~р — угол между векторами х«и х2, поэтому )(А(! < 1. В то же время, если векторы хм х2 ортогональны, то «йп~р = 1. Таким образом, ))А() = 1. Пример 8'. Если считать, что векторы берутся в евклидовом пространстве размерности и, то можно заметить, что А(хм..., х„) = = беЦхм..., х„) есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы хь..., х„, и этот объем максимален, если векторы хм..., х„, сохранив их длины, сделать взаимно ортогонзльными. Таким образом, )де$(хм...,х„)! < (х«( ... (х„(, причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит, в рассматриваемом случае ))А(( = 1. Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах 9-11.
Будем считать, что в прямом произведении Х = Х«х ... х Х,„ нормированных пространств Хм..., Х,„норма вектора х = (хм..., х,„) введена в соответствии с принятым в 21 (пример 6) соглашением. Пример 9'. Задание линейного оператора А: Х«х... х Х,„= Х «У, как было показано, равносильно заданию т линейных операторов А,; Х, -+ У, определенных соотношениями А,х, = А((0,...,О,х„0,...,О)), « = 1,..., «и.
При этом имеет место формула (3), в силу которой П3 ш ш )Ах(у < ,'«(А,х,)у < ,'«((А,)()х,)л, < (~> ((А())(х(л. Таким образом, показано, что ))А)) < ~~«)(А,)). и=1 ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С другой стороны, поскольку )А,я,( = )А((0,..., О, я„О,... 0)) ! < < ((А)) ((О,...,О,Х„О, г 0))Х = )(А(( (Х,)Х„ можно заключить, что при любом 1 = 1,..., т справедлива также оцен- ка '8А,8 < 8А)!. Пример 10'. С учетом введенной в У = У~ х... х 1'„нормы в этом случае сразу получаем двусторонние оценки ()Аа)) < ))А~~ < ,'а )1А )).
г=.1 Пример 11'. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно заключить, что '8А, )! < ((А(! < ~~~ ~~а '8А,1)!. а=11=1 3. Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы, а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду 'Утверждение 1.
Для полилинейного оператора А: Х1 х ... х хХ„-+ 1', действующего из произведения нормированных про- странств Х1,...,Х„в нормированное пространство У, следующие условия равносильны: а) А имеет конечную норму, Ь) А — ограниченный оператор, с) А — непрерывный операпаор, с1) А — операпаор, непрерывный в точке (О,..., 0) Н Х1 х... х Х„.
< Докажем замкнутую цепочку импликаций а) ~ Ь) =ь с) =ь д) =ь ~ а). Ввиду (8), очевидно, а) ~ Ь). Проверим, что Ь) =ь с), т. е. что из (10) следует непрерывность оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем запи- 12. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ сать ч'го А(21+61 хг+6г ° .. х +6е) А(х~ хг ... х ) = А(61,хг,...,х„) +... + А(х1,хг,...,х„1,6„) = + А(62,6г,хз,...,х„) +... + А(х1,...,х„г,6„1,6„) + + А(6О..., 6„). Теперь в силу (10) получаем оценку )А(х1+ 62,х2+ 62~ 1хв+ 6е) А(хы х2, ° ..
~ хп)) ~( < М()61) (хг~ °... (х„) +... + (х1! ° (хг) ... (х„-1) )6„) + + (61). ~62! ~хз! .!х 1+... + )х1! ~хг! .. (х„~! (6„)+ из которой следует непрерывность А в любой точке (х1,...,х„) Е Х1 х... х Х„. В частности, если (х1,..., х„) = (О,..., 0), то из с) получаем о), Осталось показать, что с1) => а). По е > 0 найдем б = Б(е) > 0 так, чтобы при шахЦх1(,..., )х„Д < б иметь (А(хм...,х„)) < е. Тогда для любого набора е1,..., е„единичных векторов получаем (А(е1,..., е„) ! = — )А(бе1,..., ее„) ( < —, 1 е т.е.
2А)! « — '„ оо. ° Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также, что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной размерности. Начиная с этого места, символом Е(Х1,...,Х„;1') будет обозначаться множество полнлинейных непрерывных операторов, действующих из прямого произведения линейных нормированных пространств Хм..., Х„в линейное нормированное пространство У. ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 70 В частности, С(Х; У) есть множество всех линейных непрерывных операторов из Х в У. В множестве .С(Х1,..., Х„; У) вводится естественная структура линейного пространства: (А + В) (хы..., х„):= А(хы..., х„) + В(хь..., х„) (ЛА)(хы...,х„):= ЛА(х1,...,х„). Очевидно, если А,В Н С(ХЬ...,Х„;У), то (А+ В) Е .С(Хд,...,Х„;У) и (ЛА) Н С(ХН..., Х„; У).
Таким образом, С(ХН..., Х„; У) можно рассматривать как линейное пространство. Утверждение 2. Норма полилинейного оператора лвллетсл нормой в инейном пространстве С(ХН..., Х„; У) непрерывных полилинейиых операторов. ~ Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для любого оператора А Н С(ХН..., Х„; У) определено неотрицательное число '0А(! < оо. Неравенство (8) показывает, что '0А(( = 0 ~ А = О. Далее, по определению нормы полилинейного оператора !(ЛА)(~~1'' 1хв)! ! 1 ! (хы'''1~и)! а,,*п (х1/ ....
!хи/ *1,,*за /х1!.... (хи( м ео *,лс Наконец, если А и  — злементы пространства С(ХН..., Х„; У), то )(А+ В)(хы...,х„)( )х1! °... ° (х„( ~,~о )А(хы...,х„) + В(х~,...,х„)! )х1( ... - (х„) *',фО < впр ' ' " + впр ~ ' ''' " =0А0+!)В)!.» (х1! .... (х„( *ь .. )х1! ... (х„! .ьо и фО 1 2.
ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 71 Теперь, употребляя символ Е(Х1,..., Х„;У), мы будем иметь в виду линейное пространство непрерывных и-линейных операторов, нормированное указанной операторной нормой. В частности, е,(Х,У)— нормированное пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Х в У. Сделаем к утверждению 2 следующее полезное Дополнение. Если Х, У, Я вЂ” нормированные пространства и А с Е(Х;У), а В Е Е(У; Я), то 1~(В.А!~ ( ~~В~~ ~~А~~. м В самом деле, ((В о А)) = впр ( впр ((В о А)х) ((В)) (Ах) х~в (х( е~в (х! = ))В(( впр — = ((В!) ((А((.
~ )Ах! .~о 1х! Утверждение 3. Если У вЂ” полное нормированное пространство, то Е(Х1,..., Х„;У) танисе являетсл полным нормированным пространством. м Проведем доказательство для пространства 1;(Х; У) линейных непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью. Пусть А1,А2,..., А„,...
— фундаментальная последовательность в Е(Х; У). Поскольку при любом х е Х !А х — А.4 = ПА — АвМ (!1А — Ав!! !ха, то ясно, что при любом х Н Х последовательность А1х,А2х,..., А„х,... фундаментальна в У. Ввиду полноты У она имеет предел в У, который мы обсоначим через Ах. Итак, Ах:= 11ш А„х. Покажем,что А:Х -+ У вЂ линейн непрерывный оператор. Линейность А следует из того, что 1пп Ав(Л1х1 + Лзхз) = 11ш (Л1Авхд + Л2Авх2) = = Л1 1пп А„х1+ Л2 1{п А„х2.
в-+ сО в — ~со ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 72 Далее, при любом фиксированном е > О и достаточно больших значениях т, и б 1Ч выполнено ()А,„— А„(( < е, поэтому (А х — А„х! < е)х) на любом векторе х Н Х. Устремляя в последнем неравенстве тп к бес- конечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем )Ах — А„х! < е(х(. Таким образом, ))А — А„)) < е, и, поскольку А = А„+ (А — А„), заключаем, что ))А(! < ((А„)( + е. Следовательно, мы показали, что А е,С(Х; У ) и ((А — Аав -+ О при и — ~ оо, т. е. А = 1пп А„в смысле нормы пространства я",(Х; У).
а а — >со В заключение остановимся на одном специальном замечании, относящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам потребуется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка. Утверждение 4. Между пространствами я". (Х„..., Х,„; ~(хм+ „..., Х„; 1') ) и .С(Х,..., Х„; 1') при любом т Н (1,..., п1 существует биекиия, сохраняющая линейную структуру и норму. ~ Предъявим этот изоморфизм. Пусть З Н я. (Х1,..., Хт; я.
(Х„,+1,..., Х„; У) ), т. е. З(хь..., х,„) Н Н Е(Х,„+Ь...,Х„;У). Положчм А(х1,...,х„):= З(х1,...,х, )(х еь...,х„). з 2. линейные и пОлилинейные ОпеРАтОРы 73 Тогда ]]'х1(хы..., х,„)]] ]х~]-... ]х ] ;~о впр Япр ю,...,м ~;;ю ]х1] " ]М ]А(хд,..., х„)] ]х1] .... ]х„] мьфО Проверку того, что соотношение (11) задает изоморфизм рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. ~ Применяя и раз утверждение 4, в частности, получаем, что пространство Е(Х~,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
