Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1ь. Локальные свойства непрерывных отображений. Укажем локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают непосредственно из соответствующих свойств предела. Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных отображений). Пусть (Х, тх), (У, ту), (л, тг) — топологические пространстава. Если отображение бс 1 — ь Я непрерывно в пьочке Ь Е У, а оьпображение ь': Х -+ У непрерывно в пьочке а Е Х, причем ~(а) = Ь, то композииия этне отображений д о ~: Х + л, непрерывна в точке а Е Х.
Это следует из определения непрерывности отображения и утверждения 1. Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности 40 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) точки непрерывности). Если отображение 1": Х вЂ” + У топологического пространства (Х,а) в метрическое пространство (У,а) непрерывно в некоторой точке а е Х, то оно ограничено в некоторой окрестности этой точки. Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе) отображения, имеющего предел. Прежде;ем формулировать следующее утверждение о свойствах непрерывных отображений, напомним, что для отображений в 2 или в %" величину ш(1, а):= 11ш ш(1, В(а, т)) мы назвали колебанием отображения у в точке а.
Поскольку и понятие колебания отображения на множестве, и понятие шара В(а, т) остаются в силе в любом метрическом пространстве, то определение колебания <о(1, а) отображения у в точке а также остается в силе для отображения 1: Х вЂ” + У метрического пространства (Х, дл) в метрическое пространство (У, ду). Утверждение 5. Отображение 1': Х -+ У метрического пространства (Х,дл) в метрическое пространстпво (У,ду) непрерывно в точке а е Х тогда и только тпогда, когда ш(1, а) = О. Это утверждение непосредственно следует из определения непрерывности отображения в точке.
с. Глобальные свойства непрерывных отображений. Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных отображений. Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта лвллетсл компактом. ~ Пусть у: К вЂ” + У вЂ” непрерывное отображение компакта (К, тк) в топологическое пространство (У, тг) и пусть (С~, а с А) — покрытие ДК) множествами, открытыми в У. В силу теоремы 1 множества (Сх — — У ~(С~),о Е А) образуют открытое покрытие К. Извлекая из него конечное покрытие С",', ..., Сх", находим конечное покрытие С",', ..., С." множества у(К) с У. Таким образом, ДК) — компакт вУ.~ 1 б. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Следствие. Непрерывнал ветцестпвеннал функцил т: К вЂ” + Н на компактпе принимаетп в некотпороб тпочке компакта наибольшее (наименьшее) значение.
м Действительно, ((К) — компакт в И, т. е. ограниченное и замкнутое множество. Это значит, что шГ1(К) Е,т (К) и эпр ((К) Е У(К). ° В частности, если К вЂ” отрезок (а,Ь1 С Н, то мы вновь получаем классическую теорему Вейерштрасса. На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее формулировать, приведем нужное Определение 7.
Отображение у: Х -+ У метрического пространства (Х, бх) в метрическое пространство (У, ду) называется равномерно непрерывным, если для любого е ) О найдется б > О такое, что на любом множестве Е С Х с диаметром, меньшим б, колебание о~(у', Е) отображения (' меньше е.
Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное отпображение т": К -+ У метрического компактпа К в метприческое вростпранстпво (У, гу) равномерно непрерывно. В частности, если К вЂ отрез на й, а У = Я, то мы вновь возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой, изложенное в гл.1У, ()2, п.2, практически без изменений переносится на указанный общий случай. Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных пространств. Теорема 4. Нри непрерывном отпображении образ связного тпопологического простпранстпва свяэен. ~ Пусть у: Х -+ У вЂ” непрерывное отображение связного топологического пространства (Х, тх) на топологическое пространство (У, ту).
Пусть Еу открыто-замкнутое подмножество У'. В силу теоремы 1 прообраз Ех = у" 1(Еу) множества Еу открыто-замкнут в Х. В силу связности Х имеем тогда: либо Ех = ю, либо Ех = Х. Но это означает, что либо Еу = о, либо Еу = У = У(Х). в. Следствие. Если функция т': Х -+ Я, непрерывная на связном тпопологическом простпранстпве (Х, т), принимаетп значения ('(а) = А е Н 42 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) и 1"(Ь) = В Е К, то для любоео числа С, лежащеэо между А и В, найдется такал точка с Е Х, в которой 1(с) = С.
< Действительно, по теореме 4 1(Х) — связное множество в К. Но в К связными множествами являются только промежутки (см. утверждение иэ ~ 4). Таким образом, вместе с точками А и В точка С содержится в 1(Х). ~ В частности, если Х вЂ” отрезок, мы возвращаемся к классической теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной функции. Задачи и упражнения 1.
а) Если отображение 1":Х -+ У непрерывно, то будут ли образы открытых (замкнутых) в Х множеств открытыми (замкнутыми) множествами в У? Ь) Если при отображении 1; Х вЂ” ~ У не только прообраз открытого множества, но и образ открытого множества открыт, то обязано ли 1' быть гомеоморфизмом? с) Если отображение 1: Х -+ У непрерывно и биективно, то всегда ли оно гомеоморфно? д) Будет ли гомеоморфным отображение, удовлетворяющее условиям Ь) и с) одновременно? 2. Покажите, что а) всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом; Ь) без требования хаусдорфовости пространства образа предыдущее утверждение, вообще говоря, неверно. 3.
Выясните, гомеоморфны ли (попарно) как топологические пространства следующие подмножества К": прямая, интервал на прямой, отрезок на прямой; сфера; тор. 4. Топологическое пространство (Х,т) называется линейно связным, если любые две его точки можно соединить путем, лежащим в Х. Точнее это означает, что для любых точек А и В из Х существует такое непрерывное отображение 1": 1-+ Х отрезка (а, 6) С К в Х, что 1'(а) = А, 1(Ь) = В.
а) Покажите, что всякое линейно связное пространство связно. Ъ) Покажите, что любое выпуклое множество в К" линейно связно. с) Проверьте, что любое связное открытое подмножество К" линейно связно. 4) Покажите, что сфера $(а,г) линейно связна в К" (н > 1), но в другом метрическом пространстве она как множество, наделенное совсем иной топологией, может быть вообще не связной. 17. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 43 8 7. Принцип сжимающих отображений Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования. Определение 1.
Точка а Е Х называется неподвижной точкой отпображенил т' Х -+ Х, если т(а) = а. Определение 2. Отображение у: Х -+ Х метрического пространства (Х, д) в себя называется сжимающим, если существует число д, О < д < 1, такое, что для любых точек х1, хз из Х имеет место нера- венство д®хт), Дхг)) < дд(х1, хг). Теорема (прннцип неподвижной точки Пикарат) — Банахах) ). Сжимаюизее отображение )": Х -+ Х полного метрического пространства (Х,т() в себя мест и притпом единственную неподвижную точку а. Более тпого, длл любой гаечки хв Е Х итпераиионнал последовательностпь хе, х1 = Дхв), ..., х„+1 = у(х„), ...
сходится к а. Скоростпь этой сходамости дастся оценкой Ы(а, х„) < — д(х1, хз). Ч 1 †(2) < Возьмем произвольную точку хв Е Х и покажем, что последовательность хв, хт = Дхе), ..., х„+1 =,т(х„), ... фундаментальна. Отображение у сжимающее, поэтому в силу (1) д(х +т,х„) < дд(х„, х 1) « ... д"д(хт,хв) ПШ, Э. Пикар (1856 - 1941) — французский математик, которому принадлежит рлд важных результатов в теории дифференциальных уравнений и теории злзлитичесхих функций. ЕС.
Бзцзх (1899 — 1945) — польский математик, один из создателей фуцкциоцзльцого анализа. е) Проверьте, что в топологическом пространстве нельзя соединить путем внутреннюю точку множества с внешней точкой множества, не пересекая границу этого множества. 44 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) д(х„+юх„) < д(х„,х„+т) + .. + Й(х„ть 1 х„.ть) < < (т!" +д"+'+... + д"+" ')д(х1,хв) < — д(хмхв). — Я Отсюда видно, что последовательность хв, хм ..., х„,... действительно фундаментальная. Пространство (Х, д) полное, поэтому указанная последовательность имеет предел 1пп х = а е Х.
и — тьь Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее отображение всегда непрерывно, поэтому а = !пп х„+т = 1пп Дх„) = у( 1пп х„) = у(а). Таким образом, а — неподвижная точка отображения у. Другой неподвижной точки отображение у иметь не может, поскольку из а, = т" (а,), 1 = 1,2, с учетом (1), следует О < д(амаг) = Щ(ат), 1(аг)) < т!д(ам аг), что возможно только при д(ам аг) = О, т. е.
при а1 = аг. Далее, из соотношения д(хп+ю хп) < — д(хы хв), Я 1 — д переходя к пределу при Й -+ оо, находим, что В дополнение к этой теореме докажем следующее ,ттверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть (Х, д) — полное метприческое пространство; (й, т) — тпопологическос пространстпво, играющее в дальнейшем роль пространства параметров.
Пустпь каждому значению параметра 8 Е 11 отвечаетп сжимающее отображение Дт Х -+ Х пространства Х в себя, причем выполнены следующие условия: $ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ а) семейство Я;$ Е Й) равномерно сжимающее, т. е. существует такое число о, О < д < 1, что каждое отображение (с является о-сжимающим; Ъ) при каждом х Е Х отображение Д(х): Й вЂ” > Х как функция ото непрерывно в некоторой точке 8о Е Й, т.
е. 1пп Ях) = Д,(х). 1-+~в Тозда решение аЯ е Х уравнения х = Д(х) в точке 1в непрерывно зависит от $, т. е. 1пп а($) = а(8в). ь-+м ~ Как было показано при доказательстве теоремы, решение а(1) уравнения х = Ях) может быть получено как предел последовательности (х„+1 — — Ях„); и = О, 1,... ), исходя из любой точки хр е Х. Пусть хо = а(1в) = Ус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
