Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Кроме того (как видно из проведенного в гл. ЧП, 6 1 доказательства утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество в хаусдорфовом топологическом пространстве замкнуто в том и только в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки. 2. Подпространство топологического пространства. Пусть (Х, тх) — топологическое пространство, а У вЂ” подмножество в Х. Топология тх позволяет определить следующую топологию ту в У, называемую индунированной или отпноситпельной топологией в У с Х. Открытым в У назовем любое множество СР вида СР = У О Сх, где Сх — множество, открытое в Х. Нетрудно проверить, что возникающая система ту подмножеств У удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического пространства. Определение открытых в У множеств СР, как видно, согласуется с тем, которое мы получили в п.
3 предыдущего параграфа в случае, когда У было подпространством метрического пространства Х. Определение 9. Подмножество У с Х топологического пространства (Х, т) с индуцированной в У топологией тР называется подпростпранстпвом щопологичесного простпранстпва (Х,т). 12. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 17 Ясно, что множество, открытое в (У, т1.), уже не обязано быть открытым в (Х,тх). 3. Прямое произведение топологических пространств.
Если (Х1, т1) и (Х2, т2) — два топологических пространства с системами т, = = (С1), т2 = (С2) открытых множеств, то в Х1 х Хз можно ввести топологию, считая ее базой всевозможные множества вида С1 х С2. Определение 10. Топологическое пространство (Х1 х Х2, т1 х т2), базу топологии которого составляют множества вида 61 х 62, где С,— открытое множество в топологическом пространстве (Х„т,), » = 1,2, называется прямым произведением топологических просгранств (Х1,т,), (Хз,тз). Пример 9. Если К = К1 и Кз рассматривать со стандартной топологией, то, как видно, К является прямым произведением К х К, ибо всякое открытое множество в К2 можно получить, например, как объединение «квадратных» окрестностей всех его точек.
Квадраты же (со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямым произведением интервалов — открытых в К множеств. Следует обратить внимание на то, что множества вида 61 х 62, где 61 6 т1 и С2 Е т2, образуют лишь базу топологии, а не все открытые множества прямого произведения топологических пространств. Задачи и упражнения 1. Проверьте, что если (Х, д) — -метрическое пространство, то (Х, — д) д д — тоже метрическое пространство, причем метрики д и - +д нндуцнруют на Х одну и ту же топологию. (См.
также задачу 1 из предыдущего параграфа.) 2. а) В множестве И натуральных чисел окрестностью числа и Е И назовем арифметическую прогрессию с разностью д, взаимно простой с и. Является лн всоникающее прн этом топологическое пространство хаусдорфовым? Ь) Какова топология И как подмножества К действительных чисел, взятых со стандартной топологией? с) Опишите все открытые подмножества К 3. Если на одном и том же множестве заданы две топологии т» и тю то говорят, что топология т«сильнее топологии тм если т» С тю т.
е. в тм кроме 18 ГЛ, 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) открытых множеств, составляющих систему ты содержатся еще некоторые множества, не вошедшие в ты а) Сравнимы ли две топологии на?1, рассмотренные в предыдущей задаче? Ь) Если на множестве С[0, 1] непрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке [О, 1], ввести метрику сначала соотношением (6) из з 1, а затем соотношением (7) из того же параграфа, то на С[а, Ь] возникнут, вообще говоря, две топологии. Сравнимы ли они? 4.
а) Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство ростков непрерывных функций не хаусдорфово. Ь) Объясните, почему это топологическое пространство не метризуемо. с) Каков вес этого пространства? 5. а) Сформулируйте аксиомы топологического пространства на языке замкнутых множеств. Ь) Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его замыканием. с) Проверьте, что граница любого множества является множеством замкнутым. с1) Покажите, что если У' замкнуто, а С открыто в (Х, т), то множество С '1 У открыто в (Х, т). е) Если (У, тт) ---подпространство топологического пространства (Х, тх), а множество Е таково, что Е О У С Х и Е Р тх, то Е б тт. 6. Топологическое пространство (Х, т), в котором любая точка является замкнутым множеством, называют топологичесним пространством в сильном смысле или тыпростаранством.
Проверьте, что а) всякое хаусдорфово пространство является тгпространством (отчасти поэтому хаусдорфовы пространства называют тз-иростаранствами); Ь) не всякое тыпространство является тз-пространством (см. пример 4); с) двоеточие Х = (а, Ь) с системой открытых множеств т = (И,Х) не является ть-пространством; 6) в тыпространстве множество У замкнуто тогда и только тогда, когда У содержит все свои предельные точки. 7.
а) Докажите, что в любом топологнческом пространстве имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса пространства. Ь) Проверьте сепарабельность метрических пространств С[а, Ь], С< "1 [а, Ь], Ю1 [а, Ь], Я.„[а, Ь] (формулы соответствующих метрик см. в З 1). с) Проверьте, что если на множестве ограниченных вещественноэначных функций, определенных на отрезке [а, Ь], ввести метрику соотношением (6) из з 1, то получится не сепарабельное метрическое пространство. 13.
КОМПАКТЫ 19 3 3, Компакты 1. Определение и общие свойства компакта Определение 1. Множество К в топологическом пространстве (Х, т) называется компактом (бикомпактом1)), если из любого покрытия К множествами, открытыми в Х, можно выделить конечное покрытие К. Пример 1. Отрезок [а,6] множества К действительных чисел, рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом,что немедленно вытекает из доказанной в гл. П, 9 1, п.
3 леммы о возможности выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами. И вообще т-мерный промежуток Р" = 1х Е К" ~ а' ( х ( 6',2 = = 1,, т) в К™ является компактом, что было установлено в гл. ЧП, 91, п.3. В гл. ЧП, 9 1, п. 3 было доказано также, что подмножество Кп4 является компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и ограничено.
В отличие от относительных свойств множества быть открытым или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от объемлющего пространства. Точнее, имеет место следующее о'тверждение 1. Подмножество К топологичесного простпранства (Х, т) является компактом о Х тогда и только тогда, когда К является компактом о себе пан в топологическом пространстве с индуиированноб из (Х4 т) топологие21. < Сформулированное утверждение следует из определения компакта и того обстоятельства, что каждое множество Ск, открытое в К, получается пересечением К с некоторым множеством Сх, открытым вХ.
> Таким образом, если (Х, тх) и (У, ту) — два топологических пространстза, индуцирующих одинаковую топологию на множестве К С С (Х П У), то К одновременно компактно или нет как в Х, так и в У, Пример 2. Пусть 41 — стандартная метрика на К, а 1 = (х Е К ~ и То понятне компакта, которое вводит определение 1, в топологии нногда нменуют бвкомпакп2ом. 2 — 4574 20 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБП1АЯ ТЕОРИЯ) 0 с х с Ц вЂ” единичный интервал в Я.
Метрическое пространство (1, в1) замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например, оно не яьляется компактом в Я. Установим теперь важнейшие свойства компактов. Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если К вЂ” компантп в хаусдорфовом простпранстве (Х, т), то К вЂ” замкнутпое подмножество Х. ~ В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить, что любая предельная для К точка хо Е Х принадлежит К.
Пусть хо ф К. Для каждой точки х Е К построим такую ее открытую окрестность С(х), что хо обладает окрестностью, не пересекающейся с С(х). Совокупность С(х), х е К, всех таких окрестностей образует открытое покрытие К, из которого выделяется конечное покрытие С(х1),..., С(х„). Если теперь 0,(хо) — такая окрестность точки хо, что С(х,) П 0,(хо) = И, то множество 0(х) = () 0,(хо) также в=1 является окрестностью точки хо, причем С(х,) П 0(хо) = И при любом 1 = 1,...,п.
Но это означает, что К Г1 0(хо) = И и хв не может быть предельной точкой для К. > Лемма 2 (о вложенных компактах). Если К1 .в К2 Э :в К„.в ... — последовательность непустых вложенных компактов хаусдорфова пространства, тпо пересечение П К, непусто. в=1 < В силу леммы 1 множесгва С, = К| '1 К„1 = 1,...,и,... открыты в К1. Если пересечение П К, пусто, то последовательность в=1 С~ С Сз в ... С С„~... всовокупностиобразуетпокрытиеК1. Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент С„, последовательности Уже покРывает Кь Но по Условию Кт = К1 '1С,„~ И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
