Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а) Верно ли, что объединение любого семейства замкнутых множеств является множеством замкнутым? Ъ) Всякая ли граничная точка множества является его предельной точкой? с) Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества имеются как внутренние, так и внешние точки этого множества? д) Покажите, что множество граничных точек любого множества является замкнутым множеством. 4. а) Докажите, что если (У, д») есть подпространство метрического пространства (Х,д»), то для любого открытого (замкнутого) множества Су (Уг) в 1' найдется такое открытое (замкнутое) множество С» (У») в Х, что Су = УПС» (У» = УПУ»).
Ъ) Проверьте, что если открытые множества С',„С1', из У ие пересекаются, то соответствующие множества С», С'» в Х можно выбрать так, что они тоже не будут иметь общих точек. 5. Имея метрику д на множестве Х, можно попытаться определить рЪс- 12. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО стояние Й(А, В) между множествами А С Х и В С Х следующим образом: Й(А,В) = пК д(а,Ь). аЕА,ЬЕВ а) Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых ие пересекающихся его подмножеств А, В, для которых д(А, В) = О. Ь) Покажите, следуя Хаусдорфу, что иа множестве замкнутых подмножеств метрического пространства (Х, д) можно ввести метрику Хаусдоуфа Р, полагая, что для А С Х и В С Х Р(А, В):= таях(гир д(а, В), яир д(А, Ь)).
аЕА ЬЕВ $2. Топологическое пространство Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое окрестность точки. Чтобы убедиться в зтом, достаточно вспомнить, что само определение предела или определение непрерывности может быть сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое пространство является тем математическим объектом, на котором операция предельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее общем виде.
1. Основные определения Определение 1. Говорят, что множество Х наделено структурой топологического простпранстпва, или наделено топологией, или что Х есть топологичгское простпранство, если указана система т подмножеств Х (называемых открытыльи льнолсествами в Х), обладающая следующими свойствами: а) О Е т; Х Е т. Ь) (1аокА(табт)) =; О т„Ет. аЕА с) (т; б т;ь' = 1,...,п) ~ П т; Е т. 1=1 Таким образом, топологическое пространство есть пара (Х,т), состоящая из множества Х и системы т выделенных его подмножеств, обладающей теми свойствами, что т содержит пустое множество и все 12 ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБШАЯ ТЕОРИЯ) множество Х, что объединение любого числа множеств системы т есть множество системы т и пересечение конечного числа множеств системы т есть множество системы г. Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологического пространства постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое метрическое пространство с определенным вьппе понятием открыгого множества в нем является топологическим пространством. Итак, задагпь шопологию в Х значит указать систему т подмножеств Х, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического пространства. Задание метрики в Х, как мы видели, автоматически задает топологию на Х, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить, что разные метрики на Х могут порождать на этом множестве одну и ту же топологию.
Пример 1, Пусть Х = И" (п ) 1). Рассмотрим в К" метрику 41(хм х2), задаваемую соотношением 15) 2 1, и метрику Ы2(хм х2), определенную формулой (3) 2 1. Из неравенств о1(х1, х2) ~~ 42(хм х2) ь. ъ/пй1(х1, х2)1 очевидно, следует, что каждый шар В(а, г) с центром в произвольной точке а Н Х, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики. Отсюда в силу определения открытого подмножества метрического пространства вытекает, что обе метрики индуцируют на Х одну и ту же топологию.
Почти все топологические пространства, которые мы будем активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство можно метризовать, т.е. наделить его метрикой, открытые множества в которой будут совпадать с открытыми множествами системы т, задающей топологию на Х. Условия, при которых это можно сделать, составляют содержание так называемых метризационных теорем. Определение 2.
Если (Х,т) — топологическое пространство,то множества системы т называют открытыми, а дополнения к ним в 62. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО Х вЂ” замкнутыми множествами топологического пространства (Х, т). Топологию т в множестве Х редко задают перечислением всех множеств системы т.
Чаще систему т задают, указывая лишь некоторый набор подмножеств Х, объединением и пересечением которых можно получить любое множество системы т. Весьма важным поэтому является Определение 3. Базой тпополоеическоео простпранстпва (Х, т) (отакрытой базой или базой топологии) называется такое семейство л) открытых подмножеств Х, что каждое открытое множество С е т является объединением некоторой совокупности элементов семейства З. Пример 2.
Если (Х,а) — метрическое пространство, а (Х,т)— соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность З = (Б(а, т)) всех шаров, где а б Х и т > О, очевидно, является базой топологии т. Более того, если брать систему З всех шаров с положительными рациональными радиусами т, то эта система также будет базой топологии т.
Итак, топологию т можно задать, описав лишь базу этой топологии. Как видно из примера 2, топологическое пространство может иметь много различных баз топологии. Определение 4. Минимальная мощность бзз топологического пространства называется его весом. Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4 и 6). Пример 3. Если в К" взять систему Я шаров всевозможных рациональных радиусов т = ™„> О с центрами во всевозможных рациональных точках (~,',..., ~~"-) б К, то мы, очевидно, получим счетную базу стандартной топологии пространства Кь.
Нетрудно проверить, что конечной системой открытых множеств стандартную топологию в К" задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое пространство К имеет счетный вес. Определение 5. Окрестностью точки топологического про- 14 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) странства (Х,т) называется открытое множество, содержащее эту точку. Ясно, что если на Х задана топология т, то для каждой точки определена система ее окрестностей. Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек топологического пространства может служить базой топологии этого пространства.
Таким образом, топологию в Х можно ввести, описав окрестности точек множества Х. Именно эта форма задания топологии в Х и была начальной в определении топологического пространства' ). Заметьте, что, например, в метрическом пространстве саму топологию мы ввели по существу, указав лишь, что такое д-окрестность точки.
Приведем еще Пример 4. Рассмотрим множество С(лс, лс) вещественнозначных непрерыв- У ных функций, определенных на всей числовой прямой, и на его основе постро- х им новое множество — множество ростков непрерывных функций. Две функции д ,1, д й С(2, К) будем считать эквивалент- Рис. 66. ными в точке а Е 14', если найдется такая окрестность У(а) этой точки, что Чх Е У(а) (Дх) = д(х)). Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно).
Класс эквивалентных между собой в точке а е И непрерывных функций назовем ростком непрерывных функций в этой точке. Если 1 — одна из функций, порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом уе. Определим теперь окрестность ростка. Пусть У(и) ---окрестность точки а в К, у — определенная в У(а) функция, порождающая росток Д в точке а. Эта же функция в любой точке х Е У(а) порождает свой росток 7",. Множество ()' ) ростков, отвечающих точкам х б У(а), назовем окрестностью ростка у',. Приняв множество таких окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство.
о Понятия метрического н топологического пространства были сформулированы в явном виде в начале нашего столетия. В 1906 г, французский математик М. Р. Фрешс (1878 — 1973) ввел понятие метрического пространства, а в 1914 г. немецкий математик Ф. Хаусдорф (1868 †19) определил топологическое пространство, в 2.
ТОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО 15 Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две различные точки (ростки) (в, дв могут не иметь непересекающихся окрестностей (рис. 66). Определение 6. Топологическое пространство называется хаусдордювым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа: любые две различные точки пространства обладают непересекающимися окрестностями. Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек а, Ь б Х таких, что д(а, Ь) > О, их шаровые окрестности В (а,,~~д(а, Ь)), В (Ь, 7~4(а, Ь)) не имеют общих точек. Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфовы топологические пространства.
Пожалуй, простейшим примером тут может служить топологическое пространство (Х, т) с простейшей топологией т = (И, Х). Если Х содержит хотя бы две точки, то (Х, т), очевидно, не хаусдорфово. Более того, дополнение Х ~ х к точке в этом пространстве не является открытым множеством.
Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми пространст- вами. Определение 7, Множество Е С Х называется всюеЬ~ плотным в топологическом пространстве (Х, т), если для любой точки х б Х и любой ее окрестности У(х) пересечение Е Г1 У(х) непусто. Пример 6. Если в К рассмотреть стандартную топологию, то множество Я рациональных чисел является всюду плотным в К. Аналогично множество Ц~' рациональных точек К" всюду плотно в К".
Можно показать, что в каждом топологическом пространстве имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса этого топологического пространства. Определение 8. Метрическое пространство, обладающее счетным всюду плотным множеством, называется сепарабелвным пространством. Пример 7. Метрическое пространство (К",д) в любой из стандартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку множество ~T всюду плотно в нем. 16 ГЛ. 1Х.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Пример 8. Метрическое пространство (С([0, Ц, К), д) с метрикой, определенной соотношением 1б), также сепарабельно, ибо, как следует из равномерной непрерывности функций у Е С1[0, 1), К), график любой такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечнозвенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно. Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными пространствами. Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в топологическом пространстве дословно совпадает с определением окрестности точки в метрическом пространстве,то, естественно, ра11- смотренные в 6 1 понятия внутпренней внешней, граничной, предельной точки множества и понятия замыкания множества, использующие только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай произвольного топологического пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
