Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(а(1в)). С учетом оценки (2) и условия а), получаем д(а(1), а(йо)) = Ы(а(1), хо) < 1 1 < а(хыхв) = "й(а(1в)) йь(а(1в))). Последний член в этом соотношении в силу условия Ь) стремится к нул1о при 8 -+ 1в. Таким образом, доказано, что 1пп д(а(Х),а(1в)) = О, т.е. 1ип а(1) = а(1в). ~ ~-+~о ь-+юа Пример 1. В качестве важного примера применения принципа сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему существования решения дифференциального уравнения у'(х) = Дх,у(х)), удовлетворяющего начальному условию у(хо) = ув. Если функиия 7 Е С(~к, К) такова, что ~У(и~щ) 1(и)из)~ ~ ~Щщ и2~~ зде М вЂ” некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное условие у(хв) ув существуют окрестность У(хв) точки хе е 2 и определенная в ней единственная функиия у = у(х), которая удовлетворяет уравнению у' = у(х,у) 4о ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) и начальному условию (3). м Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде одного соотношения У( ) Ув о( У()) хо (5) Обозначая через А(у) правую часть последнего равенства, находим, что А: С(у'(хв), )к) -+ С(Ъ'(хв), К) есть отображение множества определенных в окрестности Ъ'(хв) точки хв непрерывных функций в себя. Рассматривая С(у'(хв),)к) как метрическое пространство с равномерной метрикой (см. формулу (б) из г 1), находим, что а(АУ1, Ауг) = п1ах хЕУ(хо) х х у(1, У1(1)) и — у(1, дг(1)) (1 о хо ~ (П1ЗХ хЕУ(хо) х М~У1 (г) уг(1) ~ о(1 о ( М)х — хв)о((У1, дг). Если считать, что ~х — хв~ ( 2)(у, то на соответствующем отрезке 1 1 оказывается выполненным нерав™енство 1 а(АУ1,Ауг) ( 2а(У1,уг), где Ы(у1, уг) = шах (у1 (х) — уг(х) ~.
Таким образом, мы имеем сжимающее хе1 отображение А: С(1,)к) -+ С(1,)к) Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать, исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого нам уравнения полного (см. пример 4 из г 5) метрического пространства (С(1, )к), Н) в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь и притом единственную неподвижную точку у = Ау. Но зто означает, что найденная в С(1, )к) функция и будет той единственной функцией, которая определена в 1 Э хв и удовлетворяет уравнению (5).
~ 1 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 47 при начальном условии (3). В данном случае х АУ = Уо + У(1) аг, и принцип применим по крайней мере при [х — хо[ < >7 < 1. Исходя из начального приближения у(х) = О, построим последовательность О, у1 — — А(О),..., да+2(1) = А(у„($)),... приближений У2(1) — = Уо, уг(>) = уо(1 + (х — хо))> уз(1) = уо(1+ (х — хо) + — (х — хо) ) > г 2 1, 1 у ь1(8) = уо(1 + (х — хо) + — (х — хо) +... + — (х — хо)»), из которой уже видно, что у(х) у ее-еь Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной выше теореме, носит также название принципа схсинаюи4их отображений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1 доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального уравнения (4).
В полной общности принцип сжимающих отображений был сформулирован Банахом. Пример 3. Мешод Ньютона отыскания нория уравнения Дх) = = О. Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [о, Д веШественнозначная функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет, и притом единственную, точку а, в которой 7'(а) = О. Наряду с простейшим общим методом поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более тонкие н быстрые методы отыскания точки а, использующие специфику функций у. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим 48 ГЛ.
1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Рис. 68. методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона или методом касательных. Возьмем произвольную точку хо Е (о, Д и запишем уравнение у = ~(хо) + ~'(хо)(х — хо) касательной к графику нашей функции в точке (хо, Дхо)). Найдем точку х1 = хо-(У'(хо)) ~'У(хо) пересечения касательной с осью абсцисс (рис.
68). Примем х1 в качестве первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя хо на хь Так мы получим последовательность х„+ь = х„— (( (х„)),((х„) (6) точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно стремиться к а. В частности, если Дх) = х" — а, т.е. когда мы ищем фа, где а ) О, рекуррентное соотношение (6) имеет вид х„— а л х„.ь1 = х„— йх„ что при Й = 2 преобразуется к знакомому выражению х„+1 = — х„+— Способ (6) образования последовательности (х„) называют методом Ньютона.
Если вместо последовательности (6) рассматривается последовательность,получаемоя рекуррентным соотношением хо+1.= хь — К(хО)Г' У(хь), 17. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ то говорят о моди4инироеанном метиоде ньютона11. модификация состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке хо. Рассмотрим отображение х ~-> А(х) = х — [У'(хб)) ~У(х). (8) По теореме Лагранжа [А(хз) — А(х1)[ = Ц'(хо)[ ' ~'(~)[ [х2 — х1[, где (' — некоторая точка, лежащая между х1 и хз. Таким образом, если на некотором отрезке 1 С Н выполнены условия А(1) с 1 (9) [[1 (хо)) 1 (х)[ < д < 1, (10) то задаваемое соотношением (8) отображение А: 1 -+ 1 окажется сжимающим отображением зтого отрезка.
Тогда по общему принципу оно имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно из (8), условие А(а) = а равносильно соотношению 1(а) = О. Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции 1 модифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения 1 (х) = О. Задачи и упражнения 1.
Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие (1) нельзя заменить более слабым условием с1(1(х1)~,1 (хэ)) < о(х1 ~ хэ) ° 2. а) Докажите, что если отображение 1: Х -+ Х полного метрического пространства (Х,8) в себя таково, что некоторая его итерация 1": Х вЂ” 1 Х является сжимающим отображением, то 1 имеет, и притом единственную, неподвижную точку. ПВ функциональном анализе оп имеет многочисленные применения и называетсл методом Ньютона †Канторови, Л.
В.Канторович (1912 †19) †-выдающийся советский математик, экономико-математическиеисследования которого отмечены Нобелевской премией. 50 ГЛ. 1Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) Ь) Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: С(Х, И) — > — > С[Х, К) таково, что при любом отрезке Х С И некоторая итерация А" отображения А является сжимающим отображением. с) Получите из Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у = = усе* *' на самом деле является решением исходного уравнения на всей числовой прямой. 3. а) Покажите, что в случае выпуклой с положительной производной на отрезке [а, Д функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, метод Ньютона (6) действительно дает последовательность (х„), сходящуюся к той точке а Б [а, Д, в которой Х [а) = О.
Ъ) Оцените скорость сходимости последовательности [6) к точке а. я ГЛАВА Х ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСх1ИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОхХКИ ЗРЕНИЯ 21. Линейное нормированное пространство Дифференцирование — это отыскание наилучшего локального линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая теория дифференцирования должна опираться на элементарные представления, связанные с линейными Функциями. Из курса алгебры читателю хорошо знакомо понятие линебнозо пространсшвц а также понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, базиса и размерности линейного пространства, подпространства и т.
д. В этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах с нормой нли, как говорят, линейных нормированных пространствах, широко используемых в анализе. Начнем, однако, с примеров линейных пространств. 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа Пример 1, Классическими примерами линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел являются соответственно вещественное К" и комплексное С' арифметические пространства размерности п.
Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1 пространствами К', С', встречается наиболее близкое к ним пространство 1 последовательностей х = (х~,...,х",... ) действительных нли комплексных чисел. Линейные операции в 1, как и в Р' и С', осу- ГЛ. Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 52 ществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с М' или С" является то, что любая конечная подсистема счетной системы векторов (х, = (О,...,О,х' = 1,0,... ), 1 Е 1Ч) линейно независима, то есть 1 — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное пространство. Совокупность финитных последовательностей (все члены которых, начиная с некоторого, равны нулю) является линейным подпространством / пространства 1, причем тоже бесконечномерным.
О Пример 3. Пусть с[а,Ь] — множество числовых (действительноили комплекснозначных) функций, определенных на отрезке [а, Ь1. Это множество является линейным пространством (над соответствующим числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и умножения функции на число. Совокупность функций вида )( О, если хб[а,61 и хфт, '1 1, если хб[аЬ) и х=т является континуальной системой линейно независимых векторов в г'[а, 61 Множество С[а,61 непрерывных функций, очевидно, является подпространством построенного пространства г [а, 6). Пример 4.
Если Х1 и Х2 — два линейных пространства над одним и тем же полем, то в их прямом произведении Х~ х Х2 естественным образом вводится структура линейного пространства, если линейные операции над элементами х = (хмх2) Е Х1 х Х2 выполнять покомпонентно. Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом произведении Х1 х ... х Х„любого конечного набора линейных пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
