Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это следует из определения множества Сз и свойств меры промежутка (лемма 1). Отметим также, что любое подмножество промежутка 1, диаметр которого меньше д, либо содержится в множестве Сз, либо лежит в компакте К = 1 1 (Сз '1 дСз), где дСз — граница Сз (и, следовательно, Сз '1 дСз — совокупность внутренних точек множества Сз). По построению Е, С 1 1 К, поэтому в любой точке х Е К должно быть ы(1: х) < е.
По лемме 4 найдется число 3 > 0 такое, что для любой пары точек х1, хз Е К, удаленных друг от друга не больше чем на о, имеет место неравенство ~Х(х1) — 1(хз)~ < 2е. Сделанные построения позволяют теперь следующим образом провести доказательство достаточности условий интегрируемости. Берем любые два разбиения Р', Р" промежутка 1 с параметрами Л(Р'), Л(Р") меньшими, чем Л = пйп(с~, б). Пусть Р— разбиение, полученное пересечением промежутков разбиений Р', Р", т. е. в естественных обсоначениях Р = (1, = 11 П 1").
Сравним интегральные суммы о.(1, Р, () и о (1, Р', ~'). Учитывая, что (~1( = Х; (Хн(, можно записать: /п(Х, Р~, (') — ст(Х, Р, ~)~ = < ,'1.", ~Х'(© - Ип)К ~+ ~, ~Х© — И* )ПЧ. Здесь в первую сумму Х вошли те промежутки Хн разбиения Р, 11. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 137 (о(1,Р',4') — оЦ,Р",4и)! < 4(3"М+ Щ)е для любых разбиений Р', Ра с достаточно малыми параметрами. В силу критерия Коши теперь заключаем, что 1 е Я.(1).
> Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве, то критерий Лебега в его достаточной (но не в необходимой) части, как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве. 3. Критерий Дарбу.
Рассмотрим еще один полезный критерий иятегрируемости функции по Риману, применимый уже только к вещественнозначным функциям. а. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть 1 — вещественнозначная функция на промежутке 1, а Р = (1,) — разбиение промежутка 1. Положим т, = 1п11(х), хед Определение 10. Величины М, = вору(х). в(У,Р) = ~~1 т,~1,(, Я(1',Р) = ~~~ М,~1,~ называются соответственно нижней и верхней интегр льной суммой (Дарбу) функции 1 на промежутке 1, отвечающей разбиению Р этого промежутка. которые лежат в промежутках 1, 'разбиения Р', содержащихся в множестве Сз, а остальные промежутки разбиения Р отнесены к сумме 2 т.е.
все они обязательно содержатся в К (ведь Л(Р) < а). Поскольку ф < М на 1, заменяя в первой сумме ~Д~,') — Я, )~ величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М 3"е. Учитывая, что во второй сумме С,',~п Н 1, 'С К, а Л(Р') < б, заключаем, что ~~(ф,') — 1((, )~ < 2е, и, следовательно, вторая сумма не превосходит 2е)1~.
Таким образом, (о(1,Р',4') — о(1,Р,С)~ < (2М 3" +2Ще, откуда (ввиду равноправности Р' и Ра), используя неравенство треугольника, получаем, что гзв ГЛ, Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лемма б. Мезсду интегральными суммами функиии 1': 1 -ь й имеют место следующие соотношения. «) в(Д Р) = (п(о(ф Рб) < о(Д Р6) < эзро(Д Р() = Л(ф Р); \ Ь) сс и разбиение Р' промежутка 1 по учоепюл измельчением промезсутков разбиения Р, то в(Д Р) < в(Д Р') < Я(Д Р') < Я(1', Р); с) для любой пары Рм 1ч разбиение промежупша 1 справедливо неравенсспво в(ДРь) < Я((,рх).
м Соотношения а) и Ь) непосредственно сзедуют пз определений 6 н 10 с учетом, разумеется, определений зерхной и нижнея граней числового множестшк Дл» докачательстна соотношения с) достаточно рассмотреть вспомогательное рэзбиенне Р, получающееся пересечением промежутков рвзбиенийР~и Рз Рззбиение Р можно рэссматриватькакизмельчение каждого из разбиений Р,, РЬ,поэтому из соотношений Ь) следует,что в(Д Ре) < .(У, Р) < б(Д Р) < 5(У, Рзр Ь. Нижний н верхний интеграны Определение 11.
Лишним и вертким инпьегралом (Дарбу) от функиии 1: 1 -ь Ж на яреме утке 1 эз ваю * соотнетстненно величины .У=вире(ДР), 7=(пуб(ДР), где нсрхня» и нижнвя грани бсругс» по всевозможным рввбиенивм Р промежутка й Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу следует, что для любого рззбиення Р промежутка имеют место неравенства в((,Р) Н,7 Н,Т < Я(ДР). Теорема 2 (Дарбу). Длл юбоб огрониченноб функнии ~: 1 — ь Я имеюеп место утоерзсденил 11. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ НРОМЕЖУРКЕ <зв я Если совостазить зги утверждения с определением 11, то станови<ив ясна, гго в сущности надо лишь доказать существовакнг указаняых пределов.
Проверим зто для виж их интегральных сумм. Фиксируем г > О и такое ргзбиенне 1', промежутка 1, для которого г(Д Р,) >,7 — г. Пусть Г, — совокупность точек промежутка 1, лежащих на гракицс промежутков разбиени» Р,. Как следует яз примера 2, Г, есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры множества Г, о <сандиа даже, что найдется число А, таксе, что для лкйого разбиения Р, для которого А(Р) < Ао сумма объемов тех его промеяутков, которые имеют об<вью точки с Го меныпе чем г. Взяв теперь любое разбиение Р с параметрам А(Р) < Ао образуем вспомогательное разбиение Р',получаемоепересечеяисм промежутков разбиений Р и Р,.
В силу выбора рглбиеняя Р, н свойств сумм Дарбу (лемма 5), находим ~ — г < г(ДР) < г(ДР) <д. Теперь заметим, что в суммах г(Д Р') и г(ДР) общимн являются все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не задевгюшим Г,. П<атому, если (1'(х)( < М на 1, то (г(1,1 ) — г(,(, Р)( < 2Мг н, с учетом предыдуших неравенств, таким образом находим, что при 1(Р) < А, имеет место соотношение Д' -«(ДР) < (2М-1-1)г Сопоставляя иагученное соотношение с определеняем !1, заключаем, что предел 1ип г(Д Р) действительно существует и равен Т. «( )-<о Аналогичные рассуждении можно пронести и для нерхнпх сумм. в с. Крятеряй Дарбу интегрируемостн ве<цественнптначной функции Теорема 3 (критерий Дарбу).
Ояргдгленнал но иро.негсутке 1 С с Я" гсщсстесннозначнаг иункиил 1'< 1 — < Я инн<егриругма на неж тогда и только тогда, когда она ограничм а на 1 и сз нитная и есрхния интегралы Дарби соеиадают ГД. Х! 1СРЛТНЫВ ИНТНГРЛ ЧЬ1 140 Исхак, ~ б я(у) с=ь (~ ограничена ка 7) Л (у = Т). я Необходимость Есля У б П(7), то по утверждению 1 фувкцпл 7 ограничена ва 7. Из определения 7 иятегрзла, определения Н вгличив ьУ, .У и п. а) леммы б следует, что в этом случае также,7 = 7.
Достаточность. Поскольку з(ДР) < о((,Р,Ь) < Я(7 Р), то при „7 = У краяние иены этих керавеягтв по теореме 2 стремятсл к одному и тому же пределу, когда Л(Р) ь О. Значит, о(1', Р, б) имеет к прятом тот же предел при Л(Р) -1 О. Ю Замечание 3. Иэ докваатехьства критерия Дарбу пидна, что ес. ля функции иптегрируема, "со ее нижний и верхний вятегралы Дарбу совпадшот между собой я равны значению иятеграда от этой функции Задачи и упрвжпеняя 1. а) Поквжпт ', что миожество меры нуль ве пигет ввутревких точен Ь) Покажите, гса слв множество в иисст «вутрмсних точек, го это вовсе не ювн жст, ч о это мяоза ство меры нуль.
~) Постройте мвожм тва, «меюшее меру нуль, замыкание которого совпадает со в ем пространством й". 4 Говорвт, что множество Е с 1 имеет объем нуль, если дл» жсбогс с > О его можно покрьггь кокечвой системой 1... 1ь промежутков твк, что ь )' (1( < с. Всвкселя огравичеваое множество меры нуль месс объем яуль7 Пакажптс, что ешю окес во Е С %" л хстгх аря ым про введением В х е прямой 21 множества с С Ж" ' (п — 1)- ервои еры кусь, то Е ес ь м ш мтво орной меры уль. 2.а) Погтройтеавалогфув ци Дир хлеей эонажяте,чтоес ио рачеяява функция 7: 7 -ь В равна нулю почти во всех точках промевсутка 1, то это е це нс означает, что 7 О П(УЬ Ь) Пока:кятс, что есле / О П(1) я Дх) = О почтя ао всех точках промежу кву, то(у(г) йг = О. с 3.
Межпу прежним определением интеграла Римана ва отрюке 1 С В и оссредеюлигм 7 интеграла ва про гжу «е про эвольяой рюмервосс пмегтсс мзлеиьюзе рюл» иг, связан зе с овределеяием разбиеи в и меры про юкутха р.юбвеяпя. Уясви*е длл себе этот аюа с и проверьте, что /(х) Ю = ~ Дх) бх, егли о < Ь 12, иятегРА ч ПО мнОжестВу 141 ь Дх)дх — -(уу(х) !«, если а >Ь, где ! — ар межутак аа прэмай И с «анками а, Ь 4. а) да««пяте, что определенная на промежутке ! с й" впцественно заачазя функцию !.
! -ь И икгеграруема яа неи тогда и томка тогда, котла лэя любага г > О существует такое разбиа ае Р промежутка 1, что Б(ЕР) — з(!,Р) < «. Ь) Исэс. ьзуя резуььтаг а) и гчнтаз, чю рассматривзетс вешественнозначваз функция уь ! -ь Е, можно несколько упростить доказатээьстьо «ртеряя дебет» разде е, о поспцекслк достаточности. Пос араб ес са огюлтшьаа сделать этн упрошеияя. 22. Интеграл но множеству 1. Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит инте. грпроеать функция не только по аромежутку, но я по другим ие слиш«ом «южным множествам в Я".
Определеняе 1. Множество Е С Й будем называть дапустамим, если оно ограничено в И" и его граница дЕ есть множество меры нуль (в смысле Лабега). Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в Из (И") явлвются допустимыми множествами. Пример 2. Пугть определсиныс на (и — 1)-мерном промежутке ! с б И" фуккции рю ! — ь И, ь = 1,2, гаковы, что 1сь(х) < уьэ(х) в любой точке х е !. Вьли эти фуикпии непрерывны, то на основании примера 2 нэ у! мола«о утварждать, что область в В", ограяиченвая графиками этих функций и боковой цилиндрической поиерхностью, лежаьцей над границей д! проме««утка (, «ел«атея допустимым множеством в И". Н амиим, чт грэ аа дд ноже'таа Е с И" согтоит иэ точек, з любой окрсстюьсти «отарых имеются как точки множества Е, так и точки дополнения Е в Из.
Значит, справедлява Лемма 1. !(и любьм множеств Е,ЕОЕэ с Ра: а) дЕ .. замкнутое о И" м«оэс«стао, б) д(Е1 СЕэ) с дЕ1 СдЕИ с) д(Е1 С Еэ) с дЕ1 О дЕэ; ГЧ Х! КГЯТНЫН ННТНГРАЛЫ 142 д) д(Е4 44 Еэ) с дЕ4 и ВЕэ. Отсюда и иэ определения 1 вытекает, что имеет место Лемма 2. Объединение влк псрсссчскке коне ново ввела дааусщкммх мвахсссте яелястся дааустаммм мважсстеам; разность дспуствммх мвожссте — тоже доаустамос мкахссстеа. Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
