Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 30
Текст из файла (страница 30)
По свойствам объема промежутка (Х» х У ~ = (Х»~ ~У ~, где каждый из объемов вычисляется в том пространстве К +", »4™, »4", которому принадлежит рассматриваемый промежуток, Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь Е 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 15гг следующие оценки: в'П',Р) = =~ гп1" У'(х,у))Хг х У;) (~ гп1 ~ гп1 ~(х,у))У;) )Хг) ( го уег; <У'г г /.гг,,г)гг ~х,~ <1 г ггг*г~х,~< г г < ~ впр Р(х))Х,) < ~ впр з'(х,у) гну )Хг) ( хЕХ, хЕХ, г г 1 < ~ впр ~ впр у" 1х,у)~1г~~ ~Х,( < хЕХ, уЕЪ~ < ~ впр 11х, у) ~Х, х 1' ~ = о11, Р).
ех, Поскольку у е 1с1Х х 1г), то при Л(Р) — г 0 оба крайних члена этих неравенств стремятся к значению интеграла от функции у по промежутку Х х 1г. Это обстоятельство позволяет из написанных оценок заключить, что Р е Я(Х) и что имеет место равенство з'1х, у) г4х гну = Р1х) г4х. ХхУ Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования по у, а затем по Х.
Ясно, что аналогичные рассуждения можно провести и в случае, когда сначала идет интегрирование по Х, а затем по 1'. ~ 2.Некоторые следствия Следствие 1. Если у' е Я(Х х 1г), то при почти всех (в смысле Лебега) значениях х Е Х интеграл 1 З'(х, у) гну суи4ествует и при Р почти всех значениях у Е 1' суи4ествует интеграл 1' ~(х,у) г4х. х ГЛ Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 156 М По доказанной теореме 1'(х,у) ду — ('(х,у) с~у дх = О Х У У и нижнего интегралов неокобках азность верхнего и н Но стоящая в око к р из 63 можно закл и 6 включить что зта 7 трицательна.
а . На основании леммы и ках х Е Х. на н лю почти во всех точках х с— разность равна ну б тео ема 3 61) интеграл /г(х,у) у суТогда по критерию Дарбу (теорема ин ществует почти пр и всех значениях х С Х с р еланного утверждеся и вто ая часть одел Аналогично доказываетс нил.
яс ток Т С К" являепдся прямым ироСледствие 2. Если промеясупдок Т = [а' о'], д = 1,, и, то взведением отпрезков, = ~а, дп д — 1 д 1 1(х)едх = Йх" с~хо ... 1(х,х,,х )ах . 1 1 а" а" а и но пол чается повторным р и именением до- ~~~ ф р ула о~~~яд~~ у В е вн т енине интегралы в правой ча казанной теоремы Все вну р можно поставить знак верх- ются как и в тео реме. Например, всюду можно постави него или нижнего интеграла. ~ П сть 1 х,у,е) = евш1х+у Найдем интеграл от о Т С Кз определяемый соотограничения втой функц р С оп ии на п омежуток С, оп ношениями О < х < к, ~у, ,'<к/2,0<я<1 По следствию 2 ;~г 1 /,1'( у е) е1хе1уе1е = еЬ с~у ев1п(х+ у) дх = (1(хуе х у в -1г 1 т/г .!г Ь ( лсоя(х+у)].=0) у 2е сов у Йу = в 1г в 1г 157 г 4. 4.
СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 1 1 р=- ~гг ~2хв)пу ~ 1) ~Ь = 4хсЬ = 2. 0 0 д ю теорему можно использоват д ть и ля вычисления инте- оказанную т гралов по дос таточно общим множествам. П пгь .Р оераниченное множестпео е а Следствие 3. успгь . Если Н Я1Е), Е = (1х ) Н Р' ~ '1х Е Р)/~(~рг1х) < у < ~рг(х))). Если 1" Н во ггг(х) 11х,у)ахар= ах 11х,у)ау. Е гг ггПх) 1 усть = х, П Е = (1х у) Н ~" ~ ~р11х) < у < ~рг(х)), если х е Р, и рала по множеству и используя теорему Вспоминая определение интеграла п Фубини, получаем | 1 1х, у) ах ау — ~А 1х, у) ах с~у— к г'>Е 1Хе(х, р) ~у = Пх, у)Ке (у) ду )~о(х) дх = С,ЗЛ ~гЗЕ !х гг ггг(х ггг(х) 1(х,у) ду Хег(х) Йх = |'(х,у) с~у с~х, д, 1х) нг (х) В нутренний й интеграл здесь тоже может уще не с ствовать на неко- тог а ем Н Р меры нуль в смысле Лсбега, и т д у тором множестве точек х тсо еме бини.
~ приписывается тот же же смысл что и в доказанной р Фу Замечание. ели в уел в Е словиях следствия 3 множество Р измеримо .; Р— + Р~ г = 1 2, непрерывны, то множество по Жордану, а функции ~р;; — +,„г = Е С К" измеримо по Жордану. 4 Граница д множества дЕ .Е состоит из двух графиков непрерывных кций~р;: -+2, г = ;: Р 2, ' = 1 2 1являющихся в силу примера2 ~1множест- в, Я п ямого оизведения границы дР множевами меры нуль), и части прямого пр 188 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ины 1.
ства .Р С Р' 1 на достаточно большой одномерный отрезок дли ы По условию дР можно покрыть системой 1п — 1)-мерных промежутков сумма 1п — 1)-мерных объемов которых будет меньше е/1. Прямое произведение этих промежутков на выбранный отрезок 1длины 1) даст покрытие множества Я промежутками, сумма объемов которых мены шее. ~ Па основании этого замечания можно сказать, что на измеримом множестве Е такой структуры 1как и на любом измеримом множестве Е) функция з': Š— + 1 н К интегрируема.
Опираясь на следствие 3 и на определение меры измеримого множества можно теперь заключить, что справедливо Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество Р измеримо по Жордану, а функции от;: Р— + К, т = 1,2, непрерывны, то множестпво Е измеримо и его объем можно вычислять по формуле п(Е) = (~рг(х) — ~р1(х)) дх, 12) Пример 2. Для круга Е = (1х,у) Н йг ) х + уг < гг) по этой формуле получаем -12 чтг 2 2 =41;/ — У'НУ вЂ” 41 ФЯ ~ Р)=8 Рь = о о о Следствие 5.
Пустпь Š— измеримое множество, лежащее в промежутпке 1 С К". Предстпавим 1 в виде прямого произведения 1 = = 1 х 1 1п — 1)-мерного промсжутпка 1 и отпрезка 1ю Тогда при по- У чтпи всех значениях уо Н 1и сечение Еоь — — (( ~у) ' У = уо) тва Е 1п — 1)-мерной гиперплоскостпью у = уо являетпся измеримым ее подмножестпвом, причем (3) тт 84.
СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 159 где 4т(Е„) (и — 1)-мернал мера множестпва Е„, если оно измеримо, и любое число между числами [ 1 дх и [ 1 дх, если Е„оказалось Е„ Е неизмеримым множестпвом. Отсюда,в частности, получается Следствие 6 (принцип Кавальерит)). Пусть А и  — два тпела в простпранстпве Кз, имеющие объем (тп. е. измеримые по Жордану). Пусть А, = ((х,у, я) и А ] я = с1 и В, = ((х,у,я) н В ] я = с) сечения тпел А гт В плоскостпью я = с.
Если при каждом с е К множества А„В, измеримы и имеют одинаковую площадь, то тпела А и В имеютп одинаковые объемы. Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для пространства К" любой размерности. Пример 3. Используя формулу (3), вычислим объем та шара В = = (х Н К" ] [х] ( г) радиуса г в евклидовом пространстве К". Очевидно, тт = 2т.. В примере 2 мы нашли, что тз = яг . Покажем, 2 что т'„= с„г", где с„— постоянная (которую мы ниже вычислим). Выберем какой-нибудь диаметр [ — г, г] шара и для каждой точки х Н [ — г, г] рассмотрим сечение В шара В гиперплоскостью, ортогональной выбранному диаметру. Поскольку Вя есть шар размерности и — 1, радиус которого по теореме Пифагора равен 4Р:хз, то, действуя по индукции и используя формулу (3), можно написаттс 1г т 'та = С„1(à — Х ) е дХ = — т с„1 сов" р д1о — я/2 (При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена х = ге)п1о.) ')Б.
Кэваяьерн 11598 1647) итальянский математик, автор так называемого метода неделимых дяя определения площадей н объемов. ~ Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы и следствия 1, если положить в них 1 = А' и учесть, что А' (х,у) = (х). ~ ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 160 Итак, показано, что Ъ;, = с„г", причем с„= с„г сов" ег АР.
(4) — ~г Теперь найдем постоянную с„в явном виде. Заметим, что при т > 2 -~г сов™ рйр = соя'" ~о(1 — 61п ~р) свр = — с/2 к/2 1 ( пь — ! 1 = гт — 2+ 61П~Оосов 97 = 1ти — 2 1ти~ пс — 1 / т — 1 — л,12 т.е. имеет место рекуррентное соотношение 7Π— 1 Ал = Аи-г. Иг (5) В частности, 12 = я/2. Непосредственно из определения величины 1 видно, что 11 = 2. Учитывая эти значения 1~ и 12, из рекуррентной формулы (5) находим, что (2й — 1) И (2й)!! 22 1= (2й)!! (2й + 1)!! (6) Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем 12й)И 12й).. (2й-1)И (2.-)' гьь'с сгь(2й+1)и =сг~-~(2й+1)и ~2й)и ~ — — с1.
рй+1)и (2й — 1)!! (2й — 1)!! (2й — 2)!! (2я) ь гг=сгь — 1 рй)и ~=~21-г рй)и ~2й 1)и — — сг ~2й)и 12я) гь (2й) и 12Я) „гь+1 (2й + 1)!! где й Е 14, причем первая из этих формул справедлива и при й = О. Но, как мы видели выше, с1 = 2, а сг = и, поэтому окончательные формулы для искомого объема Ъв таковы: з 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ НП Задачи и упражнения 1. а) Постройте такое подмножество квадрата 1 С в~, что, с одной стороны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого множества совпадает с 1.
Ь) Постройте функцию 1: 1 -+ Н, для которой оба участвующих в теореме Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время как 1 г Е(1). с) Покажите на примере, что если значения участвующей в теореме Фубяни функции Р'(х), подчиненные там условиям,7(х) < Е(х) < 7(х), в точках, где,У(х) < 7(х), просто положить равными нулю, то функция Е может оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в и функцию ~(х,у), равную единице, если точка (х, у) В и не является рациональной, и равную 1 — 1,се в рациональной точке (р/й, гп(п), где обе дроби несократимы.) 2. а) В связи с формулой (3) покажите, что если все сечения ограниченного множества Е семейством параллельных гиперплоскостей измеримы, то это еще не означает, что Е измеримо. Ь) Пусть в дополнение к условиям а) известно, что функция р(Е„) из формулы (3) интегрируема на отрезке 1, . Можно ли в этом случае утверждать, что Š— измеримое множество? 3.
Используя теорему Фубини и положительность интеграла от положиЛзс взс тельной функции, дайте простое доказательство равенства 3 — 3 — = ~- смея у шенных производных в предположении, что они являются непрерывными функциями. 4. Пусть с': 1, е — с Н вЂ” непрерывная функция, определенная на промежутке 1,л = (х В Н" ( и' < х' < Ь', 4 = 1,...,пс, а функция Е: 1 е — с К„ определена равенством Е(х) = 1(С) бс, с и где 1...
С 1 е. Найдите частные производные этой функции по переменным х' ...,хгч )' ' 5. Определенная на прямоугольнике 1 = ~а, Ь! х ~с,б) с йз непрерывная функция ~(х, у) имеет непрерывную в 1 частную производную ~~-. ь ь| я, а) Пусть Е(у) = / ~(х, у) сгх. Исходя из равенства Е(у) = / ~ / аа~ (х, 1) сгг+ а а +~(х, с) с4х, проверьте правило Лейбница, согласно которому Е'(р) = ) ~(х,у) сгх. 162 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ь) Пусть С1х, у) = )'111, у) (й. Найдите ~~~- и ~~~. а ( (о( с) Пусть Н(у) = )' 1'1х, у) (1х, где А е С(Н ~а, б). Найдите Н(1у). а 6. Рассмотрим последовательность интегралов Ео1х) = 11у)(1у, Е„1х) = ~, 11у)(1у, п Е И, 1 1х — у)" о о где 1 е С1К, К).
а) Проверьтс, что Ео1х) = г„(1х); го~ 10) = О, если /с < и; Ео ~ ~1х) = = 11х). Ь) Покажите, что о о 7. а) Пусть 1( Е -+ К вЂ” функция, непрерывная на множестве Е = 11х, у) Е ЕК~ (О(х(1АО < у(х).Докажите, что 1 я 1 1 1 1ь 1 Л*,Г ( о = 1' о 1' Г( ,Г ( ~*. о о о о 2ч мпя Ь) На примере повторного интеграла ) (1х ) 1 (1у объясните, почему о о не каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубиня двойным интегралом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
