Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем воспользоваться), что если ~р: 11 — + 1л диффеоморфизм отрезков, то всегда справедливы формулы Г 1(х) с1х = Д о у~у ~)(1) й, 1~ 6 1(х) нх = 11 о ~р~~р ~)(г) п1, 1, Л относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозначных функций. А если зто так, то, значит, в одномерном случае можно считать установленным, что формула (3) остается в силе для любой ограниченной функции 1, если интегралы в ней понимать как верхние или как нижние интегралы Дарбу.
Я 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 169 ~ Будем временно считать, что у — неотрицательная функция, ограниченная константой М. Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно взять отвечающие друг другу в силу отображения ~р разбиения Р, Р~ отрезков 1~ и 11 соответственно и написать следующие оценки, в которых я — максимальное из колебаний функции ~р на промежутках разби- ЕНИЯ Р1.' яцр ~(х))х, — х, 1/ < ~ япр ~(~р(1)) япр 1~р'(1ЦЮ, — 1, 1~ < леня, йеЖ, 1еьд <1 ж (лжи ~ мъ)1) Р~,1~ 1еаь 1еаь < Е - р (У(ФИ)НЬР (1Н + ЕТМ ~ < 1 1еЫ, < ~ япр (У(~р(Р))/~р'(1)$))А1,$+ я у ' япр У(~о(Р))/Ь1,$ < 1ЕЬА яеьй < ~ янр Я~р(1))/у'(~)$)/Ь1,!+еЛХ%$.
8еЫ, Учитывая равномерную непрерывность у, отсюда при ЛЯ) — э О получаем Г Ях) ~1х < О' ~ ~~п'~)(1) ~1а Е б Применяя доказанное к отображению д 1 и функции у'оу ~у'~, получаем обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицательных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую функцию можно представить в виде 1 = плах(у, О) — пщх( — 1, О) (разности неотрицательных), то зто равенство можно считать доказанным и в общем случае. Аналогично проверяется и второе равенство. > Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утверждение а) леммы 2 в случае вещсственнозначной функции у.
4. Случай простейшего диффеоморфизма в К". 11усчь ~р: 1Л -1 Р, — диффеоморфизм области Ря С Ц' на область Р С В"; (1,...,1"), (х1,...,х") — координаты точек 1 Н Щ и х Е К" соответственно. Напомним ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 170 Определение 2. Диффеоморфизм ~р: Р1 — + Р называется простеп1аим, если его координатная запись имеет вид 1п) .и — 1, и — 1(11 1п) 1я — 1 , я(11 1п), я(11 1я .й+1 я+1(11 1п1 1йч-1 ) 7 .п п (11 1п) 1п Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только одна из координат (в данном случае координата с индексом Й).
Лемма 3. Длл простей1аеао диффеоморфиэма у: Р, — 1 Рп оормула (3) верна. ~ С точностью до перенумерации координат можно считать, что рассматривается диффеоморфизм ~р, меняющий только п-ю координату. Введем для удобства записи следующие обозначения: (',...,*"-', .п) =: (*-,хп); (1',...,1"-',1") =: (Р,1"); Рх (хо):= ((х, х ) Е Рп ) х = хо); Р1 (го):= ((1, 1 ) Е Р1 3 1 = го). Таким образом, Рп (х), Р1 (1) — это просто одномерные сечения множеств Р, и Р1 соответственно прямыми, параллельными и-и координатной оси. Пусть 1 — промежуток в Щ, содержащий Рп. Представим 1 в виде прямого произведения 1 = 1- х 1 (п — 1)-мерного промежутка 1- и отрезка 1 и-и координатной оси.
Аналогичное разложение 11 — — 1; х 11 запишем для фиксированного в Щ промежутка 11, содержащего Рь Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и 171 з 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ замечание 2, можно написать, что 1(*)д*= 1 Х„,(*)д*= д* 1.Х~,(**")д*" = Р. | 1 1я 1п сСх |'(х,х") ах" = 1в Р, Сх1 дС" 11 Р„, СС) й (|' о ~р/ йеС ~~р'~ХР ) (С, С") й" = (у о ~р/ йеС р'/Х )(С) Й = (Т о ~р/ йеС ~р'/)(С) й. 1с Р~ 5. Композиция отображений и формула замены перемен- ных е Лемма 4. Если Р -+ РС дога из которых справедлива грале, то она справедлива и отображений.
-4 Рх два диффеоморфизма, для кажформула (3) замены переменных в интедля композиции ~р о СУ: Р— + Р этих / ! < Для докаэа Дл каэательства достаточно вспомнить, что (~р о СУ) = ~р о СУ' и что сСеС(~р о ~у)'(т) = сСеС ~р (С) деС ут1(т), где С = ~р(т). Действительно, тогда получаем, что Дх) йх = (| о ~р/ йеС ~р'/)(С) дС = Р, Р~ Я о ~р о СУ)/ йеС ~р' о СУ// йеС ф'))(т) йт = ((|' о (~р о СУ) ) ~ йеС(~р о СУ)'~) ) (т) Йт.
е мы учли также то обстоятельство, что для рас- В этой выкладке мы хчли сматриваемого диффеоморфиэма ЙеС ~р = +. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 172 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят на мысль воспользоваться возможностью локального разложения любого диффеоморфизма в композипию простейших Ссм.
утверждение 2 из п.4 3'6 гл. ЧП1 часть 1) и на этом пути получить в общем случзе формулу С 3) . Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестностям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1, 3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных в кратном интеграле. ~ Для каждой точки С компакта Кс = япррСС1 о (р)~(хеСФ() С Ц построим такую ее бСС)-окрестность АСС), в которой диффеоморфизм с( раскладывается в композицию простейших.
Из -ь -окрестностей б(Н 11СС) С УСС) точек С Е Кс выделим конечное покрытие и 11СС1),..., 11(СС) компакта Кг Пусть б = 2 ппп(бСС1),...,б(СС)). Тогда любое множес- 1 тво, диаметр которого меньше чем б, и которое пересекается с К(, очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из окрестностей системы 11СС1),..., 11ССС). Пусть теперь 1 — промежуток, содержащий множество Рм а Р— такое разбиение промежутка 1, что АСР) ( ш1пСб,(11, где число б найдено выше, а (х' расстояние от КС до границы множества РС. Пусть С1,) — те промежутки разбиения Р, которые имеют с КС непустое пересечение. Ясно, что если 1, Е 11,), то 1, С Р~ и Образ Е, = (рС1,) промежутков 1, по лемме 1 является измеримым множеством.
Тогда и множество Е = ()Е, измеримо, и япрр1" С Е = = Е С Р . Используя аддитивность интеграла, отсюда выводим, что 1 ~(Н 6 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 173 =Г ... *=1™ .=Ю™ .. е е е, (7) Г 7" (х) йх = (1 о ~р/ сСеС ~р'/) (С) й. е (8) Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3), > 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах а. Замена переменных при отображениях измеримых мно- жеств Утверждение 1. Пусть у: Рс — 1 Р— диффеоморфизм открытого ограниченного множества Р~ С К" на такое же множество П С 2."; Ес и Š— подмножества Рс и Рг соответственно, пРичем такие, что Ес С Ро Е = Р и Ег = ~Р(Ес).
Если 7' Е Е(Е ), то 7'ь Са) оеС~р') Е Я.(ЕС) и имеет места равенства 1(х) сЬ = (1 о~р~йеС~р ~)(С) й. < Действительно, Г Пх) Ьх = С7Хе Их) Йх = МУХ ) ° Р)~деСС '~)Ж й = е, 0„ йс Я о ~р) / сСеС ~р/Хе ) (С) й = ((~ о ~р) / с)еС ~р/)(С) й, В этой выкладке мы использовали определение интеграла по множеству, формулу (3) и то обстоятельство, что Х = Х а аь > По построению любой промежуток 11 Е (7;) содержится в некоторой окрестности 17 (х ), в пределах которой диффеоморфизм ~р раскладывается в композицию простейших.
Значит, на основании лемм 3 и 4 можно записать, что 174 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРА.ЛЫ Ь. Инваривнтность интеграла. Напомним, что интеграл по множеству Е от функции 1: Š— 1 Ж сводится к вычислению интеграла от функции ~Х по промежутку 1 Э Е. Но сзм промежуток 1 был по определению связан с системой декартовых координат в К". Теперь мы в состоянии доказать Ъ'тверждение 2.
Величина ин7всграла от функции 1 по множеству Е С ~" нс зависит от выбора декартовых координат в Р'. ~ Действительно, переход от одной системы декартовых координат в ~п к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю равный единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство 11х) ах = 11 о ~р) (~) сИ. Но зто и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если р — точка множества Е, х = (х1,..., х") ее координаты в первой системе, 8 = 11,..., 1п) — во второй, а х = ~р1с) функция перехода от одних координат к другим, то 1 1р) = 1 1х,..., х ) = 1с(1,..., 8"), где ~р = ~~ о ~р. Значит, мы показали, что где Ех и Ер запись множества Е в системе координат х и 1 соответственно.
~ Из утверждения 2 и определения 3 ~ 2 меры (Жордана) множества Е С ~п можно заключить, что зта мера не зависит от выбора системы декартовых координат в К", или, что то же самое, мера Жордана инвариантна относительно группы движений евклидова пространства хС'. с. Пренебрежимые множества. Используемые на практике замены переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие е 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 175 днфференцнруемости). Как правило, этн особенности бывают на множествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полезна следующая Теорема 2.
Пг~сть ~р: Рс — + Р— отображение измеримого (по Жордану) множества Рс с 1~п на такое же множество Р. с И". Предположим, что в Рс и Р можно указать такие множества Яы Я меры нуль (в смысле Лебега), что Рс ~ Я~ и Рх ~ Я~ открытые мнохсества, а ~р отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом первое из них на второе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
