Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 35
Текст из файла (страница 35)
На множестве 1 ~ 1~ рассмотрим функцию ~~(-1, где 1 И(х) — расстояние от точки х Е 1 ~ 1~ до грани 1~. Выясним, при каких значениях а Е К интеграл от этой функции по множеству 1 ~ 1~ сходится. Заметим, что если х = (х1,..., х", х"+1,..., х"), то о(х) = Пусть 1(а) — это куб 1, из которого удалена я-окрестность грани 1~. По теореме Фубини Их" +1...
сЬ" /' пи -(*) l "* l Их + ) + + (х-) )- Х„„И 1„„® Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было проверено, что сходимость интеграла от функции ф влечет сходимость интеграла от функции 1. Оказывается, для несобственного в смысле определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) сходимости несобственного интеграла.
Чтобы сразу понять суть возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следу- ющий Пример 4. Пусть функция 1: 2+ -+ К определена на множест- 1 и — 1 ве 2+ неотрицательных чисел следующими условиями: Дх) = если и — 1 ( х ( и, и Е И. 1 и — 1 Поскольку ряд ~ ~ „сходится, то, как легко видеть, предел п=1 А при А -+ оо интеграла /' Дх) Их существует и равен сумме указанного О где и = (х"+,..., х"), 1„~(а) грань 1„~ С К" ", из которой удалена а-окрестность точки и = О.
Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что последний интеграл сходится лишь при а ( и — й. Значит, рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при а ( и — Й, где Й размерность грани, около которой функция может неограниченно возрастать. ~ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 187 На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная в области Р функция 1: Р -+ К неограничена в окрестности некоторого множества Е с ОР. Тогда мы удаляем из Р точки, лежащие в г-окрестности множества Е, и получаем область РЯ с Р.
При г -+ О зти области порождают исчерпание Р. Если же область неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в Р к окрестностям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое время и рассматривали в одномерном случае, и именно эти специальные исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай пространства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили, изучая несобственные интегралы на прямой.
3. Замена переменных в несобственном интеграле. В заключение получим формулу замены переменных в несобственных интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое дополнение к теоремам 1 и 2 из 8 5. Теорема 1. Пусть у: Рс — ~ Рх — диффеоморфное отображение открытого множества Рс С К~ на такое же множество Р с К", а функция ~: Р~ — ~ К интегрируема на измеримых компактных подмножествах множества Р~, Если несобственный интеграл / 1(х) Их В ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его членов можно получить ряд, например, расходящийся к +ос.
Частичные суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от функции ~ по объединению Е„соответствующих членам ряда отрезков вещественной оси. Множества Е„в совокупности, очевидно, образуют исчерпание области 2+ задания функции ~. Таким образом, несобственный интеграл / 1(х) Их от предъявлен- О ной функции ~: 2+ -+ К в прежнем его понимании существует, а в смысле определения 2 не существует. Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от порядка суммирования его членов.
Последнее, как нам известно, в точности равносильно абсолютной сходимости. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 188 сходится, то интеграл / И?" о у)~ с1е1~р'~)(~) сЮ также сходится и их Р~ значения совпадают. ~ Открытое множество Рс С К~~ можно исчерпать последовательностью лежащих в Рс компактов Е~~, й е И, каждый из которых является объединением конечного числа промежутков пространства К~~ (см. в этой связи начало доказательства леммы 1 из 8 5). Поскольку у: Р~ — ~ -+ Р диффеоморфизм, исчерпанию (Е~") множества Рс отвечает исчерпание Ее множества Р, где Е" = у(Е") — измеримые компакты в Р (измеримость множеств Е~~ следует из леммы 1, 8 5).
В силу утверждения 1 из 8 5 можно записать, что Дх) йх = И?" о у) ~ с1е1 у'~) (1) сй. Левая часть этого равенства при к -+ оо по условию имеет предел. Значит, правая часть при к -+ оо тоже имеет, и притом тот же, преде . ° Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот же предел при любом исчерпании Р~ указанного специального вида. В дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть теоремы. Но формально для завершения доказательства сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2 проверить, что найденный предел существует для любого исчерпания области Рс.
Эту (не вполне элементарную) проверку мы оставляем читателю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из доказанного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от функции ~~ о у~~ с1е$ у'~ по множеству Рс (см. задачу 7). Теорема 2. Пусть у: Рс — ~ Р— отображение открытых множеств Рс и Р . Предположим, что в Рс и Р можно указать такие множества Я~, Я меры нуль, что Р, ~ Я~, Р ~ Я вЂ” открытые множества, а у диффеоморфно отображает первое из них на второе. Если при этих условиях несобственный интеграл / Дх) Их сходится, то Р, сходится также интеграл / Я о у)~ с1е$ у'~)(~) сй и их значения со- НчЙ впадают. Если к тому же величина ~ с1еС у'~ определена и ограничена на ~ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189 ~ Сформулированное утверждение является прямым следствием теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из 8 5, если учесть, что при отыскании несобственного интеграла по открытому множеству можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых компактов (см.
замечание 3). ~ Пример 5. Вычислим интеграл О ~~-у-т —, который х +у (1 при а > О является несобственным, поскольку тогда подынтегральная функция неограничена в окрестности окружности х2 + у2 = 1. Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем Г Йхйу О тйтйр (1 х2 2)а // (1 .2)а' 0<у<2н 0<г<1 х2+у2(1 При а > О последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как предел по специальному исчерпанию прямоугольника 1 = ((т, у) Е К 0 < м < 2я Л О < г < 1) прямоугольниками 1„= ((г, м) О Й ~ О < р < < 2т Л О < г < 1 — — „~, и Е И.
Используя теорему Фубини, находим, что 11 приа<1 21г 1 (1 г2)~ -+ ~ (1 г2)а 1 О О 0<у<2н 0<г<1 На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный интеграл при а > 1 расходится. Пример 6. Покажем, что интеграл О * сходится х) + (у )х)+)у) >1 лишь при условии — + — ( 1. 1 1 Р Ч компактных подмножествах множества Рй, то функция (~од) ~ с1е1 у'~ интегрируема в несобственном смысле по множеству Рс и имеет ме- сто равенство ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ М Ввиду очевидной симметрии достаточно рассмотреть интеграл только по области Р, в которой х > О, у > О и х+ у > 1. Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное выполнение условий р ) О и д > О. Действительно, если бы, например, было р < О, то уже для интеграла по прямоугольнику 1А = ((х, р) Е К ~ 1 < г < х < А Д О < у < 1), лежащему в Р, мы бы получили оценку А 1 А 1 Г и'х > и'х ~х~Р+~ у~ч 1 1 фР+фч 1 1 1+ у~ч 1+Я' 1А 1 О 1 О О которая показывает, что при А -+ оо этот интеграл неограниченно возрастает.
Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать, чтор>Оид>О. В ограниченной части области Р подынтегральная функция не имеет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла равносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции, но, например, по той части С области Р, где х" + уд > а ) О. Число а предполагается достаточно большим, чтобы кривая х" + уд = а при х > О, у > О лежала в Р. Переходя к обобщенным полярным координатам у по формулам х = (т созг ~р)1~", у = (т 81пг~рЯд, на основании теоремы 2 получаем — т~~+~ сов~ у 81пч у Йт Йр.
о<р< уг аЯт<ао Используя исчерпание области ((т,у) Е К ~ О < у < л/2 Л а = т < < оо) промежутками 1,А = ((т, у) Е ~~ ~ О < я < ~р < тг/2 — аЛа < т < А) и применяя теорему Фубини, получаем Г ~ -+--г 1+1 2 г ~ т~~+ч соя~ уяпч у Йт Йр = о<р< уг аЯт<ао т/г — я 2 2 --1 . --1 -+- — г 1 1 = 1пп соя ~рипа ~рйр 1пп т~ ч йт. я — +О А — +оо ~ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Поскольку р > О и д > О, первый из этих пределов заведомо конечен, 1 1 а второй конечен, лишь когда „- + — < 1.
В- Задачи и упражнения Их й~ 1. Укажите условие на р и д, при котором интеграл О О<)х~+~у)<1 сходится. А 2. а) Существует ли 1ип / совхгсЬ? А+~о Ь) Сходится ли интеграл ~ соя х2 дх в смысле определения 2? Н1 с) Проверив, что 1пп Пяп(х +у ) с1хду = ~г и-+со / / (х)(п 1пп в1п(х~+у ) сЬду = О, лл-+ со хг+уг(2ллд убедитесь, что интеграл от я1п(х + у ) по плоскости К расходится. 2 2 2 111 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
