Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 36
Текст из файла (страница 36)
а) ВЫЧИСЛИТЕ ИНтЕГРаЛ Щ вЂ” АР+~. ооо * " ' Ь) Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к несобственным (как, впрочем, и к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл 2 2 — *л — -утт оиру расходится, в то время как оса повторных интеграла » (х +у) х2 2 роя р — *л:..утт Ну и р Ну р — *л:..утт Ня сходятся. (х +у) (х +у) 1 1 2 2 с) Докажите, что если ~ Е С(К, К) и ~ > О в В, то из существования любогоиз двух повторныхинтегралов /' сЬ 1 ~(х,у)ду, /' ду / Дх,у)дх вытекает, что интеграл О Дх, у) дх ду сходится и равен значению этого понг вторного интеграла. 4.
Покажите, что если ~ Е С(К, К), то 1пп — Дх) йх = Д(О). 1 6 л-+о хг 62+ х2 5. Пусть Р— ограниченная область в К" с гладкой границей, а Я вЂ” гладкая й-мерная поверхность, лежащая на границе области Р. Покажите, что 192 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ если функция ~ Н С(Р, ЕЛ допускает оценку ~д~ < — „--Л--;, где И = д(я, х)— расстояние от точки х Е Р до Я, а е > О, то интеграл от функции ~ по области .Р сходится. 6. В дополнение к замечанию 1 покажите,что оно остается в силе даже без предположения об измеримости множества Е.
7. Пусть Р— открытое множество в К", а функция ~: Р -+ К интегрируема на любом измеримом компакте, лежащем в Р. а) Покажите, что если несобственный интеграл от функции ф по Р расходится, то найдется такое исчерпание 1Е„) множества .Р, что каждое из множеств Е„является элементпарным компактпом в Р, состоящим из конечного числа и-мерных промежутков и О ~Д(х) ах -+ +со при и -+ со.
Е„ Ь) Проверьте, что если интеграл от ~ по некоторому множеству сходится, а от ~Д расходится, то должны расходиться также интегралы от У+ — — 2(~Д+ 1 + ~) и ~ = ~~()Д вЂ” ~). с) Покажите, что полученное в а) исчерпание 1Е„) можно разрядить так, что для любого и б М будет выполняться соотношение / ~+(х) дх ) Е„+1л Е„ ) / ~У~(х) ах + и. Е„ д) С использованием нижних интегральных сумм покажите, что если / ~+(х) дх ) А, то найдется такой элементарный компакт Е С Е, состоящий Е из конечного числа промежутков, что /' Дх) сЬ ) А. е) Выведите из с) и с1), что существует такой элементарный компакт г„С С Е„+1 ~ Е„, для которого / ~(х) дх ) / ~Д(х) сЬ + и.
Еп Еп 1) Покажите, используя е), что множества С„= .г„П Е„являются лежащими в Р элементарными компактами (т.е. состоят из конечного числа промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества Р и для которых имеет место соотношение / Дх) ах -+ +со при и ~ со. ~п Таким образом, если интеграл от ~Д расходится, то расходится (в смысле определения 2) и интеграл от функции ~. 8.
Проведите подробно доказательство теоремы 2. 9. Напомним, что если х = (х',..., х"), а ~ = (~',..., ("), то (х, Я = х'~'+ +... +х"~" есть стандартное скалярное произведение в Г. Пусть А = (ац)— комплексная симметричная (и х и)-матрица. Обозначим через Ве А матрицу с элементами Ве а;; запись Ве А > 0 (Ве А ) 0) означает, что ((Ве А)х, х) > 0 (соответственно ) 0) для любого х Е К", х ~ О.
~6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 193 а) Покажите, что если Ве А ) О, то при Л ) О, ~ б К" Л ехр — — (Ах, х) — г(х, Я сЬ = и/2 — (с1еСА) ~~~ехр — — (А '~,Я При этом ветвь мает А выбрана следующим образом: (с1еС А) ~~~ = ) с1еС А) ~~~ ехр( — г 1пс1 А), 1 7Г 1пс1 А = — ~ агя ~и, (А), / агя и (А) / < —, ~=1 .Л ехр з — (Ах, х) — з(ю, Я сУх = и/2 — ~ с1еС А~ '~' ехр — — (А '4, Я ехр — тяп А Здесь тяп А — сигнатура матрицы А, т. е. тяп А = к~(А) — и (А), где к~(А) — число положительных, и (А) — число отрицательных собствен- ных значений матрицы А. где р (А) — собственные значения матрицы А.
Ь) Пусть А — вещественная симметричная невырожденная (и х п)-матрица. Тогда при ~ Е К" и Л ) О ГЛАВА ХП ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности, согласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для вычисления площади поверхности, лежащей в К", а также даны начальные представления о дифференциальных формах.
Владение перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава. ~ 1. Поверхность в К Эталоном й-мерной поверхности является К~. Определение 1. Поверхностью размерности й (И-мерной поверхностью или И-мерным многообразием) в К~ называется такое множество Я С К~, каждая точка которого имеет в Я окрестность1), гомеоморфную ) К .
Определение 2. Отображение <р: К" -+ У с Я, осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется ~Под окрестностью точки х Е Я С Й" в множестве Я, как и прежде, понимается множество Уя(х) = Я П У(х), где У(х) окрестность х в Ж". Поскольку в дальнейшем речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения обозначений, если не возникает недоразумений, мы пишем У или У(х) вместо Уя(х). ~~На Я С Ж", а значит, и на У С Я имеется естественная, индуцированная из Я" метрика, поэтому можно говорить о топологическом отображении У в Ж". ~ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Я" 195 картой или локальной картой поверхности Я; К" областью параметров, а У районом или областью действия карты на поверхности Я. <р:1"-+ВСЯ локально дает параметрическое уравнение х = <р(1) поверхности Я С Кгг, а сама Й-мерная поверхность, таким образом, локально устроена как продеформированный стандартный Й-мерный промежуток 1~ с К~.
Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего, параметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность обычно называют элементарной. Например, график в К"+ непрерывной функции 1: 1" — ~ К является элементарной поверхностью. Однако злементарность поверхности скорее исключение, чем правило. Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа).
В соответствии с возникшей аналогией примем Определение 3. Набор А(Я):= (<рг: 1~ — + К,г' е И) локальных карт поверхности Я, районы действия которых в совокупности покрывают всю поверхность (т.е. Я = Ц Кг), называется атласом поверхно- г сти Я.
Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно, тоже является атласом этой поверхности. Если на отображения (1) локальные параметрические уравнения поверхности не накладывать других ограничений, кроме того, что Локальная карта вводит в У криволинейные координаты, сопоставляя точке х = <р(1) Е У числовой набор 1 = ф,..., 1~) е К~. Из определения поверхности видно, что совокупность описываемых им объектов Я не изменится, если в нем К~ заменить любым гомеоморфным К" топологическим пространством. Чаще всего вместо К~ за стандартную область параметров локальных карт принимают открытый куб 1~ или открытый шар В" в К~. Но это чистая условность.
Для проведения некоторых аналогий и в целях большей наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать куб 1". Итак, карта 196 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в Кп может оказаться расположенной весьма странно.
Например, может случиться, что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически— сфера, лежит в К~, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару (так называемая рогатая сферац). Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. ЧП1, 8 7 определили гладкую И-мерную поверхность, лежащую в К~, как такое множество Я С Р', что для каждой точки хо Е Я найдутся ее окрестность У(хо) в К~ и диффеоморфизм ф: У(хо) -+ 1 = (8 Е К~ ~ ~8~ ( 1, г = 1,..., п), при котором множество У~(хо):= Я й У(хо) преобразуется в куб 1" = = 1 П (8 е Кк ~ 8"+' =... = 8~ = 0). Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения х = ф ~(1~,..., 1", О,..., 0) = <рф,..., 1~), очевидно, задают локальную параметризацию поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, даже если ф просто гомеоморфизмы.
Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то деле совпадают. По существу, это уже было показано в примере 8 из ~~7 гл. Ч111, но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и напомним, как получается ответ. Утверждение. Если отображение (1) принадлежит классу С1Ц(1", Р') и в каждой точке куба 1" имеет максимально возможный ранг й, то найдутся число е ) 0 и такой диффеоморфизм <р,: 1, "— + К" куба 1,":= (1 е К~ ~ ~8'~ < е,г = 1,..., и) размерности и в пространство К~, что ф~кп~ = ~р,~~к„~ .
Иными словами, утверждается, что при указанных условиях отображения (1) локально являются ограничениями на Й-мерные кубы 1~ = = 1" П 1," диффеоморфизмов полномерных кубов 1,". ~ Положим для определенности, что уже первые й из и координатных функций х' = <р'(~Р,..., 1"),г = 1,...,и, отображения х = у(1) '~Пример поверхности, о которой идет речь, был построен Александером. Дж. У. Александер (1888 — 1977) — американский математик-тополог. ~ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Я" 197 х1,р1 И1 1й) хй ~й И1 1й) ха+1 <~й+ („1 1а) хп (~~ (Х1 Хй ) около точки (80, х0) = (О, <р(О)) эквивалентны соотношениям 1~ = ~1(х~,..., х"), 1" = ~" (х,..., х"), х"+1 = ~"+1(х~,..., х"), х~ = ~~(х1,..., х").
В таком случае отображение 1~ = ~ (х1,...,х"), 8"+1 = х + — ~"+ (х х") Р = х~ — ~~(х~,..., х") является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки х0 б Р'. В качестве <р, можно теперь взять ограничение обратного к нему диф- феоморфизма на некоторый куб 1,". ~ ~а '~ таковы, что с1е$ ~~) (О) ф О, г, у = 1,...,й.
Тогда в силу теоремы о неявной функции соотношения 198 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в последнем диффеоморфизме было г = 1, а куб 1~ был единичным. Итак, показано, что для гладкой поверхности в К~ можно принять следующее эквивалентное прежнему Определение 4. Поверхность размерности й в К" (введенная определением 1) называется гладкой (класса С(~), т > 1), если она обладает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса С(п'), т > 1) отображениями и в каждой точке области своего определения имеют ранг й. Заметим, что условие на ранг отображений (1) существенно. Например, аналитическое отображение К Э 1 ~ (х,х ) е К, задаваемое формулами х = 1~, х = 1~, определяет кривую в плоскости К2, имеющую острие в точке (О, О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
