Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если теперь <р1. 11 — э У~ и <р2. 12 — э У2 две такие й й карты, то возникающее в их общей обла- — 1 сти деиствия отображение <р о <р~ (переход от первой системы координат ко втоРис. 75. — 1 рой) локально представляется в виде <р2 о о <р1(8~,..., 8") = У~ ~ о У~ ф,..., 1~, О,..., 0), где У~ и У~ — соответствующие диффеоморфизмы и-мерных окрестностей. ° На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой, мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями, относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в К". Пусть Я вЂ” гладкая й-мерная поверхность в Кп, и пусть у;: 11 — э 0;, ~о~: 1" — + У вЂ” две локальные карты поверхности Я, районы действия которых пересекаются, т.е.
К П У ~ Я. Тогда между множествами ~ 2 ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 209 Определение 1. Две локальные карты поверхности называют согласованными, либо когда районы их действия не пересекаются, либо когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области Действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с положительным якобианом. Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим атласом поверхности, если он состоит из попарно согласованных карт. Определение 3.
Поверхность называется ориентируемой, если она обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверхность называется неориентируемой. В отличие от областей пространства К" или элементарных поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может оказаться и неориентируемой. Пример 1. Лист Мебиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3 в конце параграфа), неориентируемая поверхность. Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае тоже неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист Мебиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки Клейна, изображенной на рис. 73. Пример 3.
Окружность и вообще Й-мерная сфера — ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением атласа сферы, состоящего иэ согласованных карт (см. пример 2 из ~ 1). Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из ~ 1 двумерный тор также является ориентируемой поверхностью.
Действительно, используя указанные в примере 4, ~1 параметрические уравнения тора, легко предъявить его ориентирующий атлас. Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан Другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить сказанное в примерах 1 — 4.
1~ = у, ~~У ), ~1, = у ~(К), как было только что доказано, естественно 2 устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы <р,,: 1," -+ 1"„ ~р~,: ~~, — э ~~~~, осуществляющие переход от одной локальной с ст мы криволинейных координат на Я к другой. 210 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Формальное описание понятия ориентации поверхности будет завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже определения 4, 5.
Два ориентирующих атласа поверхности будем считать эквивалентными, если их объединение также является ориентирующим атласом этой поверхности. Указанное отношение действительно является отношением эквивалентности между ориентирующими атласами ориентируемой поверхно- сти. Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов поверхности по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией по в ерхности. Определение 5. Ориентированной поверхностью называется поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т.е.
с фиксированной на ней ориентацией). Таким образом, ориентировать поверхность — значит тем или иным способом указать определенный класс ориентации ориентирующих атласов этой поверхности. Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхности суа~еств ует точно дв е ориентации.
Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями. Доказательство утверждения 2 см. в гл. ХЧ, ~ 2, п. 3. Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее ориентации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее касательных плоскостей. Этим широко пользуются на практике. Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое указание локальной карты или репера естественно делается в каждой компоненте связности. Очень широко на практике применяется также следующий способ задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном пространстве.
Пусть Я-ориентируемая (и — 1)-мерная поверхность,лежащая в евклидовом пространстве ~", с фиксированным в К" ориентирующим репером е1,..., е„. Пусть ТБ (и — 1)-мерная плоскость, ~ 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 211 Е1 к асательная к Б в точке х Е Б, а и вектор, ортогональный ТБ,, т.е. вектор нормали к поверхности Б в точке х. Если при заданном векторе и условиться в ТБ репер (1,..., („1 выбирать так, чтобы реперы (е,..., е„) и (п„~1,..., („1) = (е,..., е„) принадлежали одному классу ориентации пространства К" то, как легко видеть, такие реперы ((1,..., („1) плоскости ТБ сами окажутся ~1 принадлежащими одному классу ориенез тации этой плоскости. Значит, указаЕ2 ние класса ориентации плоскости ТБ, а вместе с ним и задание ориентации на связной ориентируемой поверхности, в Рис. 76. этом случае можно осуществить, задав нормальный вектор и (рис. 76).
Нетрудно проверить (см. задачу 4), что ориентируемость (п — 1)- мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве К", равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных векторов. Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сферы, тора и неориентируемость листа Мебиуса, о чем говорилось в примерах 7 — 10. Связные (и — 1)-мерные поверхности в евклидовом пространстве К", на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.
Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в К вЂ” двусторон- 3 ние поверхности, в отличие от листа Мебиуса, являющегося в этом смысле односторонней поверхностью. Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем несколько замечаний, относящихся к практике использования этого понятия в анализе. В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными поверхностями в К", обычно сначала находят какую-то локальную параметризацию поверхности Б, не заботясь об ориентации. Затем строят в некоторой касательной плоскости ТБ к поверхности репер (1,..., („ из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы криволинейных координат, т.
е. строят ориентирующий репер, индуцированный этой системой координат. Если пространство К" было ориентировано, а ориентация Б зада- 212 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" валась полем нормальных векторов, то берут вектор и данного поля в точке х и сравнивают репер и, (1,..., („1 с репером е1,..., е„, ориентирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации, то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбранная карта задает ориентацию поверхности, противоположную предписанной нормалью и. Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (и — 1)-мерной поверхности простым изменением порядка координат можно получить локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фиксированным нормальным вектором и к двусторонней гиперповерхности, лежащей в ориентированном пространстве К").
В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее точке, и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят направление движения вдоль кривой. Если на плоскости К2 выбран ориентирующий К2 репер и задана замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль кривой) ограниченной этой кривой области .0 принято считать такое, при котором репер и, о, где и вектор внешней по отношению к .0 нормали к кривой, а о вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим репером К2. Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение «против часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается «слева».
В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто задают, отмечая не репер в К, а положительное направление движения вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности. Задание такого направления по существу есть указание направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на плоскости. Задачи и упражнения 1.
Является ли указанный в задаче 3 с) из ~ 1 атлас сферы ориентирующим атласом этой сферы? ~3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 213 ~З.Край поверхности и его ориентация 1. Поверхность с краем. Пусть ~" — евклидово пространство размерности й, наделенное декартовыми координатами 8~,..., г". Рассмотрим полупространство Х:= (8 Е К~ ~ 8~ < О) пространства К~. Гиперплоскость дХ":= (8 Е ~" ~ 8~ = О) будем называть краем полу- пространства Х~.
2. а) Воспользовавшись примером 4 из 31, предъявите ориентирующий атлас двумерного тора. Ь) Докажите, что не существует ориентирующего атласа листа Мебиуса. с) Покажите, что при диффеоморфизме ~: Р— ~ Р ориентируемая поверхность Я С Р переходит в ориентируемую поверхность Я С Р. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
