Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 43

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 43 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 432020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

81 230 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Ь) График гладкой неотрицательной функции у = 1(х), определенной на отрезке [а, Ь] С К+, вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу. В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, 6]. 4.

а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой кривой, имеющей длину Ь. Покажите, что площадь поверхности образованного при этом трубчатого тела равна 2т 1 Ь. Ь) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора, полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и удаленной от ее центра на расстояние 6 > а. 5. Изобразите заданную в декартовых координатах (х, у, я) пространства Кз винтовую поверхность 7Г у — хФд — = О ~~~ < — 6 6 ' 2 и найдите площадь той ее части, для которой т2 < х + у < В2. 6. а) Покажите, что площадь й„1 единичной сферы в К" равна -(~~~-, где Г(о) = ~ е *х ' их.

(В частности, если о четно,то Г Я) = (-"~-)!, а о если о нечетно, то Г (т) = ~ — „— -~е ест.) 2 л и Ь) Проверив, что объем 1~„(т) шара радиуса т в К" равен ~ тт, покаг п~-' жите, что -~„— ~,— 1 = Й„ (Л 'и с) Найдите предел при п ~ оо отношения площади полусферы (х Е Р' ~ ~х~ = 1 Л х" > 01 к площади ее ортогональной проекции на плоскость х" = О. й) Покажите, что при п ~ оо основная часть объема и-мерного шара сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы, а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее экватора.

е) Покажите, что из сделанного в Й) наблюдения вытекает красивое следствие: Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти постоянна на ней. Поконкретнее: Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с фиксированной константой. Тогда для любых с > О и б > О найдется такое Х, что при п > Ю у любой такой функции 1: 5" ~ К имеется значение с со следующими свойствами: площадь того множества, где значения 1 отличаются от с больше чем на с, составляет не более чем б-долю от площади всей сферы. 7.

а) Пусть х„..., х~ — система векторов в евклидовом пространстве К", п > й. Покажите, что определитель Грама этой системы может быть предста- ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231 влен в виде пей((х„х )) = ~~» Р„ 1<«» « «»,<»» где Р„,„= с1еФ Ь) Выясните геометрический смысл величин Р...„из а) и сформулируйте результат задачи а) как тпеорему Пифаеора для мер произвольной размерностий,1<Й<п. с) Объясните теперь формулу для площади, заданной в параметрическом виде х = хф,..., 1~), 1 Е Р С ~~ Й-мерной гладкой поверхности. 8. а) Проверьте, что в определении 2 величина 1»(5) действительно не зависит от указанного там способа разбиения 5 на гладкие куски 5„..., 5 Ь) Покажите, что кусочно гладкая поверхность 5 допускает локально конечное разбиение на куски 5„..., 5,..., описанные в определении 2.

с) Докажите, что из гладкой поверхности 5 всегда можно так удалить множество Е площади нуль, что останется гладкая поверхность 5 = 5 ~ Е, которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой»р: 1 ~ — » Я. 9. Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности, часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кривую ломаных.

Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу, показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень гладкой поверхности через площади «вписанных» в нее многогранных поверхностей могут привести к абсурду. В цилиндр радиуса В и высоты Н впишем многогранник следующим образом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных цилиндров высоты Н~тп каждый.

Каждую из т + 1 окружностей сечения (включая окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем на и равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности находились под серединами дуг ближайшей верхней окружности. Теперь берем пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек 232 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех таких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового цилиндра). На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца.

а) Покажите, что если т и и устремить к бесконечности, но так, чтобы при этом отношение п2/т стремилось к нулю, площадь построенной многогранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее грани (треугольника) при этом стремятся к нулю. Ь) Если же и и т стремятся к бесконечности так, что отношение т/п2 стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости от величины р может быть больше, меньше или (при р = О) равен площади исходной цилиндрической поверхности.

с) Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой поверхности с тем,который изложен в ~ 4,и объясните, почему в одномерном случае результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. Каковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей, гарантирующие совпадение результатов? 10. Изопериметприческое неравенство. Пусть У(Е) — обозначение для объема множества Е С К", а А+ — сумма (векторная) множеств А, В с К" (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4 к ~ 2 главы Х1).

Пусть  — шар радиуса й. Тогда А+ В =: Аь есть 6-окрестность множества А. Величина 1'(А ) — 1'(А) Ь вЂ” +О называется внешней площадью по Минковскому границы дА множества А. а) Покажите, что если дА — гладкая или достаточно регулярная поверхность, то р+(дА) совпадает с обычной площадью поверхности дА. Ь) Используя неравенство Брунна — Минковского (см. задачу 4 к ~ 2 главы Х1), получите теперь классическое изопериметприческое неравенство в К" р+(дА) ) питУ (А) =: р(54); здесь и объем единичного шара в К", а и(54) — площадь ((и — 1)-мерная) поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А.

Изопериметрическое неравенство означает, что тело А с К" имеет площадь границы р+(дА), не меньшую, чем шар того же объема. 35. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233 ~ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах Дадим теперь первоначальные представления об удобном математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. ХЪ'. 1.

Дифференциальная форма, определение и примеры. Из курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы, и мы этим понятием уже широко пользовались при построении дифференциального исчисления. Там главным образом встречались симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (анти- симметрических) формах. Напомним, что форма Л: Х" + У степени или порядка й, определенная на упорядоченных наборах (1,..., ~~ векторов линейного пространства Х и принимающая значения в линейном пространстве У, называется кососимметрической (антисимметрической), если значение формы меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т.

е. В частности, если ~, = ~~, то независимо от остальных векторов значение формы будет равно нулю. Пример 1. Векторное произведение [~1, ~2] векторов пространства Кз есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в линейном пространстве К . Пример 2. Определенный формулой (1) 3 4 ориентированный объем Г®,..., ~~) параллелепипеда, натянутого на векторы ~1,..., ~ пространства К, является кососимметрической вещественнозначной Й- формой в ~". Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай У = К), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации, например, когда У есть поле С комплексных чисел.

Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в свою очередь является кососимметрической формой, т.е. кососимметрические формы одной степени образуют линейное пространство. В алгебре вводится, кроме того, операция Л внешнего умножения кососимметрических форм, которая упорядоченной паре А~, В~, таких 234 ГЛ. ХП.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее