Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 43
Текст из файла (страница 43)
81 230 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Ь) График гладкой неотрицательной функции у = 1(х), определенной на отрезке [а, Ь] С К+, вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу. В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, 6]. 4.
а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой кривой, имеющей длину Ь. Покажите, что площадь поверхности образованного при этом трубчатого тела равна 2т 1 Ь. Ь) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора, полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и удаленной от ее центра на расстояние 6 > а. 5. Изобразите заданную в декартовых координатах (х, у, я) пространства Кз винтовую поверхность 7Г у — хФд — = О ~~~ < — 6 6 ' 2 и найдите площадь той ее части, для которой т2 < х + у < В2. 6. а) Покажите, что площадь й„1 единичной сферы в К" равна -(~~~-, где Г(о) = ~ е *х ' их.
(В частности, если о четно,то Г Я) = (-"~-)!, а о если о нечетно, то Г (т) = ~ — „— -~е ест.) 2 л и Ь) Проверив, что объем 1~„(т) шара радиуса т в К" равен ~ тт, покаг п~-' жите, что -~„— ~,— 1 = Й„ (Л 'и с) Найдите предел при п ~ оо отношения площади полусферы (х Е Р' ~ ~х~ = 1 Л х" > 01 к площади ее ортогональной проекции на плоскость х" = О. й) Покажите, что при п ~ оо основная часть объема и-мерного шара сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы, а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее экватора.
е) Покажите, что из сделанного в Й) наблюдения вытекает красивое следствие: Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти постоянна на ней. Поконкретнее: Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с фиксированной константой. Тогда для любых с > О и б > О найдется такое Х, что при п > Ю у любой такой функции 1: 5" ~ К имеется значение с со следующими свойствами: площадь того множества, где значения 1 отличаются от с больше чем на с, составляет не более чем б-долю от площади всей сферы. 7.
а) Пусть х„..., х~ — система векторов в евклидовом пространстве К", п > й. Покажите, что определитель Грама этой системы может быть предста- ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231 влен в виде пей((х„х )) = ~~» Р„ 1<«» « «»,<»» где Р„,„= с1еФ Ь) Выясните геометрический смысл величин Р...„из а) и сформулируйте результат задачи а) как тпеорему Пифаеора для мер произвольной размерностий,1<Й<п. с) Объясните теперь формулу для площади, заданной в параметрическом виде х = хф,..., 1~), 1 Е Р С ~~ Й-мерной гладкой поверхности. 8. а) Проверьте, что в определении 2 величина 1»(5) действительно не зависит от указанного там способа разбиения 5 на гладкие куски 5„..., 5 Ь) Покажите, что кусочно гладкая поверхность 5 допускает локально конечное разбиение на куски 5„..., 5,..., описанные в определении 2.
с) Докажите, что из гладкой поверхности 5 всегда можно так удалить множество Е площади нуль, что останется гладкая поверхность 5 = 5 ~ Е, которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой»р: 1 ~ — » Я. 9. Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности, часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кривую ломаных.
Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу, показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень гладкой поверхности через площади «вписанных» в нее многогранных поверхностей могут привести к абсурду. В цилиндр радиуса В и высоты Н впишем многогранник следующим образом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных цилиндров высоты Н~тп каждый.
Каждую из т + 1 окружностей сечения (включая окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем на и равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности находились под серединами дуг ближайшей верхней окружности. Теперь берем пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек 232 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех таких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового цилиндра). На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца.
а) Покажите, что если т и и устремить к бесконечности, но так, чтобы при этом отношение п2/т стремилось к нулю, площадь построенной многогранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее грани (треугольника) при этом стремятся к нулю. Ь) Если же и и т стремятся к бесконечности так, что отношение т/п2 стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости от величины р может быть больше, меньше или (при р = О) равен площади исходной цилиндрической поверхности.
с) Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой поверхности с тем,который изложен в ~ 4,и объясните, почему в одномерном случае результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. Каковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей, гарантирующие совпадение результатов? 10. Изопериметприческое неравенство. Пусть У(Е) — обозначение для объема множества Е С К", а А+ — сумма (векторная) множеств А, В с К" (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4 к ~ 2 главы Х1).
Пусть  — шар радиуса й. Тогда А+ В =: Аь есть 6-окрестность множества А. Величина 1'(А ) — 1'(А) Ь вЂ” +О называется внешней площадью по Минковскому границы дА множества А. а) Покажите, что если дА — гладкая или достаточно регулярная поверхность, то р+(дА) совпадает с обычной площадью поверхности дА. Ь) Используя неравенство Брунна — Минковского (см. задачу 4 к ~ 2 главы Х1), получите теперь классическое изопериметприческое неравенство в К" р+(дА) ) питУ (А) =: р(54); здесь и объем единичного шара в К", а и(54) — площадь ((и — 1)-мерная) поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А.
Изопериметрическое неравенство означает, что тело А с К" имеет площадь границы р+(дА), не меньшую, чем шар того же объема. 35. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233 ~ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах Дадим теперь первоначальные представления об удобном математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. ХЪ'. 1.
Дифференциальная форма, определение и примеры. Из курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы, и мы этим понятием уже широко пользовались при построении дифференциального исчисления. Там главным образом встречались симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических (анти- симметрических) формах. Напомним, что форма Л: Х" + У степени или порядка й, определенная на упорядоченных наборах (1,..., ~~ векторов линейного пространства Х и принимающая значения в линейном пространстве У, называется кососимметрической (антисимметрической), если значение формы меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т.
е. В частности, если ~, = ~~, то независимо от остальных векторов значение формы будет равно нулю. Пример 1. Векторное произведение [~1, ~2] векторов пространства Кз есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в линейном пространстве К . Пример 2. Определенный формулой (1) 3 4 ориентированный объем Г®,..., ~~) параллелепипеда, натянутого на векторы ~1,..., ~ пространства К, является кососимметрической вещественнозначной Й- формой в ~". Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай У = К), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации, например, когда У есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в свою очередь является кососимметрической формой, т.е. кососимметрические формы одной степени образуют линейное пространство. В алгебре вводится, кроме того, операция Л внешнего умножения кососимметрических форм, которая упорядоченной паре А~, В~, таких 234 ГЛ. ХП.