Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В21) д(Р1,..., УР) 1(в1( (врСп 1(21 « ,ур~~ввв Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком 1р*, формально сделать замену х = х(1), выразить дифференциалы дх,...,дх" через дифференциалы сЫ,..., сЫ~ и упростить полученное выражение, 1 пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и получим правую часть равенства (21). Действительно, для каждого фиксированного набора индексов г1,...,г„ аг1 г„(Х) дт" Л... Л дт'~ = д~г1 игр =а„,, (~(~)) а Л...Л а ° в" в Р дг11 дгг игр сЫ11 Л... Л сИ' = дггр д( г1 г) аа, 'вавввв ' ' Ивв' л... л Ивв~. д(~ ',...,~ ) 1< 21«...гр<пг д~г1 = аг1,...,2„(Ф)) Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1 < г1 < « ...
гр < и, получаем правую часть соотношения (21). ЦЕсли (19) использовать поточечно, то видно, что вр (а (х)г 2) = а(вр (г) ) вр г 2. Если воспользоваться свойствами (18) и (19) операции переноса форм1) и повторить проведенную в последнем примере выкладку в общем виде, то получим следующее равенство: ~ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 247 'Утверждение. Если в области $' С К" задана дифференииальная форма ы, а <р: У -+ $' гладкое отображение области У С К в Ъ', то координатная запись формы у*и может быть получена из координатной записи а„,,(х) Их" Л...
Л Их'~ 1<г1«...гр<гг формы ы прямой заменой переменных х = <р(~) (с последующим преобра- зованием в соответствии со свойствами внешнего произведения). Пример 14. В частности, если т = п = р, то соотношение (21) сводится к равенству р (Йхх Л... Л дх") = йе$ у'(1) й~ Л... Л ЙС. (22) Значит, если под знаком кратного интеграла вместо ~(х) сгх~...
сгхгг писать ~(х)ах Л... Л сгх", то формула замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих ориентацию диффеоморфизмах (т. е. при с1е$ ~р'(1) > О) получалась бы автоматически формальной подстановкой х = <р(1), подобно тому, как зто имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать следующий вид: (23) Заметим в заключение, что если степень р взятой в области Ъ' С К", формы ы больше, чем размерность т области У С ~~, которая отображается посредством <р: У -+ $' в область $', то соответствующая ы на У форма <р*ы, очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение у*: й"(Ъ') -+ й" (У), вообще говоря, не обязано быть инъективным.
С другой стороны, если <р: У -+ $' имеет гладкое обратное отображение у 1: $' -+ У, то в силу соотношения (20) и равенств ~р 1о~р = еу, Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом от- ношении 248 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" <р о <р 1 = е1г получаем, что (~р)* о (~р 1)* = е~~, (~р 1)* о (<р)* = е~~, и поскольку е* и е*, тождественные отображения Ю(У) и Ю($') соответственно, то отображения ~р*: й~(Ъ') -+ й~(У), (~р 1)*: Ю(У) -+ й~($'), как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными. То есть в этом случае отображение ~р*: й~($') -+ й~(У) биективно.
Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше свойствами (18) — (20) отображение ~р* переноса форм, как можно проверить, удовлетворяет также соотношению (24) Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что определенная нами в координатном виде операция дифференцирования форм на самом деле не зависит от выбора системы координат, в которой записана дифференцируемая форма ы. Подробнее это будет обсуждаться в гл. ХЧ. 5.
сРормы на поверхностях Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности Я С 1Р задана дифференциальная р-форма ы, если в каждой точке х Е Я на векторах касательной к э' плоскости Тэ' определена р-форма ы(х). Пример 15. Если гладкая поверхность э" лежит в области Р С С К", в которой определена форма ы, то поскольку в любой точке х Е Я имеет место включение Т,э' С ТР, можно рассмотреть ограничение формы ы(х) на ТЯ . Так на Я возникает форма ы~~, которую естественно назвать ограничением формы ы на поверхность Я. Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается параметрически. Пусть ~р: У -+ э' = ~р(У) С Р параметризованная гладкая поверхность в области Р, а ы форма в Р. Тогда форму ы можно перенести в область У параметров и записать ~р*ы в координатном виде в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ясно, что получаемая при этом в У форма ~р*ы совпадает с формой у*(ы~~).
Заметим, что коль скоро ~р'(1): ТУ~ -+ Т,э" в любой точке 1 Е У есть изоморфизм между ТУ~ и ТЯ~, то можно переносить формы как с Я на У, так и с У на Я, поэтому как сами гладкие поверхности обычно задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в конечном счете обычно задают в областях изменения параметров локальных карт.
~5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 249 Пример 16. Пусть ы рассмотренная в примере 8 форма пото- 2 ка, порожденная векторным полем скоростей течения ~ в области Р ориентированного евклидова пространства Кз. Если Я гладкая ориентированная поверхность в Р, то можно рассмотреть ограничение ьф~ формы иф на Я. Получаемая при этом форма ы~ ~~ характеризует поток через каждый элемент поверхности Я. Если у: 1 -+ Я локальная карта поверхности Я, то, сделав замену переменных х = <р(1) в координатном выражении (12) формы ы получим координатное выражение определенной на квадрате 1 формы ~р*ы = ~р*(ы1~~~) в данных локальных координатах поверхности.
Пример 17. Пусть ы~~, рассмотренная в примере 7 форма работы, порожденная действующим в области Р евклидова пространства полем сил Р. Пусть ~р: 1 -+ ~р(1) С Р гладкий путь (у не обязательно гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом ограничения и переноса форм на отрезке 1 возникает форма <р*ы~~, координатное представление а(1) сЫ которой можно получить, выполнив замену переменных х = у(1) в координатном выражении (11) формы ы~~. Задачи и упражнения 1. Вычислите значения приведенных ниже дифференциальных форм о~ в К" на указанных наборах векторов: а) о~ = хг сЬ~ на векторе ~ = (1, 2, 3) е Тйв Ь) о~ = сЬ~ Л сЬ~ + х~ дх Л сЬ~ на упорядоченной паре векторов ~~,~г Е ~ Т1~р,о,о,о~ .
с) с > = 4, где ~ = х'+2х +...+пх", а ~ = (1, — 1,..., ( — 1)" ') е ТК",, 2. а) Проверьте, что форма дх" Л... ЛсЬ'~ тождественно равна нулю, если не все индексы г~,..., г~ различны. Ь) Объясните, почему на и-мерном векторном пространстве нет отличных от нуля кососимметрических форм степени р > п.
с) Упростите запись формы, заданной в виде 2 с~х~ Л Йхз Л,Ьг + 3 дхг Л ~Ъ~ Л ~Ь~ ~Ъг Л ~Ъз Л ~Ъ й) Раскройте скобки и приведите подобные члены (х Йх +х дх)Л(х дх ЛЙх +х Йх ЛЙх +х Йх Лдх). е) Форму ф Л дд, где ~ = 1п(1+ (х(г), д = в1п )х), х = (х~, хг, хз), запишите в виде комбинации форм дх" Л дх", 1 < г~ < гг < 3. 250 ГЛ.
ХН ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Ж" 1) Проверьте, что в К" ф~~ Л... Лф"(х) = дел ~ (х)дх Л... Лдх". / дУ' ~ дх1 ц) Проведите все выкладки и покажите, что при 1 < й < и а~1 ах гас дх'/с а~1 дх'1 дх'1 4'Л...ЛсК" = ~ дел дх" Л... Л дх'". 1~(г1 <г2 < <г1, ((и 3. а) Покажите, что форма а четной степени коммутирует с любой формой,д, т.е. а Л,З = ДЛ а.
Ь) Пусть 11 = ,'> др, Л сЦ' и 1.1" = 1.1 Л... Л11 (и раз). Проверьте, что г=1 1.1гг = П~МР1 ЛСЬ~' Л...ЛМР„ЛЙ~" = ( — 1) ~ ЫР1 Л...ЛЫР„ЛЙ~' Л... ЛСЦ". 4. а) Форму 11 = ф, где Дх) = (х1) + (х )2 +... + (х")", запишите в виде комбинации форм дх,..., дх" и найдите дифференциал п1.1 формы 1.1. Ь) Проверьте, что для любой функции ~ е С~~~(Р, К), сР~ = О, где сР = = до 11, а д оператор внешнего дифференцирования. с) Покажите, что если коэффициенты а„,„формы 11 = а„,„(х) й:" Л Л...
Л дх'1 принадлежат классу С®(Р, К),то сР1.1 = О в области Р. й) Найдите внешний дифференциал формы "— "~-: — *-~"-~ в области ее опредех +у лен ия. 5. Если под знаком кратного интеграла / Дх) дх ...дх" произведение В дх1 .. их" понимать как форму дх Л... Л дх", то, согласно результату при- мера 14, у нас будет возможность формально получать подынтегральные вы- ражения формулы замены переменных в кратном интеграле. Выполните, со- гласно этой рекомендации, переход от декартовых координат: а) к полярным координатам в К~, Ь) к цилиндрическим координатам в Кз, с) к сферическим координатам в К~. 6. Найдите ограничение формы: а) дх' на гиперплоскость х' = 1. Ь) дх Л ду на кривую х = х(1), у = у(1), а < 1 < д.
с) их Л Ну на плоскость в К~, задаваемую уравнением х = с. й) ду Л сЬ+ сЬ Л дх+ дх Л ду на грани стандартного единичного куба в Кз е) 11, = дх Л ... Л их' 1Л дх' Лдх'+ Л ... Л дх" на грани стандартно- го единичного куба в К"; знак стоит над дифференциалом дх', который выбрасывается из написанного произведения. ~5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 251 7'. Выразите в сферических координатах Кз ограничение следующих форм на сферу радиуса В с центром в начале координат: а) дх.
Ь) ~у. с) ду Л сЬ. 8. Отображение ~р: 1~~ ~ К~ задано в виде (и,ю) ~-+ (и ю,1) = (х,у) Найдите: а) ~р*(дх). Ь) р*( у) с) у*(удх). 9. Проверьте, что внешний дифференциал д: й" (Р) -+ й"+1(Р) обладает следующими свойствами: а) 4о~1+ о~г) = 4~1 + дог. Ь) с~(о~1Ло~г) = Й ~1Л~г+ ( — 1)~'я~'о~1ЛЙ ~г, где йеяо~1 — степень формы о~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
