Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Символ написанного здесь интеграла по поверхности Я, очевидно, требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до вычислительных формул. Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства (1) никак не зависит от ориентации поверхности Я и, значит, этим же свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Это на первый взгляд контрастирует с тем понятием интеграла по поверхности, о котором мы подробно говорили в ~ 1. Ответ на возникший вопрос кроется в определении элемента поверхности Ип, к анализу которого мы и переходим. 2.
Площадь поверхности как интеграл от формы. Сопоставляя определение 1 ~1 интеграла от формы с конструкцией, которая привела нас к определению площади поверхности Я4 гл. Х11), видим, что площадь заданной в параметрическом виде <р: Р— 3 Я гладкой Й-мерной поверхности Я, лежащей в евклидовом пространстве ~", является интегралом от некоторой формы Й, которую мы пока только условно будем называть формой объема или элементом объема на поверхности Я. Из соотношения (5) ~4 гл. ХП следует, что в криволинейных координатах <р: Р— ~ Я (т.е. будучи снесена в область Р) форма й (точнее ~р*й) имеет вид (2) 272 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3. Форма объема Определение 1. Если К вЂ” ориентированное евклидово прой странство со скалярным произведением (, ), то формой объема Й на К", соответствующей данной ориентации К и скалярному произведению (, ), называется такая кососимметрическая Й-форма, которая на ортонормированном репере данного класса ориентации К" принимает значение единицы. Значение Й-формы на репере е1,..., е1,, очевидно, вполне определяет эту форму. Заметим также, что форма Й определяется не индивидуальным ортонормированным репером, а только их классом ориентации.
~ В самом деле, если е1,..., ег, и е1,..., е1, два таких репера одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к первому является ортогональной матрицей, причем с1е1 О = 1. Значит, й(е1,...,е1,) = с1е10 й(е1,...,е~) = й(е1,...,е1,) = 1. ~ Если в К1' фиксирован ортонормированный базис е1,..., ег,, а т~,..., ~г~ проектирование К" на соответствующие координатные оси, то, очевидно, ~г~ Л... Л т~(е1,..., е1С) = 1 и Й=7г Л ° ..Л7г Таким образом, ~1 ~/с Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упорядоченные векторы (1,..., (~. Определение 2. Если гладкая й-мерная ориентированная поверхность Я лежит в евклидовом пространстве К", то в каждой касательной к Я плоскости ТЯ~, имеются ориентация, согласованная с ориентацией Я, и скалярное произведение, индуцированное скалярным произведением в К", а значит, есть и форма объема й(х).
Возникающая при этом на Я дифференциальная Й-форма Й называется формой (или элементом) объема на поверхности Я, индуцированной вложением Я в евклидово пространство К". ~ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 273 Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверхности есть интеграл по этой поверхности от формы объема, соответствующей выбираемой на поверхности ориентации. Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей определение площади, конечно, согласуется с определением 1 ~ 4 гл. ХП, к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом виде Й-мерную гладкую поверхность Я С ~".
~ Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все касательные к ней плоскости ТЯ . Если ~1,...,~~с репер в ТЯ фиксированного в ТЯ класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы объема й следует, что й(х) ®,..., ~~с) ) О. Но тогда (см. равенство (2) ~4 гл. ХП) Й(х) ®,..., (~) = Отметим, что сама форма й(х) определена на любом наборе ~1,..., ~~с векторов ТЯ, но равенство (6) действует только на реперах заданного в ТЯ класса ориентации.
Отметим также, что форма объема определена только на ориентированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно говорить о форме объема на лежащем в Кз листе Мебиуса, хотя можно говорить о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверхности. Определение 4. Пусть Я й-мерная кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность в ~", а Я1,..., Я,„,...
— конечное или счетное число ее гладких параметризуемых кусков, пересекающихся, быть может, лишь по поверхностям размерности не выше й — 1 и таких, что Я = О Я,. г Площадью (или И-мерным объемом) поверхностпи Я называется сумма площадей поверхностей Я,. В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет лежащий в ~~ лист Мебиуса, или, что то же самое, искать его массу, если это материальная поверхность с единичной плотностью распределения вещества.
Традиционными рассуждениями проверяется корректность определения 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения Я1,..., Я,д,... поверхности Я). 274 ГЛ. Х1П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4. Выражение формы объема в декартовых координатах. Пусть Я вЂ” гладкая гиперповерхность (размерности и — 1) в ориентированном евклидовом пространстве Кп, наделенная ориентирующим ее непрерывным полем единичных нормалей ц(х), х Е Я. Пусть г' форма (и-мерного) объема в Кп, а й — форма ((и — 1)-мерного) объема на Я.
ЕСЛИ В КаСатЕЛЬНОМ ПрОСтраНСтВЕ ТЯ ВЗятЬ рЕПЕр (1,...,(и 1 ИЗ класса ориентации, задаваемого единичной нормалью ц(х) к ТЯ~, то, очевидно, можно записать следующее равенство: ~ Справедливость его следует из того, что при указанных условиях обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что объем параллелепипеда, натянутого на векторы ц,(1,...,(и 1, равен площади основания Й(х) ®,..., ~п 1), умноженной на высоту ~ц~ = 1.
~ Но Ч 6 Здесь х~,..., хп декартовы координаты в задающем ориентацию ортонормированном базисе е1,..., еп, а крышка над дифференциалом дх' означает, что в этом слагаемом он отсутствует. Таким образом, получается следующее координатное выражение для формы объема на ориентированной гиперповерхности Я С Кп: Й = ~( — >)' >>(х) Их~ л... л Их' л... л Иж" (~>,..., г„>).
>8) г=1 Здесь стоит заметить, что при изменении ориентации поверхности направление нормали ц(х) меняется на противоположное, т. е. форма Й при этом заменяется новой формой — Й. Из тех же геометрических соображений следует, что при фиксированном значении г Е ( 1,..., и ) (9(т)> Ег)~(41> ° - ° > 4п — 1) ~(~)(Ег> 41> ° ° ° > 4п — 1) ° ~2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 275 Последнее равенство означает, что ц'(т)й(т) = ( — 1)' 1й 1 Л... Л а х Л... Ла х(~1,...,(„1). (10) Для двумерной поверхности Я в ~" элемент объема чаще всего обозначают символами до или дЯ.
Их не следует воспринимать как дифференциалы неких форм о и Я, это единые символы. Если х, у, ю декартовы координаты в Кз, то в этих обозначениях соотношения (8), (10) запишутся так: Йт = сов й1 Йу Л й + сов й2 й Л Йх + сов йз Йх Л Йу) соай1до = ду ЛсЬ, (ориентированные площади проекций сов й2 ~(т = ~2' Л ~х) на координатные плоскости). сов йз ~о = ~х Л ~у здесь (соай1,соай2,соайз)(х) направляющие косинусы (координаты) единичного вектора ц(х) нормали к Я в точке х Е Я. В этих равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (10), во избежание недоразумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак ~ ограничения соответствующей формы на поверхность Я, но чтобы не загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием.
5. Интегралы первого и второго рода. В ряде задач, типичным представителем которых является рассмотренная выше задача об определении массы поверхности по известной плотности, возникают интегралы типа (1). Их часто называют интегралами от функции по поверхности или интегралами первого рода. Определение 5. Интегралом от функции р по ориентируемой поверхности Я называют интеграл от дифференциальной формы рй, где Й вЂ” форма объема на Я (отвеча- ющая выбираемой при вычислении интеграла ориентации Я).
Ясно, что так определенный интеграл (11) не зависит от ориентации Я, поскольку изменение ориентации сопровождается соответствующей заменой формы объема. 27б ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об интегрировании функции, а об интегрировании формы рй специального вида по поверхности Я с определенной на ней формой объема. Определение 6. Если Я кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность и р — функция на Я, то интегралом (11) от фунниии р по повсрсности о' нвемвввои сумму ~/ рй иииегрвлов г от фУнкЦии Р по паРаметРизУемым кУскам Я1,..., Яу„,... описанного в определении 4 разбиения поверхности Я.
Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралом первого рода. Например, таковым является интеграл (1), выражающий массу поверхности Я через плотность р распределения массы по поверхности. Для выделения интегралов первого рода с их свойством независимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода. Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососимметрические формы, степень которых равна размерности пространства, пропорциональны, между любой й-формой ы, заданной на Й-мерной ориентируемой поверхности Я, и формой объема Й на Я имеется связь ы = рй, где р некоторая, зависящая от ы функция на Я. Значит, т.
е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответ- ствующего интеграла первого рода. Пример 1. Интеграл (2') ~1, выражающий работу на пути у [а, о1 — ~ К", можно записать в виде интеграла первого рода (12) где в натуральный параметр на ~, дв — элемент (1-форма) длины, а е единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию об ориентации ~. С точки зрения физического смысла решаемой интегралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (1) ~ 1. ~2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 277 Пример 2. Поток (3), 81 поля скоростей ~ через ориентированную единичными нормалями п(х) поверхность Я С )~" можно записать в виде поверхностного интеграла (13) первого рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
