Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Тогда формула Грина сводится к равенству сЬду = — РсЪ, (2) 1 д1 которое мы и докажем. ~ Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем 1 1 1 (Р(х, 1) — Р(х, О) ) сЪ = — Р(х, 0) сЪ + Р(х, 1) сЪ. о о о Доказательство закончено. Остальное дело определений и интерпретации уже полученного соотношения. Дело в том, что разность двух последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части равенства (2).
Действительно, кусочно гладкая кривая д1 распадается на четыре куска (рис. 87). Их можно рассматривать как параметризованные кривые Рис. 87. 1 1 — сЪду = сЪ ду = 1 о о 71. [0,11 — ~ К2, 'У2: [0) 11 ~ 2~ 73 [О,Ч вЂ” ~~~', У4. '[0) Ц + Б~ где х ~ — ~ (х,О), где у ~ — ~ (1,у), где х ~ — ~ (х,1), где у ~ — + (у, 0). ~ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 283 По определению интеграла от 1-формы ы = РсЪ по кривой 1 Г Р(х, у) сЪ:= ЦР(х, у) сЪ):= Р(х, О) сЪ, 71 (0,1] о 1 Г Р(х, у) сЪ:= с2(Р(х, у) сЪ):= Оду = О, 72 [о,1] о 1 Г Р(, у) ~Ъ:= .У3(Р(, у) Ъ):= Р(,1) Ъ, '13 (о,1] о 1 Г Р(х, у) сЪ:= 'у4 (Р(х, у) сЪ):= 0 сЕу = 0 74 ~О,1] о У+ 1с1+ Ю+ Ю = Ю+ У Ю вЂ” Ю1 д1 71 72 — 73 — 74 71 72 73 74 где — у, есть кривая у„взятая с противоположной задаваемой отображением у, ориентацией.
Таким образом, равенство (2) проверено. ~ Аналогично проверяется, что сЪс1у = Яссу, (3) д1 Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина — сЪду = РсЪ+ Яду д1 для квадрата 1. Заметим, что несимметричность Р и Я в формуле Грина (1) и равенствах (2), (3) связана с несимметричностью х и у; ведь х и у упорядочены, и этим в ]]~~ и в 1 задана ориентация. и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации границы области, с учетом ориентации кривых 'у1, у2, у3 и у4, очевидно, 284 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ На языке форм доказанное соотношение ~1') можно переписать в виде 1 д1 где ы произвольная гладкая 1-форма на 1. Справа здесь стоит интеграл от ограничения формы а~ на границу И квадрата 1. Проведенное доказательство соотношения (2) допускает очевидное обобщение: если Р~ не квадрат, а «криволинейный четырехугольник», боковые стороны которого вертикальные отрезки (быть может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны графики кусочно гладких функций ~р1(х) < ~р2(х) над отрезком [а, о] оси Ох, то — сЬ с~у = — РсЬ. (2') дед Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» Р по отношению к оси Оу, т.
е. с двумя горизонтальными сторонами, то для него справедливо равенство с~к о',у = Я О',у. Предположим теперь, что область Р можно разрезать на конечное число областей типа Р~ (рис. 88). Тогда для этой области Р тоже верна формула вида (2'). ~ В самом деле, двойной интеграл по области Р в силу его аддитивности есть сумма интегралов по кускам типа Р~, на которые разрезана область Р. Для каждого такого куска справедлива формула (2'), т.е. двойной интеграл по нему равен интегралу от формы Р с~к по ориентированной границе это- го куска. Но соседние куски на общей части их границ индуцируют противоположные ориентации, поэтому при сложении интегралов по границам всех кусков в результате взаимных уничтожений, очевидно, останется только интеграл по границе дР самой области Р.
> Рис. 88. 285 ~З. ОСН НОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА Г Йд:= Ц) Йю= ЙЦ) ю= ~Р ю=: С 1 1 д1 дС тельным знаком здесь отмечено у д но же оказанное нами раВосклицательны — ия или их прямые венст ( . ~ )); во см. ~1 )); крайние ~ ") ); равенства — определения связано с независимо- следствия; оставшееся вт р то ое слева равенство свя фференцирования от системы координат. стью внешнего ди ~ч е Значит, для области С тоже спр д п аве лива формула Грина. сли как ю-то ориентированную область Р удается разре- С то из же описанных ное число областей типа области, то из у зать на конечное число тег алов по тем частям выше соображений о взаимном уничтожении интегралов границ областей б " С которые лежат внутри Р, следует, что Йд= Йд= 02= р С з дС, дР (5) Р ф мула Грина тоже имеет место.
т. е. ля области фор д б область с кусочно гладкои границ " ей Можно показать, что лю ая о ла т ный класс областеи, но мы не уд ем этого делать, попадает в описанный кл ( . ХЧ) б ет описан полезныи технически" поскольку позже (гл. ) удет их зат нений, который поз зволяет из ежать по б ь подобных геометрических затруд итическим вопросом. заменяя их сравнит ельно просто решаемым аналитиче Р оп скает разбиение на области тиАналогично, если область Р допус па Р, то для справ Р аведливо равенство типа равенства 3 аз езат так и аз езать как на куски вида Р , та Области которые можно разрезат остпыми областпями.
а 0 .Н и а Р словимся пока называть про на куски вида „, у ех п актических целей самом-то деле зто до остаточно богатый для всех практ класс областей. сти оба соотношения,, п Записав для простой облас сложения получим формулу (1). И к для простых областей формула Грина доказана. так, для е и ее точнениями см. есь заниматься дальнеишими е у Мы не будем зде гой весьма за ач 2), а продемонстрируем лучше дру й по этому поводу задачу ), а п но было бы пойти, плодотворныи путь рассу д ж ений по которому можно ыл установив равенства ( ), ( жением: 1 — т С кваПусть область С получена гладким отображением ~р: — ~ кв— драта .
сли ы— 1. Š— гладкая 1-форма на С, то 286 ГЛ. ХП1. КРИВ Л О ИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р ассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина. Пример 1. Положим в (1) Р = — у, Я = х. Тогда получим, что — у сЬ + х йу = 2 сЬ йу = 2о(Р), дР Р г е о~~Р) — площадь области Р. Используя формулу Грина, можно, та- где о( ) — пл ы ажения ким образом, получить следующие уже встречавшиеся нам выр для площади о ласти на б плоскости через криволинейные интегралы по ориентированной границе этои области: 1 о(Р) = — — у сЬ + х йу = — ~ у сЬ = х йу. 2 дР дР дР та А = ГРйУ, которую тепло- В частости, отсюда следует, что работа = 1 7 вая машина совершает при изменении состояния р ее абочего вещества вна площади той области плоскости Р, Ъ' по замкнутому циклу ~, равна состояний, которая ограничена криво" ~ ( .
д у й (см. за ач 5 81). х2+ 2 ( 1 — замкн тый Пример 2. Пусть В = Дх, у) Е К2 ~ х2 + у ( 1) — замкнутый ние: В~В круг на плоскости. о . Покажем что любое гладкое отображе 1 замкнутого круга в се я имеет п б т по крайней мере одну неподвижную точку (т. е. такую точку р Е В, что ~(р) = р).
~ П едположим, что неподвижных точе у р к отоб ажения 1" нет. ТоР гда для любои точки р од Е В нозначно определены луч с вершиной Др), ( ) Е дВ пе есечения этого лу- проходя одящий через точку р, и точка ~р(р) р окр . никло ча с ограничивающеи круг окр В окружностью.
Таким образом, возни о бы отображение ~р: : В -+ дВ которое как легко видеть, тождествен- но на границе р дВ круга а в целом той же гладкости, что и исходное б ~~. Покажем что такого отображения ~р не существует. В области ~~ (пл бл К2 ~~ О (плоскость с выброшенным началом координат) рассмотрим уже встречавшуюся нам в „"фор у дВ Е К ~, О то при посредственно проверяется, что сЬ~ = О. Поскольку д наличии отображения ~р: : В -+ дВ можно было бы получить форму ~р*ы й * = *й = ~р*О = О. Значит, по формуле Грина на В, причем й~р ы = ~р ы = ~р ~р*с~ = с6р*с~ = О. дВ ~ 3.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 287 Но ограничение ~р на дВ есть тождественное отображение, поэтому 1 *-=1- дВ дВ Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 8 1, отличен от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформу- лированного утверждения. $» Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размерности (см. пример 5).
Оно справедливо также не только для гладких, но и для любых непрерывных отображений ~: В -+ В. В этом общем виде оно называется тпеоремой Брауэра~) о неподвижной тпочке. 2. <формула Гаусса — Остроградского. Подобно тому, как формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соответствующим интегралом по самой области, приводимая ниже формула Гаусса — Остроградского связывает интеграл по границе пространственной области с интегралом по самой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
