Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Р ео д.В 3. гоФЕ = д1 2. йчВ = О. (12) 1 1дЕ 4. гоСВ = 2+ еосг с' д Здесь р(х,~) плотность электрического заряда (количество заряда, отнесенное к единице объема), 1(х, 1) вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку), Е(х, 1) и .В(х,1) — векторы напряженности электрического и магнитного поля соответственно, ео и с размерные постоянные (при этом с — скорость света в вакууме). В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами дгаг1, го1, Йч широко используется предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный опе- '~По этому поводу известный американский физик и математик Р Фейнман (1918 — 1988) в своих лекциях по физике (см русский перевод М, Мир, 1966, т 5, с 27) с присущим ему темпераментом пишет «В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием Х1Х столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики На фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием» ~~Дж К Максвелл (1831 — 1879) — выдающийся шотландский физик, создал математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по кинетическои теории газов, оптике и механике Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь выражения, вообще говоря, отличные от голученных выше их выражений в декартовых координатах Об этом мы еще скажем в п.
5 этого параграфа. Заметим еще, что векторное поле го1А обычно называют ротором А, ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо символа го1 А иногда пишут символ сцг1 А. В качестве примера использования рассмотренных операторов приведем запись через них знаменитой1) системы уравнений Максвеллаг), описывающей состояние компонент электромагнитного поля как функций точки х = (х, х, х ) пространства и времени 1.
310 ГЛ. Х1ч'. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ратор набла ~оператор Гамильтона1)) д д д 'ч' = е1 — + ег — + ез —, дх' дх2 дхз ' (13) где 1е1,е2,ез) — ортонормированный базис в Ф, а х1, х2, хз соответствующие ему декартовы координаты в К~. По определению применение оператора ч к скалярному полю ~ (т. е. к функции) дает векторное поле Ю Ю д1 д 1+е2д '+ез (14) (15) (16) дгаг1 ~ = ~~, го1А=~7х А, г11чВ = С7. В.
Так через оператор Гамильтона и векторные операции в Кз записываются операторы дгаг1, го1 и йч. ЦУ. Р. Гамильтон (1805 — 1865) — знаменитый ирландский математик и механик; сформулировал вариационный принцип (Гамильтона) и построил феноменологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор»). что совпадает с полем (9'), т. е. оператор набла есть попросту записанный в других обозначениях оператор ягас1. Используя, однако, векторную структуру записи оператора ч', Гамильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую соответствующие алгебраические операции с векторами. Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в обращении с оператором ~7 надо придерживаться тех же принципов и соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным оператором дифференцирования Р = —,~--.
Например, ~рР~ равно <р,-~, д сУ а не -~-(~о~) или не ~ ~. Значит, оператор деиствует на то, что ему д д подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль коэффициента, т.е. ~рР есть новый дифференциальный оператор у-~~, а нефункция ~~~~.далее Р = В Р, т.е. О~у = Р(пя = ~- (~-~) = — ~~. Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с ч как с заданным в декартовых координатах векторным полем, то, сопоставляя соотношения (13), (9'), (10") и (11'), получаем 3 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 311 Пример 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла участвовали только операторы го1 и йч. Используя описанные принципы обращения с оператором ~7 = ягаг1, мы в качестве компенсации для оператора дгаг1 перепишем систему Максвелла в следующем виде: 1. ~ Е= —.
~0 д.В 3.~7хЕ=— д1 2.~7 .В=О. 1 дЕ (12') 4.~хВ= 2+ — 2 сос2 сг д гоФ(~А) = ~ го1 А — А х ягаг1 ~, й1ч(~А) = А ягаг1~+ ~ йиА, йч(А х.В) =.В гоФА — А го1В. (17) (18) (19) ~ Проверим последнее равенство: ~Мч Ах И г~~~АхВ 4~'~А ~ ~'~И) г~~А ~ ~И 1'~А ~ г~~И 3 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 3 3 ~го1А ~Н ~А ~го1 Н ~Н го$А А го1Н ~Н го$А — А го1Н' Аналогично проверяются и первые два соотношения. Разумеется, проверку всех этих равенств можно осуществить и непосредственным дифференцированием в координатах.
° Если учесть, что с~~ы = 0 для любой формы ы, то можно также утверждать, что справедливы равенства (20) (21) гоФдгаг1~ = О, йчго1А = О. 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа. В евклидовом ориентированном пространстве ~~ мы установили связь (1) — (4) между формами, с одной стороны, и векторными и скалярными полями с другой. Это позволило внешнему умножению и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции над полями (см.
формулы (5), (6) и (9) — (11)). Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда основных дифференциальных формул векторного анализа. Например, имеют место следующие соотношения: 312 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ~ Действительно: ~го$ цгас1 г = с~~8гас1 ~ = 4с~~~) = с~ ~~ = 0~ 2 1 О 2 О о~сйч го1 А с~~го1 А г~Ыо~А) с~ ~А 3 2 1 2 1 (22) егас1 йч А, го1 го1 А, йч егас1 ~, Оператор йч дгас1 применяется, как видно, к скалярному полю.
Этот оператор обозначают буквой Ь ~«дельта») и называют оператором Лапласа Ц или лапласианом. Из формул (9'), (11') следует, что в декартовых координатах д2у д2у д2у д~~1)2 + Д~~2)2 (23) Поскольку оператор Ь действует на числовые функции, его можно применять покомпонентно к координатам векторных полей А = е1А1+ + е2А + езА~, где е1, е2, ез ортонормированный базис в ~к.
В этом случае ЬА = е1ЬА + егЬА + езЬА~. С учетом последнего равенства, для тройки операторов второго порядка (22) можно выписать следующее соотношение: (24) го$гоФ А = ягас1йч А — ЬА, на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2). Ра- венство (24) может служить определением ЬА в любой, не обязательно ортогональной системе координат. '~П.
С. Лаплас (1749 — 1827) — знаменитый французский астроном, математик и физик; внес фундаментальный вклад в развитие небесной механики, математической теории вероятностей, экспериментальной и математической физики. В формулах (17) — (19) операторы ягас1, гоС, Жч применяются однократно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются операции второго порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух из трех исходных операций. Кроме приведенных в (20) и (21), можно рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов: ~ 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 313 Используя язык векторной алгебры и формулы (14) — (16), все операторы второго порядка (20) — (22) можно записать через оператор Гамильтона ~: гоФягаг1~ = ~7 х ~7~ = О, йчго~ А = ~7 (~7 х А) = О, дгаг1йчА = ~ (~ А), го~ го~ А = ~7 х (~7 х А), Жчдгаг1 ~ = ~ ~У. С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух из этих операторов представляется вполне естественным.
Последнее равенство означает, что между оператором Гамильтона ~ и лапласианом Л имеется простая связь: *5. Векторные операции в криволинейных координатах а. Подобно тому, как, например, сфера х + у + ~~ = а имеет г особенно простое уравнение В = а в сферических координатах, векторные поля х «-~ А(х) в ~~ (или ~") часто приобретают наиболее простую запись в системе координат, отличной от декартовой.
Поэтому мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы находить дгаг1, го1 и Жч в достаточно широком классе криволинейных координат. Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной записью поля А в той или иной системе криволинейных координат. Начнем с двух наводящих примеров описательного характера. Пример 3.
Пусть на евклидовой плоскости ~~ фиксированы декартовы координаты х, х2. Когда мы говорим, что в ~~ задано векторное поле (А~, А ) (х), то мы имеем в виду, что с каждой точкой х = (х1,х2) е к2 связан некоторый вектор А(х) е тК~., который в базисе пространства ТР''„„состоящем из ортов е1(х), е2(х) координат- 2 ных направлений, имеет разложение А(х) = А (х)е1(х) + А2(х)е2(х) (рис. 91). В данном случае базис 1е1(х), е2(х)) пространства ТК~., по существу, не зависит от точки х. Пример 4. В случае, когда в той же плоскости ~~ задается полярная система координат (г, ~р), с каждой точкой х Е ~~ ~ О тоже мож- 314 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ег(х) Рис. 92. Рис. 91. но связать орты е1(х) = е„(х), ег(х) = е,(х) (рис.92) координатных направлений. Они тоже образуют базис в ТЯ, по которому можно разложить связанный с точкой х вектор А(х) поля А: А(х) = А (х)е1(х) + + А (х)ег(х). Тогда упорядоченную пару функций ~А1, Аг)(х) естественно считать записью поля А в полярной системе координат. Так, если (А1, Аг) (х): — (1, О), то это поле единичных векторов в Кг, идущих в радиальном направлении в сторону от центра О. Поле (А1, А )(х) = (0,1) получается из предыдущего поля поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол т/2. Это не постоянные поля в К, хотя компоненты их координатного представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки к точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
