Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 60
Текст из файла (страница 60)
На их доказательстве мы здесь не останавливаемся. л ы ина. Если Я некоторая поверхность, а п едис. Формулы Грина. сли н рмали к Я, то производную ~ унк яичный вектор нормали у~. Нап„имер, ч е всего записывают символом у~-. тору 'и В теории поля чаще Ио = Р„до = ~до. Таким обра- (~7~,йп) = (~7~,п) йт = (р.ас1~,п) йт = „,~ о = ~ зом Ио есть поток поля р. зом ас1 ~ через элемент Ио поверхности. п б начениях можно записать следу щ д б начениях ю ие остаточно широ- В этих обозначениях о я ч о м лы Грина: орном анализе и теории поля ц орму ко используемые в векторном /' д~ Г ,/ „I дп — Йт = д — Ио, (16) дЪ' дУ Ъ Ъ дЪ' 1( Ю В~, ,/ ~ дп дп( дЪ' В частности, если в (16) положить ~ = д, а в (17) положить д = 1, тная о иентированная поверх- П сть Я (кусочно) гладкая компак р усть в ным к аем дЯ, йт векторный элеь с согласованно ориентированным краем ность с с и Я а о,8 векторный элемент длины т пло ади на поверхности ~, а 8 век мент пл щ д " А Ю ~' имеют место соотношения на дЯ.
Тогда для гладких полеи,, им ю 336 ГЛ Х1Ч ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ то соответственно получим ау„ Ь~ ~Л' = ~7~ И~ = — И~ (17') Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса. Докажем, например, второе из равенств (16), (17): 4 (д~~ — ~~7д) йп = ~7 (д~7~ — ~~7д) ~Л1 = дЪ' Ъ' (~д ~ ~' + д~2 ~' ~~7~' . ~ ~'~2 ) (д~2 ~ ~~2д)~~(д~~~ ~~д) Мы воспользовались формулой Гаусса — Остроградского и тем, что (~рА) = ~у А+~р~ А.
> Задачи и упражнения 1. Исходя из формулы Гаусса — Остроградского (8), докажите соотношения (9), (10). 2. Исходя из формулы Стокса (13), докажите соотношения (14), (15). 3. а) Проверьте, что формулы (8), (9), (10) остаются в силе и для неограниченной области $', если подынтегральные функции в поверхностных интегралах имеют порядок О ~ — ~ при т — ~ оо. (Здесь т = ~т~, т — радиус-вектор /1~ ~,.3 / точек пространства К3.) Ь) Проверьте, остаются ли в силе формулы (13), (14), (15) для некомпактной поверхности Я С К~, если подынтегральные функции в криволинейных интегралах имеют порядок О ~ — ! при т -+ оо. /1~ т~ с) Приведите примеры, показывающие, что для неограниченных поверхностей и областей формулы Стокса (4') и Гаусса — Остроградского (5'), вообще говоря, несправедливы.
~ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 337 4. а) Исходя из интерпретации дивергенции как плотности источников, объясните, что уравнение 2 системы (12) 31 уравнений Максвелла подразумевает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т. е. магнитных зарядов не бывает). Ь) Используя формулу Гаусса — Остроградского и систему (12) 3 1 уравнений Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация пробных зарядов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого равновесия в области электростатического поля, свободной от (других) зарядов, создающих это поле. (Предполагается, что никакие иные силы, кроме создаваемых полем, при этом на систему не действуют.). Этот факт известен как теорема Ирншоу.
5. Если электромагнитное поле стационарно, т. е. не зависит от времени, то система (12), 31 уравнений Максвелла распадается на две независимые части — систему Ч Е = -~-, ~7 х Е = 0 уравнений электростатики и систему ~7 х .В = -1-2-, ~7 .В = 0 уравнений магнитостатики. ~ОС Уравнение 'Г Е = р/е0, где р — плотность распределения зарядов, по формуле Гаусса — Остроградского преобразуется в соотношение ~ Е йт = Я/ев, Я где слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность 5, а справа — сумма Я зарядов, попавших в область, ограниченную поверхностью 5, деленная на размерную постоянную ев.
В электростатике это соотношение обычно называется эаконом Гаусса. Используя закон Гаусса, найдите электрическое поле Е а) создаваемое однородно заряженной сферой, и убедитесь, что вне сферы оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центре сферы; Ь) однородно заряженной прямой; с) однородно заряженной плоскости; Й) пары параллельных и однородно заряженных зарядами противоположного знака плоскостей; е) однородно заряженного шара. 6.
а) Докажите формулу Грина (16). Ь) Пусть ~ — гармоническая в ограниченной области $' функция (т.е. ~ удовлетворяет в $' уравнению Лапласа Ь~ = О). Покажите, исходя из равенства (17'), что поток градиента этой функции через границу области $' равен нулю. с) Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области функция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей нормальной производной на границе этой области. й) Исходя из равенства (16'), докажите, что если гармоническая в ограниченной области функция на границе области всюду равна нулю,то она тождественно равна нулю во всей этой области. е) Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух 338 ГЛ.
Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ гармонических в этой области функций совпадают, то эти функции совпадают во всей области. 1) Исходя из равенства (16), проверьте следующий принцип Дирихле: среди всех непрерывно дифференцируемых в области функций, принимающих эаданные эначенил на границе области, наименьшее значение интегралу Дирихле (т. е. интегралу от квадрата модуля градиента функции по области) доставляет гармоническая в области функция и только она. 7.
а) Пусть т(р,д) = ~р — д~ расстояние между точками р,д евклидова пространства Кз. Фиксировав точку р, получим функцию тр(д) точки д Е Кз. Покажите, что Ьт 1(д) = 4лб~р; д), где б — дельта-функция. Ь) Пусть д — гармоническая в области $' функция. Полагая в формуле (17) ~ = 1(тр, с учетом предыдущего результата получаем 1 1 4тд(р) = д~7 — — — ~д йт. тр тр Докажите это равенство аккуратно. с) Выведите из предыдущего равенства, что если 5 — сфера радиуса й с центром в точке р, то 1 д(р) = / дс6т. Я Это так называемая теорема о среднем для гармонических функций. с1) Исходя из предыдущего результата, покажите, что если  — шар, ограниченный рассмотренной там сферой Я, а $'(В) †е объем, то справедливо также равенство 1 д'р) 1 (В) / д в е) Если р,д точки евклидовой плоскости К2, то вместо рассмотренной 1 в а) функции — „(отвечающеи потенциалу заряда, помещенного в точку р) возьмем теперь функцию 1п — (отвечающую в пространстве потенциалу рав- 1 тр номерно заряженной прямой).
Покажите, что Ь 1п „1 = 2тб(р; д), где б~р; д) в данном случае есть дельта-функция в К2. 1) Повторив проведенные в а), Ь), с), с1) рассуждения, получите теорему о среднем для функций, гармонических в плоских областях. 8. Многомерная теорема Коши о среднем. Классическая теорема о среднем для интеграла («теорема Лагранжа») утверждает, что если функция ~: Р -+ К непрерывна на компактном, измеримом и связном множестве Р С К" (например, в области), то найдется такая точка ~ б Р, что Пх)« =Ы) Л ~ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 339 И) 1Ю4х = Ы) д(х)4 . Ь) Пусть Р— компактная область с гладкой границей дР, а ~,д — два гладких векторных поля в Р. Покажите, что найдется такая точка ~ Е Р, что Йчд(~) Р1пх~ = Йч~(~) Р1пхд, аР аР где Р1цх — поток векторного поля через поверхность дР.
аР ~ 3. Потенциальные поля 1. Потенциал векторного поля Определение 1. Пусть А векторное поле в области Р С К". Функция У: Р— + К называется потенциалом поля А в области Р, если в этой области А = дгас1 У. Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется потенциальным полем. Поскольку в связной области частные производные определяют функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал поля определен с точностью до аддитивной постоянной.
В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля Р обычно называют такую функцию У, что Р = — дгас1 У. Такой потенциал отличается от введенного определением 1 только знаком. Пример 1. Напряженность Р гравитационного поля, создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Ньютона в виде 12 — 4574 где )Р) — мера (объем) Р. а) Пусть теперь ~, д 6 С(Р, К), т.е.
~, д — непрерывные вещественнозначные в Р функции. Покажите, что верна следующая «теорема Коши»: найдется точка ~ Е .Р такая,что 340 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ где г = )г(. Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответствующей точке пространства. Гравитационное поле (1) потенциально. Его потенциалом в смысле определения 1 является функция ч T Е= 4~~0 гз Таким образом, такое электростатическое поле, как и гравитационное поле, потенциально. Его потенциал ~р, в смысле физической терминологии, определяется соотношением д Ф= 4гг~о т 2. Необходимое условие потенциальности.
На языке дифференциальных форм равенство А = рас1 У означает, что ы ~ —— йы 0 = ИГ, откуда вытекает, что йг~,~ = Ог (3) поскольку д~~ ф = О. Это необходимое условие потенциальности поля А. В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение. Если А = (Аг,...,А") и А = дгас1У, то в декартовых координатах А' = —,, г = 1,...,и, и при достаточнои гладкости потенциала У г дГ д~ (например, непрерывность вторых частных производных) должно быть дА' дА~ — г,~ =1,...,п, дх~ юг ' (3') что попросту означает равенство смешанных производных д~У д~У дхг дФ дх~ юг и В декартовых координатах о~~~ — — '> А' Их', поэтому равенство (3) г=1 и соотношения (3') действительно в этом случае равносильны. Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
