Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 64
Текст из файла (страница 64)
с) Покажите, что выбор потенциала А, удовлетворяющего дополнительному требованию т7.А = О, сводится к решению уравнения Пуассона, точнее к отысканию скалярной функции ф, которая при заданной скалярной функции ~ удовлетворяет уравнению Ьф = ~. с1) Покажите, что если потенциал А статического магнитного поля Л выбрать так, что т7 . А = О, то он будет удовлетворять следующему векторному уравнению Пуассона: ЬА = — ~-~. Таким образом, привлечение потенциалов ~0~ позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магнитостатических полей к решению уравнения Пуассона. 13. Известна следующая тпеорема Гельмгольца1): любое гладкое в области Р евклидова ориентпированного пространства Кз поле г можно разложить в сумму г' = Г1 + .г2 безвихревого поля Г1 и соленоидального поля г2. Покажите, что построение такого разложения можно свести к решению некоторого уравнения Пуассона.
14. Пусть данная масса некоторого вещества переходит из состояния, характеризуемого термодинамическими параметрами 1~о, Ро, (То), в состояние $', Р, (Т). Предположим, что процесс протекает медленно (квазистатически) и идет по пути у плоскости состояний (с координатами $', Р).
В термодинамике доказывается, что величина 5 = / -~, где б~ — форма теплообмена, зависит бЯ только от начала Я, Ро) и конца ® Р) пути, т. е. после фиксирования одной из этих точек, например (~о, Ро), 5 становится функцией состояния ($;Р) рассматриваемой системы. Эта функция называется знтропией системы. а) Выведите отсюда, что форма ы = -~ является точной, причем ы = сБ. бЯ Ь) Используя указанный в задаче 6 ~ 1 гл. ХП1 вид формы б~ для идеального газа, найдите энтропию идеального газа. 356 ГЛ. Х1Ч.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации вы- вод некоторых важных уравнений математической физики. 1. Уравнение теплопроводности. Изучается скалярное поле Т = Т(х, у, ~,1) температуры наблюдаемого тела как функция точки (х, у, я) тела и времени 1. В результате теплообмена между различными частями тела поле Т может как-то меняться. Однако это изменение не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и хотим в явном виде выписать.
Пусть .0 — некоторая объемная часть наблюдаемого тела, ограниченная поверхностью Я. Если в .0 нет источников тепла, то изменение внутренней энергии содержащегося в Р вещества может происходить только в результате теплообмена, т. е.
в данном случае путем переноса энергии через границу Я области .О. Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме .0 и поток энергии через поверхность Я, мы на основе закона сохранения энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение. Известно, что для увеличения на ЬТ температуры однородной массы т требуется тепловая энергия в количестве стпЬТ, где с удельная теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за промежуток времени Ь| наше поле Т изменилось на величину ЬТ = Т(х, у, з, ~+ + Ь1) — Т~х, у, я, 1), то внутренняя энергия в области .0 изменилась на величину срЬТ сЛ~, где р = р(х, у, ~) плотность вещества.
Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне изменения температур количество тепла, протекающее в результате теплообмена через выделенную в теле площадку йг = пйт за единицу времени, пропорционально потоку — огай Т йг поля — Огай Т через эту площадку (огай берется по пространственным переменным ж, у, з). Коэффициент Й пропорциональности зависит от вещества и называется его коэффициентом теплопроводности. Знак минус перед райТ отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени Ь~ через границу Я области .0 в сторону внешней нормали пройдет следующая ~ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 357 энергия (с точностью до о(ЬЙ)): Ь1 — ЙдаА Т Йт. Приравнивая величину (1) ко взятой с противоположным знаком величине (2) после деления на Ь8 и перехода к пределу при Ь1 — ~ О, получаем ср — Л' = К уаАТ Йт.
(3) ср — дК = йч~й ягас1 Т) дК Отсюда ввиду произвольности области .О, очевидно, следует, что дТ ср — = йч(Й дгас1 Т). д1 (4) Мы получили дифференциальный вариант интегрального равенства (3). Если бы в области .0 были источники (или стоки) тепла, интенсивность которых имела бы плотность Р(х, у, я, 1), то вместо равенства (3) мы должны были бы написать равенство ср — сЛ~ = Йдгаг1Т Йт+ Рсй~, (3') и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение дТ ср — = йч(йрас1Т) + Р.
д1 (4') Если тело считать изотропным и однородным в смысле его теплопроводности, то коэффициент Й будет постоянной и уравнение (4) преобразуется к следующему каноническому виду: — = а ЬТ+~, 2 д8 (5) Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Т достаточно гладкой, преобразуем равенство (3), используя формулу Гаусса — Остроградского: 358 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ где ~ = —, а = — — коэффициент температуропроводности. УравЕ 2 1с нение (5) называется обычно уравнением теплопроводности. В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Т не зависит от времени, это уравнение превращается в уравнение Пуассона (6) где <р = — — ~, а если еще и тепловых источников в теле не было, то 1 а2 получается уравнение Лапласа (7) ЬТ=О.
2. Уравнение неразрывности. Пусть р=р(х, у, я, 1) — плотность некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое пространство, а и = и(х, у, я, 1) — поле скоростей движения среды как функция точки (х, у, я) пространства и времени 1. Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин.
Пусть 0 — область в наблюдаемом пространстве, ограниченная поверхностью Я. За промежуток времени Ь1 количество вещества в области Р изменяется на величину Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют гармоническими функциями. В теплофизической интерпретации гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на границе дЪ' тела Ъ' поддерживать заданный тепловой режим Т~~1, — — т, то со временем температурное поле в теле Ъ' стабилизируется в виде некоторой гармонической функции Т.
Такая интерпретация решений уравнения Лапласа (7) позволяет предугадать ряд свойств гармонических функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области Ъ' функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов, иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно.
~ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 359 За малый промежуток времени Ь~ поток вещества через поверхность Я в сторону внешней нормали к Я равен (с точностью до о(Ь1)) величине Ь~ ри йт. Ьр сВ' = — Ь~ ри йт или в пределе при Ь~ — + Π— сЛ~ = — ри йт. Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса — Остроградского и учитывая, что .0 произвольная область, заключаем, что для достаточно гладких функций р, и должно выполняться соотноше- ние др — = — о1ч(ри), д1 (8) называемое уравнением нераэрывности сплошной среды.
В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в виде — +~7 (ри) = О, др д1 (8') или, в более развернутом виде, др — +и.~р+р~ и =О. д1 (8") Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды через замкнутую поверхность Я должен быть нулевым: и.йт= О, Если в области .0 не было источников и стоков, то в силу закона сохранения количества вещества 360 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ откуда (на основании той же формулы Гаусса — Остроградского) следу- ет, что для несжимаемой среды (9) йчо = О.
Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и масло) уравнение ~8") приводится к виду др — + о [7р = О. д~ (10) Если среда еще и однородна, то ~р = О, и потому Щ = О. д Ф) 3. Основные уравнения динамики сплошной среды. Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями р, о, которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной точке (х, у, я) пространства в момент времени 1, рассмотрим давление р = р(х, у, ю, 1) как функцию точки пространства и времени.
Выделим в пространстве, занятом средой, область .О, ограниченную поверхностью Я, и рассмотрим силы, действующие на выделенный объем среды в фиксированный момент времени. На каждый элемент рддр' массы среды могут действовать некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так называемые массовые силы. Пусть Р = Р(х, у, я, ~) плотность создаваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей на элемент массы рсЛ' действует сила Рр сЛ~. Если указанный элемент в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции, равной — ар ~Л1. Наконец, на каждый элемент йт = пдву поверхности э' со стороны частиц среды, соседних с попавшими в .О, действует поверхностная сила — р Йт, вызванная давлением (здесь и внешняя нормаль к Я).
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции, взаимно уравновешиваются, т.е. их равнодействующая должна быть равна нулю. В нашем случае это означает, что ~ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ (Р— о,)рдУ вЂ” ягас1рсЛ~ = О, откуда ввиду произвольности области Р, очевидно, следует, что ро, = рР— ягас1р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
