Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 66
Текст из файла (страница 66)
1) Используя с), покажите, что, решив вспомогательное волновое уравнение Ьф+ ~ = -2 — 2-, не меняя полей Ж и В, можно выбрать потенциалы ~р д2~ с д~ и А так, чтобы они удовлетворяли дополнительному (так называемому калибровочному) условию ~7 А = — -2--ф. 1д я) Покажите, что если потенциалы ~р и А выбраны так, как сказано в 1'), то из Й) и е) получаются искомые неоднородные волновые уравнения д2А — = с~ЬА+— д~' ао рс — = с Ь~р+ —, дР на потенциалы у и А. Найдя ~р и А, найдем и поля Ж = ~7~р, В = ~7 х А.
Максвелла И12) ~ 1) можно свести к волновому уравнению (точнее, к нескольким однотипным волновым уравнениям). Решив эту задачу, вы убедитесь в сказанном. а) Из уравнения ~7 В = О вытекает, что, по крайней мере локально, В = = ~7 х А, где поле А — векторный потенциал поля В. Ь) Зная, что В = ~ х А, покажите, что из уравнения ~ х Ж = — -~- дН следует, что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция у такая, что Ж = -~7у — —,, —. А с) Проверьте, что поля Ж = — ~7д — -~- и В = ~ х А не изменятся, если дА дф вместо пары ~р, А взять другую пару потенциалов ~р, А, такую, что р = ~р — ~1-, А = А+ ~ф, где ф — произвольная функция класса С®.
й) Из уравнения ~ Ж = -Е- вытекает первое соотношение — ~2~р — ~ А = 2 д Ж = -Е- между потенциалами ~р и А. ео е) Из уравнения с ~ х  — -~г- — — -~- вытекает второе соотношение 2 дЕ ыо ~ ГЛАВА Х'~ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ ~ 1.
Некоторые напоминания из линейной алгебры (х1, °,хй) =Р (х ег х ег ) = (ег, ег„)х ' . х'" = аг ...г„х . х (1) Таким образом, после задания базиса в Х, й-форму Р": Х" — ~ К можно отождествить с набором чисел а„,„= Р" (е„,..., е,„). Если е1,...,е„ другой базис в Х и а, „ = Р (е „ ...,е „), то, полагая е = сге„~' = 1,..., и, находим (тензорный) закон г: ЙГ г1 гг. г1 гг. а, „= Р (с~,е„,...,с~„е,„) = а„,„с, ... с „ (2) преобразования числовых наборов а„,„, а, „, отвечающих одной и той же форме Р". Множество У~:= (Р~: Х" -+ К) й-форм на линейном пространстве Х само является линейным пространством относительно стандартных операций (Р1 + Р2 )(х) — Р, (х) + Р2 (х) (ЛР")( ):= ЛР"( ) (з) (4) 1.
Алгебра форм. Пусть Х вЂ” линейное пространство, а Р~: Х вЂ” ~ К вЂ” вещественнозначная й-форма на Х. Если е1,...,е„базис й в Х, а х1 — — х" е„,..., хгг = х'"ец разложение векторов х1,..., хгг Е Х по этому базису, то в силу линейности Р~ по каждому аргументу Зб8 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ сложения Й-форм и умножения деформы на число.
Для форм Р~, Р~ произвольных степеней й и г определяется следующая операция З их тензорного произведения: ~Р" З Р') (х1,..., х~, х~+1,..., х~+~):= = Р~(х1,..., х~г)Р~(х~+1,..., хг,+г). (5) Таким образом, Р~ ® Рг является формой Р~+ степени й+ ~. Очевидны соотношения: РР") ЗР' = ЦР" ЗР'), (6) (7) (8) (РИ З Р1) - Ргп Р1с - (Р1 ~ Ргп) (9) Итак, множество У = (У+) форм на линейном пространстве Х относительно введенных операций является градуированной алгеброй У = ® У, в которой линейные операции выполняются в пределах кажй дого входящего в прямую сумму пространства У~, и если Р~ е У~г, Р~ Е У~, то Р~ З Р~ Е У~г+ . Пример 1. Пусть Х* сопряженное к Х пространство (состоящее из линейных функций на Х) и е,..., е" базис в Х*, взаимный с базисом е1,..., е„в Х, т.
е. ег(е ) = д'. Поскольку ег(х) = ег(х~е ) = х~ег(е ) = х~У = хг, то, учитывая (1) и (9), любую й-форму Р": Х" -+ К можно записать в виде (10) 2. Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь в У" подпространство Й" кососимметрических Й-форм, т.е. ы Е Й", если для любых различных индексов г, ~ Е (1,..., п) имеет место равенство ~о(х1~ ° ~ хг~ ° ° ° ~ хг ~ ° ° ° ~ хlс) ~о(х1~ ° ° ° ~ хг г ° ° ° ) хгт ° ° ° ~ хlс) ° Из любой формы Р" е У~ можно получить кососимметрическую форму с помощью операции А: У" — ~ Й" аяьтернирования форм, определяемой соотношением АР~( 1,...,хь):= — Р~( „,х „)~1'"~", И ~1. АЛГЕБРА ФОРМ Зб9 где Если Р" — кососимметрическая форма, то, как видно из (11), АР" = = Р".
Таким образом, А(АР~) = АР" и Аы = ы, если ы Е Й~. Значит, А: У+ — ~ й~ является отображением У" на й~. Сопоставляя определения (3), (4), (11), получаем Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложения (1О) получается, что АР = агг...г„А(е" З... З е'"), = — х~ ... х~" о гг...гг 1- у г1 ''' гг, 1..Й у (14) Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще говоря, уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе косо- симметрических форм вводится следующая операция Л их внешнего произведения: Лы:= А(ы Зы). (ж+ ~)! йШ (15) Таким образом, ы" Л ы~ есть кососимметрическая форма ы"+' степени Й+ г.
1, если подстановка (""'„") четная, — 1, если подстановка (""'„") нечетная, О, если (" '„") не подстановка. А(Р,"+ Р,") = АР,"+ АР,", А(ЛР~) = ЛАР~. поэтому интересно найти А(е" З... З е'"). Из определения (11) с учетом того, что е'(х) =- х', находим А(ег' З... З е~")(х1,...,хгг) = — е~'(х„) ... е~" (хг„)д"" " (12) (13) 370 ГЛ ХЧ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из определения (15) находим 2! е" Л егг (х1, х2) = — А(е" З е") (х1, х2) = 1!1! г1 гг 3'1 1 гг гг ~2 2 (16) Пример 4.
Используя полученное в примере 3 равенство, соотношение (14) и определения (11), (15), можно написать, что Л е"))(х1,х2,хз) = Д! .1$.1ггз 1 гг у .газ 123 гг 1 гз 1 — Х $$ 2 +~з $$ Ю 1 $г ~з багз з гг 1 гг 2 гг гз з з гг з Аналогичная выкладка показывает, что (17) е~г Л (е~г Л гз) ( $$ Л гг) Л гз Используя разложение определителя по столбцу, на основании принципа индукции заключаем, что ег" (х ) егг (~ ) (18) ег' Л. Л г!( е'" (х,) е" (х1$) причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) справедлива для любых 1-форм е",..., е'" (не обязательно базисных форм простран- ства Х*). е" Л (егг Л е")(х х х ) = 1+ 2М 1!2! гг гз 2 2 гг гз з з егг (у1) егг (у1) е" (х2) егг (х2) гг $3 .13,1г гг $3 .13 гг гг гз 1 1 гг $3 2 2 гг гз 1 1 гг гз 2 2 ~ 1.
АЛГЕБРА ФОРМ Учитывая перечисленные выше свойства тензорного произведения и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего произведения кососимметрических форм: (Ы1 + Ы2) Л Ы = Ы1 Л Ы + 172 Л Ы, (Л~") Л ~' = Л(ы" Л ~'), ы Лы =( — 1) ыЛы, (ы Лы ) Лы~ = ы Л (ы Лы~). (19) (20) (21) (22) ~ Равенства (19), ~20), очевидно, следуют из соотношений (6) — (8) и (12), (13). Из соотношений (10) — (14) и (17) для любой кососимметрической формы ы = а„,„е" З... З е'" получаем ы = А17 = аг ...г А(е" З... 8 е'") = — аг ..г е" Л... Л е'".
— гг ..лг.. ° ~~~ гг. лг. Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для доказательства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм вида е" Л... Л е'". Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена равенством (17). Из равенства (18) и свойств определителей для указанных специальных форм немедленно получаем соотношение (21). ~ а„,„е" Л... Л е'". (23) 1(гг«...гг (и Итак, множество й = (й~) кососимметрических форм на векторном пространстве Х относительно линейных операций (3), (4) и внешйпг Х него умножения (15) является градуированной алгеброй й = ® й". /с=О Линейные операции на й выполняются в пределах каждого линейного пространства й~, и если ы~ Е й~, 171 Е й~, то ы~ Л ы~ Е й~+~. В прямой сумме ® й~ суммирование ведется от нуля до размерности пространства Х, поскольку кососимметрические формы 1 ~: Х -+ — ~ К, степень которых выше размерности линейного пространства Х, обязательно тождественно равны нулю, что видно из соотношения (21) (или из соотношений (23) и (18)).
Заодно мы показали, что любая форма ы Е Й~ может быть представлена в виде 3. Линейные отображения линейных пространств и сопряженные отображения сопряженных пространств. Пусть Х и У линейные пространства над полем К вещественных чисел (или над любым иным, но одним и тем же для Х и У полем) и пусть |: Х вЂ” ~ — ~ У линейное отображение Х в У, т.е. для любых х,хд,х2 Е Х и любого числа Л Е К выполнено 1(хд + х2) = 1(хд) + Цх2) и 1(Лх) = Лф). (24) Линейное отображение 1: Х -+ У естественным образом порождает сопряженное с ним отображение Г: Уу — ~ Ух множества Уд. заданных на У полилинейных форм в аналогичное множество Ух.
Если Рд". й-форма на У, то по определению (25) Из (24) и (25) видно, что ГХф есть й-форма Р~- на пространстве Х, т.е. Г(Уф) С У". Более того, если форма Р" была кососимметрической, то форма (ГР ) = Р тоже кососимметрическая, т.е. й lс Г(й~~) с й" . Отображение Г в пределах каждого линейного пространства У~. или Йд., очевидно, линеино, т. е. й й (26) Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), (11), (15) тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения форм, заключаем, что Пример 5.
Пусть ед,..., е„„базис в Х, ед,..., е„базис в У, а ~(е,) = с",'е, з Е (1,...,т), 7' Е (1,...,и). Если Й-форма Рд"., в базисе ед,..., е„имеет координатное представление Р (уд»уй) = ~д,у1...з~у~ ' ' уд, ~ й где Ь„~„= Р.(е „...,е „), то 372 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ (1 Р~ )(хд,..., хд,):= Р (1хд,..., 1хд,). Е дРд" +Р2") = Е Рд" +ГР2" и Г(ЛР") = ЛХ Р". Г(Р З Р ) = (ГР ) З (ГР ), Г(АР") = А(ГР"), Г (оР л от~) = (ГоР) л (Гог~). (ГРд )(хд,..., хд,) = а„,„х" ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
