Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте (К, у,), можно получить карту с тем же районом действия К, согласованную с картой (211,у1). После описанной процедуры две карты (У„у,), (У„~о,) такие, что У1 П У, ф Ы, У1 П У, ф Ы, У, П У, ф Ы, сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречивую цепочку из трех карт. Таким образом, все карты атласа, районы действия которых пересекаются с У1, уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этапе карты атласа.
Противоречивых ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 389 на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состо- ящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируе- мость данного многообразия. ~ утверждение 5. Край ориентируемого гладкого и-мерного многообразия является ориентируемым (и — 1)-мерным многообразием, допускающим структуру той же гладкости, что и исходное многообразие.
~ Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как и рассмотренное в гл. ХП, 8 3, п. 2 доказательство аналогичного утверждения 2 для поверхностей, лежащих в К". ~ь Определение 17. Если А(М) = ((Н", <р„У,)) О ((К", ~р~, У )) ориентирующий многообразие М атлас, то совокупность карт А(дМ) = ((К" 1,у,~д~ Р 1,дУ,)) есть ориентирующий атлас края дМ многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия.
Важные и часто используемые на практике способы задания ориентации лежащей в К" поверхности и согласованной ориентации ее края Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так, рассмотренное в примере 12 многообразие КР1 ориентируемо. Из указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас КР1. Для этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной прямой КР1, очевидно, следует также из того, что многообразие КР1 гомеоморфно окружности. Проективная плоскость КР2 неориентируема: любая пара карт построенного в примере 13 атласа КР2 такова, что преобразования координат в пределах пары имеют как области положительности, так и области отрицательности якобиана.
Как мы видели при доказательстве утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой цепочки карт на КР . По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14 многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу Мебиуса. ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 390 подробно описаны в Я 2, 3 гл. Х11. ~ Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой е~ ~~ ~ прихфО, В свое время (см. часть 1, 0 при х =О.
нам функции д(х) = стр.221) мы проверили, что д Е С~~~(К,К), показав, что д~"~(О) = О при любом значении и Е И В таком случае неотрицательная функция е ~* Ц е (*+Ц при~х~<1, 0 при )х( ) 1 С(х) = также принадлежит классу С(~~(К, К), а вместе с нею и функция Р(х) = С(~) Ж С(~) сЫ принадлежит этому классу, поскольку Р'(х) = С(х) Функция Р строго возрастает на промежутке ~ — 1, 1~, Р(х) = 0 при х < — 1 и Р(х) = 1 при х ) 1. В качестве искомой функции можно теперь взять 4.
Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в К". Здесь будет изложена одна специальная конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных вопросов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в виде некоторой поверхности в пространстве К" достаточно большой размерности и. Лемма. На К можно построить функцию ~ е С( ~ (К, К) такую, что ~(х) = 0 при ~х~ ) 3, ~(х) = 1 при ~х~ < 1 и 0 < ~(х) < 1 при 1 < )х! < 3. 392 ГЛ.
ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ответствующего единичного куба, только когда областью параметров карты у, является полупространство Н". Открытые в М множества у,(1~), построенные по каждой точке х Е К и соответствующей ей точке 1 = <р, (х) для всех допустимых значений г = 1, 2,..., т, в совокупности образуют открытое покрытие компакта К. Пусть (у, (1~ ), ~ = 1,2,...,1) — извлеченное из него конечное покрытие компакта К. Очевидно, <р, (1~ ) с У,, Определимна К функцию 0 (х) = 0~ оу, (х). Распространим 0 (х) на все многообразие М, полагая функцию равной нулю вне К,. Сохраним за этой распространенной на М функцией прежнее обозначение 0 . По построению 0 Е С® (М, К), впрр 0~ С К, ! 0 ( 0 (х) ( 1 на М и 0 (х) = 1 на у,,(1~,) С К . Тогда функции е1(х) = 01(х), е2(х) = 02(х)(1 — 01(х)),..., ес(х) = О!(х) . (1 — О! 1(х)) .
(1 — 01(х)) составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что е (х) = 1 на К, поскольку остальным требованиям к разбиению еди~=1 ницы на К, подчиненному покрытию (К! !... ! К! ) С (К, г = 1,..., т) компакта К, система функций (е1,..., е~), очевидно, удовлетворяет. Но ! — 2 е (х) = (1 — В1(ж)) ... (1 — В~(х)) = 0 на к, поскольку каждая точка х Е К покрыта некоторым множеством у, (1~ ), на котором соответствующая функция 0 тождественно равна единице. $» Следствие 1. Если М компактное многообразие и А атлас класса С® на М, то на М существует конечное разбиение единицы (е1,..., е!), подчиненное покрытию многообразия районами действия карт атласа А.
~ Поскольку М компакт, атлас А можно считать конечным. Теперь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем К=М. ~~ Следствие 2. Для любого лежаи~его на многообразии М компакта К и любого содержащего К открытого множества С С М суи~ествует функция ~: М -+ К класса гладкости многообразия М такая, что Дх) = 1 на К и впрр~ с С.
~ Покроем каждую точку х е К окрестностью У(х), лежащей в С и ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 393 в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из открытого покрытия (У(х), х е К) компакта К извлекаем конечное покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы (е1,..., е~) на К. Функция 1 = ~~~; е, будет искомой.
~ г=1 Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное гладкое и-мерное многообразие М диффеоморфно некоторой компактной гладкой поверхности, лежаи~ей в пространстве ~~ достаточно большой размерности Я. ~ Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными деталями, проведем его для случая компактного многообразия М без края. В этом случае на М есть гладкий конечный атлас А = (уг: 1 — + -+ У„з = 1,...,т), где 1 открытый и-мерный куб в К".
Подберем чуть меньший куб 1' такой, что Г с 1, а множества (~У = <рг(Г), г = 1,...,т) все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии 2 К = 1', С = 1, М = К", построим функцию ~ Е С(~~(~", К) такую, что Я) = 1 при 1 Е Р и впрр ~ С 1. Рассмотрим теперь координатные функции 1~~ (х),..., 1,"(х) отображений у, ~: К -+ 1, г = 1,..., т, и введем с их помощью на М следующие функции: ((~ о ~р )(х) 1 (х) при х Е У„ 10 прихфУ„ г=1,...,т; Й=1,...,п.
В любой точке х Е М ранг отображения М Э х ~-+ р(х) = (у11,..., у1,,..., р1„,..., у,"„) (х) Е ~™" максимален и равен п. Действительно, ес- лихЕУ',тор (х) =1ЕР ~оу (х) =1ир~(уг(1)) =~~,1=1,...,п. Если, наконец, рассмотреть отображение М Э х ~-~ У(х) = (р(х), ~ о о у, (х),...,~ о у (х)) Е ~к'" ~~, полагая ~ о <р, (х) = 0 вне У„ г = 1,...,т, то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет иметь тот же ранг п, что и отображение х н р(х), а с другой стороны, будет заведомо взаимно однозначным отображением М на образ М в К''г'"+г'г. Проверим последнее утверждение. Пусть р,д различные точки М. Найдем область ~У из системы (~У, г = 1,...,т), покрывающей М, которая содержит точку р. Тогда ~ о р, 1(р) = 1.
Если ,1 о у 1(д) ( 1, то уже У(р) ф У(д). Если же ~ о~р, 1(д) = 1, то р,д е У„ 394 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ у~~(р) = 1~(р), у~(д) = 1~(д) и 1~~(р) ф 8~~(д) хотя бы для одного значения й Е 11,..., п). То есть и в этом случае У(р) ф У(д). ~ По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного многообразия в виде поверхности в К" читатель может обратиться к специальной геометрической литературе. Задачи и упражнения 1. Проверьте, что вводимый определением 1 объект (многообразие) не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х Е М имела окрестность У(х) с М, гомеоморфную открытому подмножеству полупространства Н".
2. Покажите, что а) многообразие СИп, К) иэ примера 6 некомпактно и имеет точно две связные компоненты; Ь) многообразие БО(п, К) (см. пример 7) связно; с) многообразие 0(п, К) компактно и имеет точно две связные компонен- ты 3. Пусть (М, А) и (М, А) — многообразия с заданными на них гладкими структурами одной и той же степени гладкости С®. Гладкие многообразия (М, А), (М, А) (гладкие структуры) считаются изоморфными, если существует такое отображение ~: М ~ М класса С®, которое имеет обратное отображение ~ 1: М ~ М того же класса гладкости С® в атласах А, А. а) Покажите, что на К1 все структуры одинаковой гладкости иэоморфны. Ь) Проверьте высказанные в примере 11 утверждения и выясните, не противоречат ли они задаче а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
