Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Рассмотренные в примерах 1 4 многообразия компактны и связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра Я~~ х 1~~ состоит из двух независимых окружностей и является одномерным компактным, но несвязным многообразием. Край Я" 1 = дВ и-мерного диска из примера 3 является компактным многообразием, которое связно при п ) 1 и несвязно (состоит из двух точек) при п = 1. Пример 5.
Само пространство К", очевидно, является связным, некомпактным многообразием без края, а полупространство Н" доставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с краем. (И в том, и в другом случае атлас можно взять состоящим из единственной карты, отвечающей тождественному отображению.) Ъ'тверждение 2. Если многообразие М связно, то оно линейно связно.
Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой координаты на множестве М (в примере это а,,9) возникают естественным образом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определении 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать, чтобы на М уже была топология. Суть понятия многообразия в том, что точки некоторого множества М параметризуются точками некоторого набора подобластей пространства К". Между появляющимися при этом на частях М системами координат возникает естественная связь, которая выражается в отображениях соответствующих областей пространства К".
Значит, можно считать, что М получается из набора областей пространства К" указанием закона отождествления их точек или, описательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу. Итак, задать многообразие по существу означает задать набор подобластей К" и закон соответствия точек этих подобластей. На дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или отождествления точек, введении топологии на М и т. п.) мы не задерживаемся.
380 ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ~ Фиксировав точку х0 е М, рассмотрим множество Е, тех точек многообразия М, которые можно соединить с х0 в пределах М некоторым путем. Множество Е „как видно из определения многообразия, непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда Е, = М. Ь Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице по- 2 рядка и сопоставить точку пространства К", координаты которои получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов матрицы, то группа СЙ(п, К) всех невырожденных матриц порядка и превращается в п2-мерное многообразие. Это многообразие некомпактно (элементы матриц никак не ограничены) и несвязно.
Последнее вытекает из того, что СЦп, К) содержит матрицы как с положительным, так и с отрицательным определителем. Точки СЦп, К), отвечающие двум таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда появилась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный нулю). Пример 7. Группа ЯО(2, К) ортогональных преобразований плоскости К, имеющих определитель, равный единице, состоит из масоя а япа триц вида и, таким образом, может считаться мно— япа соя а гообразием, которое отождествляется с окружностью областью изменения углового параметра а.
Таким образом, ЯО(2, К) одномерное компактное связное многообразие. Если допустить и отражения относительно прямых в плоскости К~, то мы получим группу 0(2, К) всех вещественных ортогональных матриц второго порядка. Ее естественно можно отождествить с двумя различными окружностями, отвечающими матрицам с определителем 1 и — 1 соответственно. То есть 0(2, К)— одномерное компактное,но несвязное многообразие.
Пример 8. Пусть а вектор плоскости К~ и Т„группа движений плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Т„являются сдвиги на векторы вида па, где и Е Ж. Под действием элементов д группы Т~ каждая точка х плоскости смещается в точки д(х) вида х+ па. Совокупность точек, в которые данная точка х е К~ переходит под действием элементов данной группы преобразований, называется орбитой этой точки. Свойство точек К~ принадлежать одной орбите, очевидно, является отношением эквивалентности на К~, и орбиты являются классами эквивалентных в этом смысле точек.
Область в ~~, содержащая по одной точке каждой орбиты, называют фундаментальной ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 381 Пример 9. Пусть теперь а и Ь вЂ” пара ортогональных векторов плоскости К и Т ь группа сдвигов, порожденная этими векторами. 2 Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со сторонами а, Ь.
В пределах этого прямоугольника эквивалентными будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника убеждаемся, что возникающее многообразие ~к (Т ь гомеоморфно двумерному тору. Пример 10. Рассмотрим еще группу С„ь движений плоскости ~~, порожденную следующими преобразованиями: а(х, у) = (х + 1, 1 — у), о(х,у) = (х,у+ 1). Фундаментальной областью для группы С ь будет единичный квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам, лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким образом, возникающее многообразие К /С„,ь оказывается гомеоморф- 2 но бутылке Клейна (см.
гл. ХП, ~ 1). Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах, которые были разобраны в 8 1 гл. ХП. 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения Определение Т. Атлас многообразия называется гладким (класса С® или аналитическим), если все функции замены координат для областью данной группы автоморфизмов (уточнение см. в задаче 5с1)). В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять полосу ширины ~а~, ограниченную двумя параллельными прямыми, ортогональными вектору а. Следует только учесть, что сами эти прямые получаются друг из друга сдвигом на а и — а соответственно.
В пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем ~а, нет эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей. Так фактор-множество Р~ (Т~ орбит данной группы Т~ превращается в многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной области легко понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы ширины ~а~. 382 ГЛ. ХУ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ карт данного атласа являются гладкими отображениями (диффеоморфизмами) соответствующего класса гладкости. Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости. Пример 11. Атлас, состоящий из единственной карты, можно считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой К~ один атлас, порожденный тождественным отображением К Э х ~-+ ~-+ ~р(х) = х Е К~, а другой атлас порожденный любой строго монотонной функцией К~ Э х ~-+ ~р(х) Е К~, отображающей К~ на К~. Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет наименьшую из гладкостей функций ~р и ~р В частности, если дх) = х~, то атлас из карт (х,хз) не является гладким, так как ~р 1(х) = х~~~.
используя сказанное, можно построить на К1 бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом наперед заданного класса гладкости С®. Определение 8. Гладким многообразием (класса С®, аналитическим) называется многообразие М с заданным на М классом эквивалентности атласов данной гладкости. После этого определения понятна следующая терминология: топо- логическое многообразие (класса С®), многообразие класса С®, аналитическое многооораэие. Для того, чтобы задать весь класс эквивалентности атласов данной гладкости на многообразии М, достаточно задать любой атлас А из этого класса эквивалентности.
Таким образом, можно считать, что гладкое многообразие есть пара (М, А), где М многообразие, а А— атлас данной гладкости на М. Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на многообразии часто называют структурой данной гладкости на этом многоооразии. На одном и том же топологическом многообразии могут существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости (см. пример 11 и задачу 3). Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим основное внимание на гладкость функций замены координат. Пример 12.
Одномерное многообразие ЯР, называемое веи~ест- 1 венной проективной прямой, есть пучок прямых в К, проходящих через начало координат, с естественным отношением близости прямых 3 2. МНОГООБРАЗИЕ 383 Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию многообразия ВР~. Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек ровно две, причем они являются диаметрально противоположными точками окружности. Близость прямых равносильна близости соответствующих пар точек окружности.
Значит, ВР~ можно интерпретировать как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек концы полу- окружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность. Таким образом, ВР~ как топологическое пространство гомеоморфно окружности. Пример 13.
Если рассмотреть теперь пучок прямых, проходящих через начало координат в К, или, что то же самое, совокупность 3 (измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми). Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым направляющим вектором (х, х ), причем два таких вектора задают одну и ту же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны. Значит, ЯР можно рассматривать как совокупность классов эквивалент- 1 ных упорядоченных пар (х, х ) вещественных чисел. При этом по крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля, и две пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они пропорциональны.
Пары (х~, х ) обычно называют однородными координатами на ЯР~. Используя интерпретацию ЯР~ в однородных координатах, легко построить атлас из двух карт на ЯР~. Пусть Ц, г = 1,2 те прямые (классы пар (х~, х )) из ЯР~, для которых х' Ф О. Каждой точ- 2 зс ке (прямой) р Н СЧ взаимно однозначно соответствует пара (1, *— ), ) определяемая числом 81 — — —,. Аналогично точки района У2 находят- 2 х / 1 ся во взаимно однозначном соответствии с парами вида ~ — *,1 и за2з даются одним числом 12 — — — *.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
