Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Таким образом, в ~/1 и ~l~ возникают 1 х 2' локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной выше в ЯР~ топологии. В общей области У1 П У2 действия построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны соотношениями 12 = (81),8 = (82), показывающими, что построенный атлас принадлежит не только классу С(~), но даже является аналитическим.

ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 384 ~1 р2) — 1 ~З ~З р2) — 1 2 — 3 2 й 2 Якобиан этого преобразования равен — (1 ) и, поскольку 11 — — —, он определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам рассматриваемого множества У1 П У2. Итак, КР~ — двумерное многообразие, обладающее аналитическим атласом из трех карт. По тем же соображениям, что и в примере 12, где была рассмотрена проективная прямая 2Р~, проективную плоскость КР можно интерпретировать как двумерную сферу Я С К с отождествленными диаметрально противоположными точками или как полусферу с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем возможность интерпретировать КР2 как круг (двумерный диск) с отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной окружности.

Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости К~ можно разбить на два множества: У невертикальные прямые, 1' — негоризонтальные прямые. Каждая прямая из У имеет уравнение вида у = = и1х+ и2 и тем самым характеризуется координатами ~и1,и2), в то время как любая прямая из 1' имеет уравнение х = и1у + и2 и задается координатами (и1,и2). Для прямых из пересечения У П 1' действуют — 1 — 1 — 1 функции преобразования координат и1 — — и1, и2 = — и2и и и1 — — и1 и2 = — и2и11. Таким образом, рассматриваемое множество наделяется аналитическим атласом из двух карт.

классов пропорциональных упорядоченных троек (х, х2, х ) вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно, то мы получим вещественную проективную плоскость ЯР . В районах У1, У2, Уз, где соответственно х1 ф О, х ф О, х ф О, вводятся локальные системы я' 1 координат (1, — *, *— = (1, ~,', ~',) - (~,', ~',), — *, 1, — * = (~,', 1, Ц) х х l ~ —,—,1) = (1в,1в,1) (1в,1в), которые, очевидно, связаны ~Х Х между собой соотношениями ~~~ = (1') 1,1~ = ф~~~) 1, относящимися к общим частям районов действия локальных карт.

Например, переход от координат ф,1~1) к координатам (12~,12~) в области Г~ П У2 выражается формулами ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 385 Любая прямая на плоскости имеет уравнение ах+ бу+ с = 0 и характеризуется тройкой чисел (а, 6, с), причем пропорциональные тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь мы вновь имеем дело с проективной плоскостью 2Р, рассмотренной в примере 13. Однако если в КР~ допускались любые тройки чисел, не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки вида (0,0, с), где с ф О. Всем таким тройкам в 2Р~ отвечает одна и та же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие гомеоморфно тому, что получается удалением из 2Р~ одной точки.

Если интерпретировать КР как круг с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр круга, мы с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя окружность которого склеивается по диаметрально противоположным точкам. Простым разрезанием легко показать, что при этом получается не что иное, как знакомый лист Мебиуса. Определение 9. Пусть М и Х гладкие многообразия класса С®. Отображение ~: М вЂ” + Х называется 1-аладким (класса С®), если локальные координаты точки ~(х) Е Х являются функциями класса С® от локальных координат точки х Е М.

Приведенное определение имеет смысл и корректно (не зависит от выбора локальной карты), если 1 ( й. В частности, гладкие отображения М в К~ это гладкие функции на М, а гладкие отображения К (или промежутка К~) в М это глад- 1 кие пути на М. Итак, степень гладкости функции ~: М -+ Х на многообразии М не может превышать степени гладкости самого многообразия. 3. Ориентация многообразия и его края Определение 10. Две карты гладкого многообразия называются согласованными, если переход от локальных координат одной карты к локальным координатам другой карты в их общей области действия осуществляется диффеоморфизмом, имеющим всюду положительный якобиан. В частности, если районы действия локальных карт имеют пустое пересечение, то такие карты признаются согласованными. Определение 11.

Атлас А гладкого многообразия (М, А) назы- 386 ГЛ ХЧ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ вается ориентирующим атласом многообразия М, если он состоит из попарно согласованных карт. Определение 12. Многообразие называется ориентируемым, если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае многообразие называется неориентируемым. Два ориентирующих атласа многообразия будем считать зквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации многообразия), если их объединение также является ориентирующим атласом этого многообразия.

Легко видеть, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности. Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих атласов многообразия по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией многообразия. Определение 14. Ориентированным многообразием называется многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с фиксированной на многообразии ориентацией. Значит, ориентировать многообразие это указать на нем (тем или иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий атлас данного класса ориентации.

Различные используемые на практике способы задания ориентации на лежащих в К" многообразиях описаны в Я 2, 3 гл. ХП. утверждение 3. Связное многообразие либо неориентируемо, либо допускает две ориентации. ~ Пусть А и А два ориентирующих атласа данного многообразия М с диффеоморфными переходами от локальных координат карт одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка рв Е М и такие две карты этих атласов, районы К„, У„действия которых содержат рв, а якобиан преобразования координат этих карт в соответствующих точке рв точках областей параметров положителен. Покажем, что тогда для любой точки р Е М и любых карт атласов А, А, районы действия которых содержат точку р,якобиан преобразования координат в соответствующих координатных точках тоже будет положителен. 387 ~ 2 МНОГООБРАЗИЕ Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке р е е М якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то пары включающих р карт из атласов А и А, то он в р положителен (отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах одного атласа преобразования координат происходят с положительным якобианом, а якобиан композиции отображений равен произведению их якобианов.

Пусть теперь Е подмножество М, состоящее из тех точек р Е М, в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам другого происходят с положительным якобианом. Множество Е непусто, так как р0 Е Е. Множество Е открыто в М. Действительно, для любой точки р Е Е найдутся содержащие р районы У„У некоторых карт атласов А и А. Множества У„У, открыты в М, поэтому открыто в М и множество У,ПУ,. На содержащей р связной компоненте множества У, П У„являющейся открытым в У, Г~ У, и в М множеством, якобиан преобразования не может менять знак, не обращаясь в нуль. То есть в некоторой окрестности точки р якобиан остается положительным, что и доказывает открытость множества Е.

Но множество Е еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан диффеоморфизма не обращается в нуль. Итак, Е непустое открыто-замкнутое подмножество связного множества М. Значит, Е = М и атласы А, А задают на М одну и ту же ориентацию. Заменив во всех картах атласа А одну из координат, например ~' на — ~1, получим ориентирующий атлас — А, принадлежащий другому классу ориентации. Поскольку якобиан преобразования координат из произвольной карты в карты атласов А и — А имеет противоположный знак, то на М любой ориентирующий М атлас эквивалентен либо А, либо — А.

~ Определение 15. Конечную последовательность карт данного атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой пары карт с соседними номерами имеют непустое пересечение (У, П У,+1 ф И). Определение 16. Цепочка карт называется противоречивой или дсзориентируюи~ей, если якобиан преобразования координат от любой карты цепочки к следующей ее карте положителен, районы действия первой и последней карт цепочки пересекаются, но преобразование ко- 388 ГЛ ХЧ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ординат от последней карты к первой имеет отрицательные значения якобиана. утверждение 4. Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.

~ Поскольку любое многообразие распадается на связные компоненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать утверждение 4 для связного многообразия М. Не обходи мое ть. Пусть связное многообразие М ориентируемо и А — задающий ориентацию М атлас. По доказанному в утверждении 3 любая гладко связанная с картами атласа А локальная карта многообразия М либо согласована со всеми картами атласа А, либо согласована со всеми картами атласа — А.

Это легко усмотреть из самого утверждения 3, если ограничить карты атласа А на район действия взятой карты, который можно рассматривать как связное ориентированное одной картой многообразие. Отсюда следует, что противоречивой цепочки карт на многообразии М не существует. Достаточность. Из определения 1 следует, что на многообразии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту (У1, у1) и любую карту (К, у,) такую, что У1 П К ф Я. Тогда якобиан преобразований координат у1„у,1 либо всюду отрицателен, либо всюду в области определения преобразований положителен. Он не может иметь значения разных знаков, поскольку иначе в множестве У1 О У, можно было бы указать связные подмножества отрицательности и положительности якобиана У, У+ и цепочка карт (У1, у1), (У+, у1), (К„у,), (У, у,) оказалась бы противоречивой.

Характеристики

Список файлов книги