Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 72
Текст из файла (страница 72)
(5) т. е. (6) где ~'(хо) касательное к ~ отображение (дифференциал ~) в точке хо. Функционал Р~. С~Ц(~", К) -+ К, сопоставляемый формулами (5), (6) вектору ~ Е ТК".„очевидно, линеен по ~. Из формулы (6) видно также, что величина Р~~(хо) при фиксированной функции ~ линейно зависит от ~, т.е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих линейных функционалов, а умножение вектора ~ на число отвечает умножение функционала Р~ на зто же число. Таким образом, между линейным пространством ТК", и линейным пространством соответствующих линейных функционалов Р~ имеется изоморфизм. Остается определить линейный функционал Р~, указав набор его характеристических свойств, чтобы получить новую, но, конечно, иэоморфную прежней, интерпретацию касательного пространства ТК",.
Из формул (3), (4) видно, что введенная в ТМр линейная структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т.е. в этом смысле определение 2 корректно. Итак, мы определили касательное пространство к многообразию. Интерпретации касательного вектора и касательного пространства могут быть различными (см.
задачу 1). Например, одной иэ таких интерпретаций является отождествление касательного вектора с линейным функционалом. Это отождествление основано на следующем наблюдении, которое мы сделаем в ~". Каждый вектор ~ Е ТК", есть вектор скорости, отвечающий некоторому гладкому пути х = х(1), т.е. ( = х(1)~~ ~„причем хо = х(10). Это позволяет определить производную Р~~(хо) в точке хо по вектору ~ Е Т2", от гладкой функции ~, заданной в К" (или в окрестности точки то).
А именно: 400 ГЛ. ХЪ'. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал Р~ обладает следующим свойством: (7) Р О д)(хо) = Р~У(~0) д(~0) + У(~0) Р д(~0). Это закон дифференцирования произведения. В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а ~-+ а' кольца А, удовлетворяющее соотношению (а о)' = а' о+ а о', называют дифференцированием (точнее, дифференцированием кольца А). Таким образом, функционал Р~. С(ц(К",К) -+ К является дифференцированием кольца С(~~(К",К).
Но Р~ еще и линеен относительно линейной структуры пространства С~ц (К", К). Можно проверить, что линейный функционал 1: С(~~(~",К) -+ К, обладающий свойствами (8) (9) Ца~ +,Вд) = аЦ~) + ф(д), а„В е к, ~(У . д) = ~(У) д(*0) + У(*0И(д) имеет вид Р~, где ~ Е ТК",. Таким образом, касательное пространство ТК", к ~" в точке х0 можно трактовать как линейное пространство функционалов (дифференцирований) на С~~~(К", К), удовлетворяющих условиям (8), (9). Базисным векторам е1,..., е„пространства ТК„'отвечают функционалы Р,„~(хо) = — ~Дх) вычисления соответствующей частной дх х=хо производной от функции ~ в точке хо. Таким образом, при функциональной интерпретации пространства ТУ.'", можно сказать, что функционалы ~ — 1-,..., —.~~ ~ образуют базис ТЗ и Если ~ = (~1,..., ~") б Т2",, то соответствующий вектору ~ оператор Р~ имеет вид Р~ — — ~ — ~.
а д д~ Совершенно аналогично касательный вектор ~ к и-мерному многообразию М класса С~с~~ в точке ро Е М можно интерпретировать (или определить) как элемент пространства дифференцирований 1 на С(~~(М,К), обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотношении (9) хо, естественно, заменяется на р0 и тем самым функционал 1 связывается именно с точкой ро Е М.
Такое определение касательного вектора ~ и касательного пространства ТМр, формально не требует привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвариантно. В координатах (~,,..., ~,") ~ока~~~ой карты (У„ф,) оператор 1 ~3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 401 имеет вид ~~~ — + ...
+ ~," — = Р~ . Набор чисел (~~~,...,~,") естес'дх, ''' ' дх, твенно называется координатами касательного вектора 1 Е ТМР, в координатах карты (У„~рг). Координатные представления одного и того же фУнкционала 1 г= ТМР, в каРтах (У„~Рг), (У1, <Р,) в силУ законов дифференцирования связаны соотношениями п п и п ~-' ' дт" ~-' ' дт~ ~ ~-' дт ' дт"' 1=1 г т=1 1 1=1 т=1 1 г (4') которые, естественно, повторяют соотношения (4). Определение 3. Пространство Т*МР, сопряженное пространству ТМР, касательному к многообразию М в точке р Е М, называется кокасательным пространством к многообразию М в точке р. Если многообразие М класса С~~), ~ Е С~~)(М,К), а 1~ отвечающее вектору ~ Е ТМР дифференцирование, то при фиксированной функции ~ г= С~~)(М, К) отображение ~ ~-+ 1~~, очевидно, будет элементом пРостРанства Т*МР.
В слУчае М = Кгг полУчаетсЯ ~ ~-+ Р~~(Р) = = ~'(р)~, поэтому построенное отображение ~ ~-+ 1~~, естественно, называется дифференциалом функции ~ в точке р и обозначается обычным символом 4'(р). Если Т1Г', (или ТН", при р Е дМ) — пространство, отве'Ра (Р) 'Ра (Р) чающее в карте (У„, ~р ) многообразия М касательному пространству ТМР, то пространство Т*К',, сопряженное к Туг,, естес- Р (Р)' 'Ра (Р) твенно считать изображением (представителем) пространства Т*МР в этой локальной карте. В координатах (х,г,...,х") локальной карты дх1 дх,"„ / (У,~р ) базису пространства Т)~", (или ТН", 'Ра (Р) 'Ра (Р) если р г= дМ) отвечает взаимный с ним базис ~дх,..., дх") в сопряженном пространстве.
(Напомним, что еЬг(~) = ~', поэтому еЬг ~ — ~ = ог. г1 д г г дхд Выражения этих взаимных базисов в другой карте (Ув, ~р,г) могут оказаться не столь простыми, ибо — =, дх = "еЬ .) д дх,'г д г дх,', дх' дхд~ дха дхд~ 2.
Дифференциальная форма на многообразии. Рассмотрим теперь пространство Т*МР, сопряженное к касательному пространству ТМР, то есть Т*МР есть пространство линейных вещественнозначных функционалов на ТМР. ГЛ. ХЪ'. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 402 Практически это означает, всего-навсего, что в каждом пространстве Туг, (или ТН", ), отвечающем пространству ТМр в карте Р '(Р'1 'Р '(Р1 ' (У~, ~р ) многообразия М, задана соответствующая т-форма ы (х ), где х„= ~р 1(р). то, что две такие формы ы,„(х„), ы9(х9) являются представителями одной и той же формы ы(р), выражается соотноше- нием ~г~а(ха)((~1)а,..., (~т)а) = ~~~9(х~3)((~1) 9,...
р (~т)9), (10) в котором х„, х9 представители точки р г= М, а ф)„,..., ®„)„, ф)9,..., ®„)9 ПрЕдСтаВИтЕЛИ ВЕКтОрОВ ~1,...,~пг г= ТМр В КартаХ (У~,~р ), Щ~,~р~з) соответственно. В более формальной записи это означает, что х„= ~р~з,„(х~з), х9 = ~р,„,9(х„), (3') 1- = 4~. (хй~~ ~в = 4.~(х-М-, (4') где, как обычно, ~р9 и ~р 9 являются соответственно функциями ~р 1 о о ~р9, ~р ' о ~р~ преобразования координат, а касательные к ним отображения <р' =: (~р1~,г)„~р' =: (~р,„,9), осуществляют изоморфизм касательных к 2Р (Н") пространств в соответствующих точках х, х9. Как было сказано в ~ 1, п. 3, сопряженные отображения (~р~~ )* =: ~р*~ (~р' )* =: ~р* осуществляют при этом перенос форм, и соотношение (10) в точности означает, что (10') где а и ~3 — равноправные индексы (которые можно поменять местами) дхг Матрица (с~) отображения ~р' (х„) известна: (с~) = ~ (х„).
Тах,'„ ким образом, если аг1.., г дх" Л... Л сЬ'™ юд(хд) = 1 <г1 «... г,„<п Определение 4. Говорят, что на гладком и-мерном многообразии М задана дифференциальная форма ы~ степени т, если на каждом касательном к М пространстве ТМр, р г= М, определена кососимметрическая форма ы~(р): (ТМр) -+ К. 33. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 403 и Ь „~ Йх~~' Л...
ЛсЪ~~™, ю9(х9) = (12) 1~(,11 <" <,1т ~(п то в соответствии с формулой (30) из 3 1 получаем, что аг1 л сЬ" Л...ЛсЬ"" = 1<г1«...гт <гг д и-1' у1 (х ) сЬ" Л... Л сЬ'™, (13) г1 гт д х,...,х 1<$1< 1(11< <гт <и (гт<п Определение 5. Дифференциальная т-форма ы на и-мерном многообразии М принадлежит классу аладкости С~~), если коэффициенты аг1 г (х ) ее координатного представления О, г (т, ) д,уг„'1 Л... Л д,уг'™ 1(г1 « .. гт (гг в любой карте (У„,~р ) атласа, задающего на М гладкую структуру, являются функциями соответствующего класса С®.
Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само многообразие М имеет гладкость класса С(~+Ц; например, когда М есть многообразие класса С(~). 14 — 4574 где о, как всегда, означает определитель матрицы из соответствуд( ющих частных производных. Итак, различные координатные выражения одной и той же формы ы получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием соответствующих дифференциалов координат и последующими алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего умножения). Если условиться форму ы считать переносом заданной на многообразии формы ы в область параметров карты ~У„, ~р„), то естественно писать, что ы = ~р*ы и считать, что ы,„= <р,*„о (~р )*яр = 1р* ы~з, где композиция ~р* о (~р )* в данном случае играет роль формальной детализации отображения 1р*9 — — (~р„~ о ~р )*.
404 ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 3. Внешний дифференциал Определение 6. Внешним дифференциалом называется линейный оператор И: Й~™, -+ Й™+1, обладающий следующими свойствами: 1' И: Й0 — ~ Й„', на любой функции ~ Е Й0 совпадает с обычным дифференциалом ф этой функции. 2' И: (до'"д Лдо'"г) = Йо ' Лдо'"г+ ( — 1)'"дно ' Лйо ' где до'"д Е Й™~, ', <„~™г ~ Йпдг й ЗО Д2. Доц О Последнее равенство означает, что для любой формы до форма И(йо) нулевая.
Наличие требования 3' подразумевает, таким образом, что речь идет о формах гладкости не ниже чем класса СИ. Практически это означает, что рассматривается С~~~-многообразие М и оператор о',, действующий из Й™ в Й~+ . Формула для вычисления оператора И в локальных координатах конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора о) вытекает из соотношения сд~...з~ ® д~т 1(дд«...д,п(дд ~сд~...г~(т) ~~ Л ° ° ° Л ~~ + (14) 1(зд «... зт (дд с;,; И(Их" Л...Лдх' ) =О 1(дд «... д~д~ (и Существование оператора о', вытекает теперь из того, что опреде- Для заданных на многообразии дифференциальных форм естественным образом (поточечно) определены операции сложения, умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функцию ~: М вЂ” ~ 2, которая по определению считается формой степени нуль).
Первые две из этих операций превращают множество Й~™, т-форм класса С® на М в линейное пространство. В случае й = оо это линейное пространство обычно обозначают символом Й™. Ясно, что внешнее произведение форм додд е Й~~', долг е Й~~' дает форму пдд+пдг пдд Л пдг ~ Йпдд+пдг ~3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 405 (15) оператора с«и операции «р* переноса форм. 4. Интеграл от формы по многообразию Определение 7.
Пусть М и-мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором координаты х1,...,х" и ориентация задаются одной картой «р~: Р— ~ М с областью параметров Р «К". Пусть со и-форма на М и а(х) с«х Л... Л с«х" ее координатное представление в области Р~. Тогда а(х) дх Л... Л Их", (16) М Р~ где слева стоит определяемый интеграл от формы со по ориентированномд многообразию М, а справа интеграл от функции а(х) по обла- стиР . Если «р«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
