Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 67
Текст из файла (страница 67)
х',", (27) (28) (29) ~1. АЛГЕБРА ФОРМ 373 11 1/с Где Иг1...гй 1331" 31,~ ' ' ' 1г 1 поскольку Игг...г~ ° (~*Х"У)(Ег1г ..1Ег~):= РУ(1Ег1, ° °,1Ег1,) = й 31- 31,- й — — 31 Л у(ег1 31г ' ' ' г ~г1, 3й) у( 31г ' ' ' г ~3К)ег1 ' ~г1, ' (г е3)(х) = (г*е3) (х'ег) = е3 (х'гег) = х'е3 (с, ег-) = = х'с, е3 (е~) = х'с, д~~ = с,'х' = с,'е'(х). Пример Т.
Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотношения (22), (29), теперь получаем Г(е3' Л... Л е3") = Ге3' Л... Л е3" = = (с3'е") Л... Л (с3" е'") = с3' ... е3" егг Л... Л е'" = г1 г1, г1 ' ' г1, 31 г1 3/с г1 егг Л ... Л е'" . 1(г1«...гг,(т Принимая во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод, что вообще 6 , „е3' Л... Л е3" 31" 3/с 1<31«".В <и 3/с г1 31 г1 ег1 Л Л егг~ 3/с г 31 г1, 1(г1« г1,(т 1<11( (г „< и а„г„егг Л...
Л е'". 1(г1«.. г1(т Пример 6. Пусть е1,...,ет и е,...,е базисы сопряженных пространств Х*, У*, взаимные (или сопряженные) с указанными в примере 5 базисами пространств Х и У соответственно. В условиях примера 5 получаем ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 374 Задачи и упражнения < ~ а~еу ~ б,уе,у = ~ а~6,уе(1,,7)е~ц,у, 1 1 1„У '~Г. Грассман (1809 — 1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, в частности, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном линейном и евклидовом векторном пространствах, а также само определение скалярного произведения векторов. 1. Покажите на примерах, что, вообще говоря, а) Е" З Р ф Е'ЗЕ"; Ь) А(Г" ЗГ') ~АГ" ЗАГ'; с) если г ", г' Е Й, то не всегда Е" З г ' Е Й.
2. а) Покажите, что если е1,..., е„— базис линейного пространства Х, а линейные функции е,..., е" на Х (т. е. элементы сопряженного к Х прост- ранства Х*) таковы, что е~(е,) = б~, то е',..., е" — базис в Х*. Ь) Проверьте, что из й-форм вида е" З... З е'~ можно образовать базис пространства У = У (Х) и найдите размерность (дипел~) этого пространс- тва, зная,что йппХ = п. с) Проверьте, что из форм вида е" Л ... Л е'~ можно образовать базис пространства Й~ = Й~(Х) и найдите аппп Й~, зная, что аппп Х = п. И=п й) Покажите, что если Й = ® Й", то аппп Й = 2". а=о 3. Внешняя (грассманова~~) алгебра С над линейным пространством Х и полем Р (обозначаемая обычно символом /~(Х) в соответствии с символом Л операции умножения в С) определяется как ассоциативная алгебра с едини- цей 1, обладающая следующими свойствами: 1' С порождается единицей 1 и Х, т.
е. любая подалгебра в С, содержащая 1 и Х, совпадает с С; 2' х Л х = О для любого вектора х Е Х; 3' йт С = 2~' а) Покажите, что если е1,..., е„— базис в Х, то совокупность 1, е1,..., е„, е1 Л е2,..., е„1 Л е„,..., е1 Л... Л е„элементов С вида е„Л... Л е,„=: е~, где 1 = (г1 ( ... ( г~) С (1,2,..., п), образует базис в С. Ь) Исходя из полученного в а) результата, можно провести следующее формальное построение алгебры С = /~(Х). Для указанных в а) подмножеств 1 = (г1,..., г~) множества (1,2,..., п) образуем формальные элементы е~, (отождествляя е1,) с е„а ен с 1), кото- рые примем за базис линейного пространства С над полем Р.
Умножение в С определим формулой ~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 375 ~ 2. Многообразие 1. Определение многообразия Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой топологии1) называется и-мерным многообразием, если любая его точка имеет окрестность У, гомеоморфную либо всему пространству К", либо полупространству Н" = (х е К' ~ х ( О). Определение 2.
Отображение ~р: ~" — + У С М (или ~р: Н" — ~ У с М), осуществляющее указанный в определении 1 гомеоморфизм, называется локальной картой многообразия М, К" (Н") — областью параметров, а У районом или областью действия карты на многообразии М.
Локальная карта наделяет каждую точку х Е У координатами соответствующей ей точки 8 = ~р 1(х) Е ~". Таким образом, в районе У ц См. гл. 1Х, 3 2, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа. где в(1,,7) = я~п П (у — г). Проверьте, что при этом получается грассманова ге 1,з е,у алгебра /~(Х). с) Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры ИХ).
й) Покажите, что алгебра /~(Х) градуирована: Д(Х) = ® /~ (Х), где а=о й /~ (Х) — линеиная оболочка элементов вида е„Л... Л е,„; при этом, если а Е Е /~" (Х), а Ь Е /~ (Х), то а Л Ь Е Д" (Х). Проверьте, что а Л Ь = ( — 1)"~Ь Л а. 4. Пусть А: Х ~ У вЂ” линейное отображение пространства Х в пространство У. Покажите, что существует единственный гомоморфизм /~(А): /~(Х) — + /~(У) из /~(Х) в /~(У), совпадающий с А на подпространстве /~ (Х) С С /~(Х), отождествляемом с Х. Ь) Покажите, что гомоморфизм /~(А) переводит /~ (Х) в /~ (У). Ограничение /~(А) на /~ (Х) обозначают через /~ (А). с) Пусть (е,; г = 1,...,т) — базис в Х, а (е~; у = 1,...,и) — базис в У, и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а'). Покажите, что если (е~, 1 С (1,..., т)), (е у, 7 С (1,..., и)) — соответствующие базисы пространств /~(Х) и /~(У), то матрица оператора /~ (А) имеет вид а~~ = дел(а'), г Е 1, 7 Е,7, где сагй1 = сагс1,У = Й.
й) Проверьте, что если А: Х -+ У, В: У -+ Я линейные операторы, то справедливо равенство /~(В о А) = /~(В) о /~(А). 37б ГЛ. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ действия карты вводится локальная система координат, и потому отображение ~р или, в более развернутой записи, пара (У, ~р) в самом привычном смысле слова является картой района У. Определение 3. Набор карт, районы действия которых в совокупности покрывают все многообразие, называется атласом многообразия.
Пример 1. Сфера Я~ = (х Е Кз ~ ~х~ = 1) является двумерным многообразием. Если Я2 интерпретировать как поверхность Земли, то атлас географических карт будет атласом многообразия Я . 2 Одномерная сфера Я1 = (х е К2 ~ ~х~ = Ц окружность в К2, очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера Я" = = (х Е К"+1 ~ ~х~ = 1) является и-мерным многообразием. (См. гл. Х11, Замечание 1.
Вводимый определением 1 объект (многообразие М), очевидно, не изменится, если вместо К" и Н'" брать любые гомеоморфные К" и Н" области параметров в пространстве К". Например, это могут быть открытый куб 1" = (х Е К" ~ 0 < х' < 1, г = = 1,...,и) и куб с присоединенной к нему гранью 1" = (х Е К" ~0 < < х1 < 1 и О < х' < 1, г = 2,...,и). Такими стандартными областями параметров довольно часто пользуются. Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х е М имела в М окрестность У, гомеоморфную некоторому открытому подмножеству полупространства Н".
Пример 2. Если Х вЂ” т-мерное многообразие с атласом карт ((У~, ~р )), а У и-мерное многообразие с атласом ((Ур, ф~)), то Х х х У можно рассматривать как (т+ и)-мерное многообразие с атласом ((И~ ~, ~,„~)), где И~ ~ = У,„х У~, а отображение ~,„р — — (~р„, фр) переводит в И~ ~ прямое произведение областей определения ~р и фр. В частности, двумерный тор Т = Я~ х Я~ (рис. 69) или и-мерный тор Т" = Я~ х ... х Я~ являются многообразиями соответствующей раз- и раз мерности.
Если районы Ц, У действия двух карт (К, ~р,), (У„~р ) многообразия М пересекаются, т.е. У, П 1У ф И, то между множествами 1, ~ 2 МНОГООБРАЗИЕ 377 = ~р, (~Т,), 1~, = ~р (У,) естественно устанавливаются взаимно обрат- — 1 — 1 ные гомеоморфизмы ~р,,: 1,~ — + 1 „у,,' 1~, — + 1,„где ~р, = ~р о <р,~ — 1 г 7 ~р,, = ~р о ~р ~ .
Эти гомеоморфизмы часто называют функциями за- — 1 Я~ г З1, мены координат, поскольку они осуществляют переход от одной системы локальных координат к другой такой же системе в общей области У, П У~, их действия (рис. 96). Рис 96 Определение 4. Число и в определении 1, называется размерностью многообразия М и обычно обозначается символом ЖОМ. Определение 5.
Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме ~р: Н" — ~ У точке х Е У соответствует точка ~р ~(х) на границе дН" полупространства Н", то х называют точкой края многообразия М (и окрестности У). Совокупность всех точек края многообразия М называется краем этого многообразия и обычно обозначается символом дМ. В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема Брауэра1)) понятия размерности и точки края многообразия определены корректно, т.е.
не зависят от используемых в определениях 4 и 5 Ц Теорема утверждает, что при гомеоморфном отображении <р Е ~-~ ~р(Е) множес- тва Е С Ж" на множество ф~Е) С Й" внутренние точки множества Е преобразуются во внутренние точки множества ~р(Е) ГЛ. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 378 индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не доказывали, но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции).
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффеоморфизмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэра. Пример 3. Замкнутый шар В = (х Е К" ~ ~х~ ( 1) или, как говорят, замкнутый и-мерный диск является п-мерным многообразием, краем которого является (п — 1)-мерная сфера Я" = (х Е ~" ~ ~х~ = 1). Замечание 2.
Многообразие М, множество точек края которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без края. В определении 1 эти случаи не разделены. утверждение 1. Край дМ п-мерного многообразия с краем М является (и — 1)-мерным многообразием без края. ~ Действительно, дН" = К" 1, а ограничение на дН" карт атласа многообразия М вида ~р,: Н" + Ц порождает атлас дМ. ~ В этом случае мы получаем многообразие с краем.
Край этого мно- Пример 4. Рассмотрим плоский двойной маятник (рис.97), плечо а которого много меньше плеча 6 и может вра- Р щаться свободно, а размах колебаний плеча 6 ограничен упорами. Конфигурация такой системы в любой конкретный момент характеризуется двумя углами а,,9. Если бы ограничений не было, то конфигурационное пространство двойного маятника, очевидно, можно было бы 1 отождествить с двумерным тором Т вЂ” Я1 х Я~~ Рис. 97. При наличии указанных ограничений конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется точками цилиндра Я х 1~, где Я окружность, отвечающая возмож- 1 1 1 ным положениям плеча а, а1 = (~3 Е К ~ ~ф ( Ь) отрезок, в пределах которого может меняться угол 9, характеризующий положение плеча 6.
~ 2. МНОГООБРАЗИЕ 379 гообразия состоит из двух окружностей Я~- х ~ — Ь), Я~- х (Ь~, являющихся произведением окружности Я,„и концов ( — Ь), (Ь) отрезка 1 . Определение 6. Многообразие называется компактным (связным), если оно является компактом (связно) как топологическое пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
