Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Шар односвязная область (и потому имеет место утверждение 2), а вот плоскость с проколом Ф ~ 0 не является односвязной, так как охватывающий начало координат путь нельзя стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы. Именно поэтому не всякое удовлетворяющее условиям (3') поле в ~~ ~ О, как мы видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области К2 ~ О. Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам.
Прежде всего поясним, что мы имеем в виду, когда говорим о деформации или стягивании пути. 34б ГЛ. Х|Ч. ЭЛЕМЕНТЪ| ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Рис. 94. = Г(0, 1) = Г(1,1) = у~~1), означающие, что путь у~ — замкнутый, отображение Г: 1г -+ Р индуцирует на боковых сторонах квадрата 1г одинаковые отображения,80ф):= Г(1~,0) = Г(1~, 1) =: Д(1~).
Отображение Г является формализацией нашего пф~ставления о том, как постепенно путь ~0 деформируется в путь ~1. Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент ~~ = 0 он совпадает с путем у0, а в момент 1 = 1 он преобразуется в путь у1.
г Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и тогда мы из пути ~1 получим путь ~0. Определение 4. Два замкнутых пути называются гомотопными в области, если их можно гомотопировать друг в друга в пределах этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в другой. Замечание 2. Поскольку пути, с которыми нам придется в анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, то без дополнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии.
Для областей, лежащих в К", можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей. утверждение 3. Если 1-форма ыА в области Р такова, что 347 ~З,П . ПОТЕНЦИАЛЬНЪ|Е ПОЛЯ и и 1 еомотопны в Р, то ЙоА = ~ а — О замкнутые пути ув и у1 г ~оА ~оА' ,см. рис.
94). Если 1в, 11— .0 гомотопия ув в у1 см. р .. 1 1 ~ Пусть Г: 1 -+ вые стороны, то, по опреде- 1~ а .1, „11 — его боковые осн нования квадрата , а в, н тых путей, ограничение е Г на 1в и 11 совпадает лению гомотопии замкнутых п т твенно а ограни тве ничение Г на в и .7 и .7 дает некоторые ( п осто ти и ско 2 = Г(1 Р) пути,дв и Д прос 1 ез льтате замены переменных х— ви е некоторои несется в квадрат 1 в д = О.
Значит, по формуле ток — = Г*И~~ = О, так как И~А — — . на и, а ~ = ~Г*ыА — — и†Йо = О. д12 12 Но ~оА + ~оА ~оА ~оА ~оА ~оА ъ,во ~о ъ '7о А односвязной, если любой зае 5. Область называется о но в Определение чке ~т. е. постоянному пути). тый п ть в ней гомотопен точке т. е. по мкнутыи путь в и о л нутый путь можно й области любои замкнуты" И, енно в односвязнои о л итак, име стянуть в точку. 4. Е данное в односвязной о ласти з'тверждение 4. слиза ан словию (3) или 3' потенциальност, (3) или ( ти удовлетворяет яет необходимому условию 3 или в Р.
то оно потенциально 1 к нему нам достаточно роения 1 и замечания к < В силу утвержде авенство (5) имеет м ( ) место ля лю д бого гладкого пути 7 в по и носитель верить, что раве постоянному пути, но словию гомотопен по о бласти Р. Путь у по у о ной точки. Интеграл по т к такому одноточечному кот орого состоит из однои точк . н н лю. Но в силу утвержде ния 3 при гомотопии пути, и очевидно, равен нулю. о в 348 ГЛ. Х1Ч.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ интеграл не меняется, значит, и для пути ~ должно быть выполнено равенство (5). ~ Замечание 3. Утверждение 4 включает в себя утверждение 2. Однако, имея в виду некоторые приложения, мы сочли полезным дать независимое конструктивное доказательство утверждения 2. Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на возможность гладкой гомотопии гладких путей. 5. Векторный потенциал.
Точные и замкнутые формы Если вспомнить связь между векторными полями и формами в евклидовом ориентированном пространстве К~, а также определение ротора векторного поля, то соотношение Л = го$ А можно переписать в виде ю~ — — ЙоА. О~сюда следует, что ~~~,~, ~ —— И1о~~ —— И ~~~А —— О. Таким 2 1 3 2 2 1 образом, мы получаем следующее необходимое условие (7) С11ЧВ = О, которому в области Р должно удовлетворять поле .В, чтобы оно могло иметь векторный потенциал, т.е.
чтобы оно могло быть ротором некоторого векторного поля А в этой области. Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, называют соленоидальным полем. Пример 5. В 8 1 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла. Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7). Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное поле .В ротором некоторого векторного поля А векторного потенциала поля .В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при решении системы уравнений Максвелла. Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили только в Ф) являются частными случаями общего вопроса о том, когда дифференциальная р-форма 1Р является дифференциалом ЙР 1 некоторой формы 1Р Определение 6. Поле А называется векторным потенциалом поля .В в области Р С Ф, если в этой области выполняется соотношение .В = го1 А.
~ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 349 Определение 7. Дифференциальная форма оР называется точной в области Р, если в этой области существует такая форма аР 1, что оР = ЙР Если форма оР точна в Р, то ЙаР = г~йаР 1 = О. Таким образом, условие (8) является необходимым условием точности формы ы Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая этому условию, является точной, поэтому вводится Определение 8.
Дифференциальная форма ы называется замкнутой в области Р, если в этой области она удовлетворяет условию (8). Имеет место Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то она и точна в нем. Пример 6. Рассмотрим плоскость К~ с двумя выколотыми точками р1, р2 (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути ~о, .~1 и у2. Путь ~2 в пределах рассматриваемой области Р можно стянуть в точку, поэтому если в Р задана замкнутая форма ~, то интеграл от нее по у2 равен нулю. Путь уо нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения интеграла от формы ы, этот путь можно прогомотопировать в путь ~1.
Здесь уже речь идет о шаре в ~" и о форме любого порядка, поэтому утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы. Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8) точности формы локально является и достаточным, т. е.
для любой точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность, в которой форма ы точна. В частности, если векторное поле .В удовлетворяет условию (7), то из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является ротором некоторого векторного поля А. Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной теоремы (желающие прочитают его в гл. ХУ), а предпочтем в заключение (опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.
350 ГЛ. Х|Ч. ЭЛЕМЕНТЪ| ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Интеграл по пути ~1, очевидно, сводится к интегралу по одному циклу, обходящему по часовой стрелке точку р1, и удвоенному интегралу по циклу, обходящему точку рг р и отив часовой 70 стрелки. Если через Т| и Тг обозначить интегралы от нашей формы ы по малым окружностям, охватывающим соответственно точки р1 и рг и проходимым, например, против часовой стрелки, то можно понять, что интеграл от формы ы по любому замкнутому пути в области Р будет равен п1 1 пг Т + и Т где п1 и пг некоторые целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении м влении мы обошли каждую из дырок р~, Рис.
95. г рг плоскости К . сл жат как бы базисом, в Окружности с1, сг, зацепляющие р1 и рг, у п ть с Р с точностью до не влияющеи котором любой замкнутыи путь ~ и = п|с1 + пгсг. Величины 1 ю = на интеграл гомотопии, имеет вид ~ = называют циклическими постоянными или и р и е иодами интеграла. Если Й шт к независимых простейших область более сложная и в неи имеется шту = и с +...+п|,с~ получится, циклов, то в в соответствии с разложением у = к , а Т ... Т~ Т ... + Т . Оказывается, для любого набора что ~ ы = п|Т1 +...
+ п~ |~. к 7 ти ю 1-фо му, которая чисел в такой о л ти б асти можно построить замкнуту -ф р пе ио ов (это частный случай теореб дет иметь именно такои набор период удет мы Де Рама; см. гл. ХУ). Для наглядности мы обратились к р ассмот ению плоской области, р но все сказ анное можно повторить и для лю бой области Р С ~". 7. В полнотории (области, ограниченнои в К~ тором) Пример . полнотор - о аз п обегаемой все замкнутые пути, о чевидно гомотопны сколько-то раз пр 1 к . Эта ок ужность и составит здесь окружности, охватывающеи дырку.
т о р, единственный не точечныи базисный цикл с. Б все сказанное можно повторит д у ь и ля п тей высших разолее того, в отображений мерностеи. Если вместо Т'3 одномерных замкнутых путеи ото ж ок жности или, что то же же самое отображений одномернои сферы, РУ сфе ы ввести для них понятие гомотопии брать отображения Й-мернои сферы, ввести д "й и смотреть, к , с олько таких негомотопных между собой отображении ~ 3. ПОТЕНЦИАЛЪНЪ|Е ПОЛЯ 351 мерной сферы в данную область Р С ~" существует, то получится некоторая характеристика области Р, которая в топологии оформляется в так называемую Й-ю гомотопическую группу области Р и обозначается л~(Р).
Если все отображения й-мерной сферы в Р гомотопны постоянному отображению, то считается, что группа л~(Р) тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что л|(Р) тривиальна, а л2(Р) не тривиальна. Пример 8. Если в качестве Р взять пространство 23 с выброшенной из него точкой О, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную из 23 точку О, нельзя в пределах этой области прогомотопировать в точку. Оказывается, за периоды замкнутой й-формы ответственна не совсем гомотопическая группа л~(Р), а так называемая еруппа гомологий Н~(Р) (см. гл. ХУ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
