Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Напряженность Я электрического поля точечного заряда 0, помещенного в начало координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Кулона ~ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 341 В случае К~ по определению ротора Й ~~~ — — о~~~ ~, поэтому необходимое условие (3) потенциальности поля А для ~3 можно переписать в виде гоСА = О, что соответствует уже знакомому нам соотношению го$ рас1 У = О.
Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства Ф поле А = (х,ху,туг) не может иметь потенциал. так как, например, дух) х д* ду Пример 4. Рассмотрим поле А = (А, А, ) вида А= ~2+ у2' ~2+ 2 (4) заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме начала координат. Необходимое условие потенциальности — , *- = дА дА" оу здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, это поле не потенциально в области своего определения.
Таким образом, необходимое условие (3) или, в декартовых координатах, условия (3'), вообще говоря, не являются достаточными для потенциальности поля. Зх Критерий потенциальности векторного поля Утверждение 1. Непрерывное в области Р С ~" векторное поле А потенциально в .Р тогда и только тогда, когда его циркуляция (работа) на любом лежащем в Р замкнутом пути г равна нулю: А д8 =О. (5) ~ Необходимость. Пусть А = дгас1У. Тогда по формуле Ньютона Лейбница Я 2, формула (3')) А д8 = Г(у(6)) — У(у(а)), где у: [а,б] — + Р. Если у(а) = у®, т.е.
когда путь у замкнутый, очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обращаются в нуль. 342 ГЛ Х1Ч ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Достаточность. Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл по любому (не обязательно замкнутому) пути в области Р зависит только от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит. Деиствительно, если у1 и у2 — два пути с общим началом и концом, то, проидя сначала путь у1, а затем путь — у2, (т. е. у2 в обратном направлении), мы получим замкнутый путь ~, интеграл по которому, с однои стороны, в силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по ~1 и ~2.
Значит, эти интегралы действительно равны. Фиксируем в Р некоторую точку хо и положим теперь У(х) = А И8, хо где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области .Р из точки хо в точку х Е Р. Проверим, что определенная так функция У является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать, что в ~" взята декартова система координат (х,..., х ). Тогда А д8 = 1 и = А1 дХ1+... + Агг ИХгг. ЕСЛИ От ТОЧКИ Х ПряМОЛИНЕйНО СМЕСтИтЬСя На вектор Ье„где е, орт соответствующей координатной оси, то при этом функция У получит приращение ~(Х ~ ~гЕ ) щХ~) 4г(Х~ Хг — 1 ~ Хг+1 Хгг) ~ц равное интегралу от формы А . 08 по указанному пути перехода из х в х+ Ьег.
Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме о среднем можно записать в виде У(Х ~ ЬЕ ) ~(Х) Аг(Х1 Хг — 1 Хг ~ Яг Хг+1 Хгг)~г где О < О < 1. Поделив это равенство на 6 и устремив 6 к нулю, получаем дУ д ( )=А'( ), т. е. действительно А = р ас1 У. > Замечание 1. Как видно из доказательства, для потенциальности поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких ~ 3.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 343 путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых параллель- ны координатным осям. Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 3 1 гл. Ч111) мы подсчитали, что циркуляция поля (4) на окружности х2 + у2 = 1, пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна 2т(ф О). Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что поле (4) не потенциально в рассматриваемой области ~~ ~ О. Но ведь, например, у у х К 1 ° ~К-= х х2+у х +у Д х 2 2 2 2 х +у х +у Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что ~р на самом-то деле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей области Ф ~ О.
При обходе точки вокруг начала координат против часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2т, когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, либо надо отказаться от непрерывности ~р в области К2 ~ О, либо надо отказаться от однозначности ~р. В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой точки области К~ ~ О можно выделить непрерывную однозначную ветвь функции ~р. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную постоянную, кратную 2т. Именно поэтому все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4). Тем не менее во всей области Ф ~ О поле (4) потенциала не имеет.
и, казалось бы, функция агс$д ~~ является потенциалом поля (4). Что это противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, состоит в том, что функция агс$д ~~ не определена во всей области К2 ~ О. И это действительно так: возьмите, например, точки оси Оу. Но тогда, скажете вы, можно рассмотреть функцию ~р(х, у) полярный угол точки (х, у). Практически это та же функция агс$д ~~, но ~р(х, у) определена и при х = О, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат.
Всюду в области К2 ~ О 344 ГЛ. Х|Ч. ЭЛЕМЕНТЪ| ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том смысле, что необходимое условие (3) или (3') потенциальности поля А локально является и достаточным. Имеет место утверждение 2. Если необходимое условие потенциальности поля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет потенциал. ~ Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга Р = (х, у Е К~ ~ х + у ( т ) на плоскости К~.
В точку (х, у) круга из начала координат можно прийти по двум различным двузвенным ломаным у1, уг, звенья которых параллельны координатным осям (рис. 93). Поскольку .0 выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными прямоугольник 1 содержится в Р. По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем д1 На основе замечания к утверждению 1 отсюда уже можно сделать вывод о потенциальности поля А в .О.
Кроме того, на основе дока7г (х, у зательства достаточности в утверждении 1 в качестве потенциала вновь можно взять функцию (6), понимая при этом интеграл как интеграл по пути, ведущему из центра в рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. В расРис.
93. смотренном случае независимость такого ин- теграла от выбора пути ~1, ~г непосредственно вытекала из формулы Стокса для прямоугольника. В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного прямоугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути на два звена, составляющие параллельные исходным стороны соответствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути. Поскольку такими перестройками последовательно можно перейти от одного ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем случае потенциал оказывается определенным корректно. ~ ~ 3.
ПОТЕНЦИАЛЪНЪ|Е ПОЛЯ 345 Определение 3. Говорят, что в области Р имеется гомотопия (или деформация) замкнутозо пути у0. '[О, Ц -+ Р в замкнутый путь у1. [О, Ц -+ Р, если указано такое непрерывное отображение Г: 12 — + Р квадрата Р = ((1~,1~) Е ~к 0 ( Р ( 1,з = 1,2) в область Р, что Г(1~,0) = у0(1~), Г(1~,1) = 'у1(1~) и Г(0, 1~) = Г(1,1~) при любых 1~,1~ Е е [О,Ц. Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: Р -+ Р (рис.
94). Если переменную 1~ считать временем ~, то согласно определению 3 в каждый момент времени 1 = 1 мы имеем свой замкнутый путь Г(~~, ~) = у~ ~рис. 94) Ц. Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент 1 = 1 = 0 он совпадают с путем у0, а в мо- 2 мент ~ = ~~ = 1 он преобразуется в путь у1. Поскольку в любой момент 1 Е [О, Ц выполняются условия у~(0) = 1) На рис. 94 вдоль некоторых кривых стоят ориентирующие их стрелки, которые будут использованы несколько позже и на которые читатель пока не должен обращать внимания. 4.
Топологическая структура области и потенциал. Сопоставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выполнении необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том, всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь и в п. 5) дают первоначальное представление о том, какие именно характеристики области отвечают за это. Оказывается, если область Р такова, что любой замкнутый путь, лежащий в Р, можно, не выходя за пределы области Р, стянуть в некоторую точку этой области, то в Р необходимое условие (3) потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие области односвязными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
