Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 58
Текст из файла (страница 58)
6. В цилиндрических координатах (т, ~р, ~) функция ~ имеет вид 1п — „. За- 1 пишите поле А = дгас1 ~ в а) декартовых координатах; Ь) цилиндрических координатах; с) сферических координатах. с1) Найдите гоФ А и с1и А. 7. Напишите формулы преобразования координат в фиксированном касательном пространстве ТК~~, р е К3, при переходе от декартовой системы координат в К3 к а) цилиндрическим координатам; Ь) сферическим координатам; с) произвольной триортогональной системе криволинейных координат. с1) Применяя полученные в с) формулы и формулы (34) — (37), проверьте непосредственно инвариантность векторных полей дгас1 А, го1 А и величин йч А, Ь~ относительно выбора системы координат, в которой происходило их вычисление.
8. Пространство К3, как твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью о~. Пусть и †по линейных скоростей точек в фиксированный момент времени. а) Запишите поле о в соответствующих цилиндрических координатах. Ь) Найдите гоФ о. с) Укажите, как направлено поле гос о по отношению к оси вращения. с1) Проверьте, что ~ гоФ о~ = 2о~ в любой точке пространства.
е) Истолкуйте геометрический смысл гоФ о и геометрический смысл обнаруженного в с1) постоянства этого вектора во всех точках пространства. ~ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 325 ~ 2. Интегральные формулы теории поля 1. Классические интегральные формулы в векторных обо- значениях = (е',е) сь, ы~~ = (~,п) сЬ, где е ориентирующий ~ единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости движения вдоль ~, д8 элемент (форма) длины на 'у, и — ориентирующий поверхность Я вектор единичной нормали к поверхности, а сЬ вЂ” элемент (форма) площади на поверхности э', В векторном анализе часто используют векторный элемент длины кривой ов:= ео8 и векторный элемент площади поверхности Йт:= = и сЬ.
Используя эти обозначения, можем теперь писать: = (А,е) сЬ = (А,сЬ) = А сЪ, ы~~~ = (.В,п) сЬ = (.В,йт) =.В Йт. () (2) Ь. <Формула Ньютона — Лейбница. Пусть ~ Е С®(.О,К) а у ~а, Ь] -+ .Π— путь в области .О. В применении к О-форме ы~~ формула Стокса 0.>у = Аду, д~ с одной стороны, означает равенство /'~=/' ~, ду у что совпадает с классической формулой ~(у(ь)) — ~(у(а)) = ф(у(1)) а а. Векторная запись форм ыА~, ы~~.
В предыдущей главе мы уже отметили (см. ~ 2, формулы (23), (24)), что ограничение формы ~~~1 работы поля Е' на ориентированную гладкую кривую (путь) у или ограничение формы ы~~ потока поля ~ на ориентированную поверхность э' можно записать соответственно в следующем виде: 326 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Ньютона — Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента она означает, что (3) Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона— Лейбница можно переписать в виде (3') В такой записи она означает, что приращение функции на пути равно работе на этом пути поля ерадиента этой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме очевидного вывода о том, что работа поля ~гад 1' вдоль пути ~ зависит только от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности ~ = с уровня функции ~ происходит без совершения работы полем ~гад ~, поскольку в этом случае дгас1 ~ ав = О. Далее, как показывает левая часть формулы, работа поля огай~ зависит даже не столько от начала и конца пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции 1 лежат эти точки. с. <Формула Стокса.
Напомним, что работа поля на замкнутом пути называется циркуляцией поля на этом пути. Чтобы отметить, что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного обозначения / Е' дв часто пишут ф Е' дв. Если ~ кривая на плоскости, 7 7 то иногда употребляют еще и символы,, в которых указано на- правление движения по кривой у. Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например, таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной поверхности с краем. ~ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 327 Пусть А гладкое векторное поле в области .О ориентированного евклидова пространства ~~, а Я (кусочно) гладкая ориентированная компактная поверхность с краем в области .О.
В применении к 1-форме ы4, с учетом определения ротора векторного поля, формула 1 Стокса означает равенство ~оА ~ого А (4) Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде классической формулы Стокса (4') В такой записи она означает, что циркуляция векторного поля на границе поверхности равна потоку ротора этого поля через саму поверхность. Как всегда, при этом на дЯ выбирается ориентация, согласованная с ориентацией Я. ~Й = ~й~н.
(5) Используя соотношение (2) и запись рЛ' формы ы~~ через форму объема Л~ в Кз, равенство (5) можно переписать в виде классической формулы Гаусса — Остроградского (5') В такой записи она означает, что поток векторного поля через границу области равен интегралу от дивергенции этого поля по самой области. д.
<Формула Гаусса — Остроградского. Пусть К компактная область ориентированного евклидова пространства Кз, ограниченная (кусочно) гладкой поверхностью дЪ' — краем Ъ'. Если . — гладкое поле в Ъ', то в соответствии с определением дивергенции поля формула Стокса дает равенство 328 ГЛ. Х1Ъ". ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ е. Сводка классических интегральных формул. В итоге мы пришли к следующей векторной записи трех классических интегральных формул анализа: (формула Ньютона Лейбница), (4") х А) йт (формула Стокса), дЪ' Ъ' 2.
Физическая интерпретация Жч, го1, агам а. Дивергенция. Формулу (5') можно использовать для выяснения физического смысла величины Йч В(х) дивергенции векторного поля .В в некоторой точке х области Ъ' задания поля. Пусть Ъ'(х) содержащаяся в Ъ' окрестность (например, шаровая) точки х. Объем этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом ~'(х), а ее диаметр буквой д. Из формулы (5') по теореме о среднем для тройного интеграла по- лучаем .В Йт = йч В(х') К(х), дЪ'(х) где х' некоторая точка окрестности Ъ'(х). Если д — ~ О, то х — ~ х, а коль скоро .В гладкое поле, то и йч В(х') — ~ йч В(х). Значит, 0 в й дЪ'(х) ЙчВ(х) = 1пп ~ (х) Будем считать .В полем скоростей течения (жидкости или газа).
Тогда поток поля через границу области К(х) или, что то же самое, объемный расход среды через границу этой области, в силу закона сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарнои интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним У = (С7У) 8 д7 7 А.сЬ = (~ дЯ Я .В йт = (~7 ..В) (Л' (формула Гаусса Остроградского) . (5") 3 2.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 329 словом «источники» в области Ъ'(х). Значит, дробь в правой части соотношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность источников в области Ъ'(х), а предел этой величины, т. е. йч В(х) есть удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины в области Ъ'(х) к объему этой области, когда д -+ О, принято называть плотностью этой величины в точке х, а плотность как функцию точки обычно называют плотностью распределения данной величины в той или иной части пространства. Таким образом, дивергенцию йч Б векторного поля .В можно интерпретировать как плотность распределения источников в области течения, т. е.
в области задания поля .В. Пример 1. Если, в частности, йч.В = О, т. е. никаких источников нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым: сколько втекает в область столько из нее и вытекает. И, как показывает формула (5"), это действительно так. Пример 2. Точечный электрический заряд величины о создает в пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в начало координат. По закону Кулона~) напряженность .Е = .Е(х) поля в точке х Е Ф (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в точке х) представляется в виде о т 4тео ~т ~з где ео размерная постоянная, а г — радиус-вектор точки х. Поле .Е определено всюду вне начала координат.
В сферических координатах .Е = ~-~ — — ~~ед, поэтому из формулы (36'") предыдущего 7гео л параграфа сразу видно, что ЙчЕ' = О всюду в области определения поля .Е. Значит, если взять любую область ~', не содержащую начала координат, то в силу формулы (5') поток поля .Е через границу дК области Г окажется нулевым. Возьмем теперь сферу Ьд — — (х Е К~ ~ ~х~ = В~ радиуса В с центром в начале координат и найдем поток поля .Е через эту поверхность ~Ш. О. Кулон (1736 — 1806) — французский физик. С помощью изобретенных им же крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) взаимодействия покоящихся зарядов и магнитных полюсов. 330 ГЛ.
Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару) н нормали. Поскольку вектор ед как раз и является единичнои внешнеи нормалью к сфере, то Г .Е йт = Д Д 2 2сЬ= 2 4тВ 4тяо В2 4тяоВ~ яо Таким образом (с точностью до размерной константы яо, зависящей от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда, содержащегося в ограниченном сферой объеме. Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть формулы (5') корректно определена на сфере д~' = Яд, а подынтегральная функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре К, кроме всего лишь одной точки начала координат.
И тем не менее проведен/ ные вычисления показывают, что интеграл в правои части формулы (5 ) нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля. С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбора этой ситуации, сказав, что поле .Е не определено в точке О Е Ъ', и потому мы не имеем права говорить о равенстве (5'), доказанном для гладких, определенных во всей области ~' интегрирования полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
