Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Утверждение 2. Пусть Кз простпранстпво с фиксированной в нем систпемой координатп х, у, х; Р компактпная областпь в К, ограз ниченная кусочно гладкими поверхностями; Р, Я, Л, функции, гладкие в замкнутпой областпи Р. Тогда имеет местпо соотношение (6) Вывод формулы (6) Гаусса — Остроградского можно провести, шаг за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина. Чтобы это повторение не было дословным, рассмотрим сразу не кубик в Кз, а область Р„изображенную на рис. 89, которая ограничена ЦЛ. Э. Я.
Брауэр (1881 — 1966) — известный голландский математик. С его именем связан ряд принципиальных теорем топологии, а также анализ оснований математики, приведший к философско-математическим концепциям, называемым интуиционизмом. ГЛ ХП1 КРИВОЛИНЕИН НЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рис. 89 (7) ф2(Х,Д) — Йхс~усЬ = Йхс~у — сЬ = ~Я(х ию (х, И) — н(*,и~1(*,ю))) ~х4 = Мх у~ 'Р1(х~ у)) с~х с~у+ Мх у~ Ф2(х~у)) ~х у. С С Я Я имеют соответственно следу щ ю ее параметричеПоверхности 1, 2 и ское представление: ~1: ( У) +(х,у,Ю(х,у)), ~2 (х~ у) ~ + (х~ у~ ~Р2(х~ у)).
ей па аллельнои ой илинд ической поверхностью Я с образующ ", р почками Я1, ~2 — гра Риками еленных в одной и той же области с кций ~р1, ~р2, определенны б Р выполнено соотношение рим что для области 7 — сЬ с~у сЬ = Лс~х Л с~у. Р, дР, ~З. О СНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛ Ы АНАЛИЗА 289 (9) ы х на Я1 задают ориентацию, проКриволинейные координаты (х, у) н Р а ин и ется ориентацией области „ а тивоположную той, которая индуциру " .0 Я так ю же, как и та, которая индуц ру и ется ориентациеи ованной казанным в ит если,э1 и 2 с ит Я1 Я читать частями ориентир у Р то последние два инте- тве ж ении 2 образом границы области „то п е претировать соответственно грала (с учето ( м их знаков) можно интерпрет Я и Я от формы Л,йх Л сну.
как интегралы по Я1 и дставлее хность Я имеет параметрическое пред т Цилиндрическая поверхность и ние~ о мыЛ,сЬЛЙу ние вида (1, ~) ~-~ (х, у как сле овательно, и интеграл от этои формы на Я равно нулю, как, следоват (7) ": ьно име- Р соотношение ~~~ действител Таким образом, для области ет место. В Р р ать на конечное чиЕсли ориентированную область Р Р можно, азрезат Р то поскольку на поверхности, по кото- сло областей типа области „то, г две такие области, индуцируются про- рым примыкают друг к другу две т к ам про- тивопол ж р о ные о иентации, при сло жении интегралов по границам рых останется лишь изойдут взаимные уничтожения, р у в ез льтате кото Р.
по о иентированнои границе д д дР исхо ной области интеграл по ориен ве на и ля областей, допускающих Следовательно, формула (7) верна и для о л азбиение на области типа области .О,. указанное раз иение н .0 .0 илиндрические по- Аналогично можно ввести области и „ц У О и Ох ие параллельные осям у и х ве хности которых имеют образующ верхности твенно и показать, что если нек т оторую область Р можно раз- Р то ля соотв Р .0 ответственно имеют резать на области вида Р„или Р, д отв место соотношения йх йу сЬ = Я сЬ Л йх, (8) П ~у Р дР с1хс1усЬ = Рйу Л сЬ. Р дР бласть т.
е. область, допускающая каИтак, если Р простая о ласть, т. азбиений на области типа Р, д, ждое из трех указанных выше раз авенство (6~. а ывая авенства (7), (8), (9), получаем для Р равенство ~,. силу у м словий простоты области и даль- будем сейчас заниматься описанием условий за ач 8 или анного (см. по этому поводу задачу или нейшим уточнением доказанно пример 12 к 8 5 гл. ХЧ11). СТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. ХП1. КРИВО ЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНО в бескоординатном виде форОтметим, однако, о что на языке форм в е жно записать след ж д ющим образом: мулу Гаусса— †Остроградско мож (6') ЙсГ = дР Р = рдтп сЬ. е сова + е,сова„то псЬ = ~ у = е с~ ЛсЬ+ (6) Г е сЬ Л сЬ + е, сЬ Л с~у (см. ~ 2 п.4,.
Используя ор с о им таким образом, что Остроградского, находим,т г с~ Л сЬ + е~рд I гсЬ Л сЬ + е рд Х'=е рд ~ уЛ ~ е~ Я Я = е рд ОсЬс~усЬ+ е, рд ОсЬс|усЬ+ 0 + е,рд сЬ с~у сЬ = рд11е„ Ъ' — вес жидкости в объеме, тела Р, а значит, Р = рд — вес ж где Ъ' объем тела А химеда: Х' = Ре,.
. Мы пришли к закону рхи занимаемом телом. ь 2- о ма в области ( ( Поскольку для ку бика 1 = 1з = ( х, у, о верна то ее распро- (6') как было показано, мож о провести с более общие классы о л бластей конечно,мо тан артных выкладок 4 и помощью станд р ок 4 и ю ю силу дахимеда. Вычислим результирующу Пр м р 3. Зо~он рж~~ ~.
ыч ю " жи кости на погруженное в нее т вл ения однороднои жидко явК выер Кз б ем так что ы пло б скость х, у совпада- координаты х, у, 7 авим в сторону вы д хо а из и кости, а ось ~ напра ла с поверхностью жидк нове хности т Я ела Р находящеися жидкости. На эле мент сЬ площади р ~п сЬ где р плотность д- жиет сила давления рдтп о, на глубине ~, деиству и а и единичная внешняя нормаль сЬ ние силы тяжести, а и е иничн сти.
Я в соответствующей элементу к поверхности Я в соответ ается интегралом Значит, искомая результиру щ ю ая сила выраж 291 ~ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА Пример 4. Используя формулу (6) Гаусса — Остроградского, можно дать следующие формулы ф лы для объема Г(Р) тела Р, ограниченного поверхностью дР: Ъ'(Р) = — х йу Л сЬ + у сЬ Л с,х + х с,х Л с~у = 1 3 дР х с~у Л сЬ = у сЬ Л йх = ~ йх Л с~у. дР дй дР 3.
Формула Стокса н К з утверждение 3. Пусть Я вЂ” ориентированная кусочно гладкая компактная в ум ерная д поверхность с краем дЯ, лежащая в области С с ~~, в которой задана гладкая 1-форма ы = Р + ~ у = РсЬ ~с~ + ВсЬ. Тогда имеет место соотношение (10) где ориентация края дЯ берется согласованной с ориентацией поверхности Я. В иной записи это означает, что (10') Я дЯ ~ Если С стандартная параметризованная поверхность у: 1 -+ С в К , где †квадр в 1 — й2 то для С соотношение (10) вытекает из равенств ( ), с учетом док (4) азанной для квадрата и используемой в них формулы Грина.
Если ориентируемую поверхность Я можно разрезать на простейшие поверхности указан азанного вида то для такой поверхности соотно- ) шение (10) тоже справедливо, что следует из равенств (5) с заменой в них Р на Я. 1» Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение. 292 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Покажем, как выглядело бы приведенное доказательство формулы (10) в координатной записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких выражений, мы распишем только первую и основную из двух его фраз, да и то с некоторыми упрощениями.
А именно, введем обозначения х1, х2, х3 для координат точки х Е К и проверим только, что 1 д 2 1 д 3 ~ 1 ~( )~ — ~ ~ + 3~ дЯ Я Рис. 90. поскольку остальные два слагаемых левой части формулы (10) можно исследовать аналогично. Будем для простоты считать, что Я получается при гладком отображении = ( ) лежащеи в плоскости К2 переменных 11 Р и ограниченной одной глад- 7 кои кривои у =, п р = дР араметризованной с помощью отображения 1 = = 1(т) точками отрезка о < т (~3 (рис. О).
д р . 9 ). Тог а к ай Г = дЯ поверхности Я можно записать в виде х = х(1(т)), где т пробегает отрезок [о, Д]. Используя определение интеграла по кривои, формулу Грина для плоской области Р и определение интеграла по параметризованной поверхности, последовательно находим Г дх' й' дх' а'~ Р(х) йх:= Р(х(~(т))) Г О д 1 р( (ц) у1 + р~х~р)) х ~~2 д ( дх~ д й' ЛсЫ д~1 ~ д~2 ( д~2 =0[ 3 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 293 дР д .2 дР д,з д,1 + дх2 д~1 дхЗ д~1 д~2 дх2 д~2 дхЗ д~2 д~1 дх2 дх2 дГ дР дх1 дх1 д~' ~д~ дхз дхз дК дб дх1 дх1 д11 ~д~ дР + дхЗ с~~1 Л с~И = — сЬ ЛсЬ + сЬ Лс~х Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а восклицательным знаком — переход, использующий уже доказанную формулу Грина. Остальное — тождественные преобразования.
Используя основную идею доказательства формулы (10'), мы, таким образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что ~р*д = = ду*, но фактически доказав это в рассматриваемом случае), что формула (10) для простой параметризованной поверхности действительно имеет место. Формально мы провели рассуждение только для члена Рах, но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся слагаемых 1-формы, стоящей под знаком интеграла в левой части равенства (10).
4. Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул (1), (6), (10) их бескоординатная запись (1"), (5), (6'), (10') оказывается просто идентичной. Это дает основание считать, что мы имели дело с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь легко угадать. утверждение 4. Пусть Я вЂ” ориентированная кусочно аладкая И-мерная компактная поверхность с краем дЯ, лежащая в области С с К", в которой задана аладкая (й — 1)-форма ы. Тоеда имеет место соотношение 294 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ дЯ берется сосласованной с ориентациеи в котором ориентация края поверхности Я.
~ Формула (11), очевидно, доказывается теми же общими выклад- (4), (5) и фо мула Стокса (10'), если только она справедлива для стандартного к-мерного промежутка 0 ( х' ( 1, г = 1,..., Ц. Проверим, что для 1" формула (11) действительно имеет место. а х ах1Л Л Поскольку на 1~ (Й вЂ” 1)-форма имеет вид 1о = ~~,',а,(х) с~х Л...Л х = ... ~сп опскомди е- Л с~х' Л...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
