Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Информация об ориентации Я заключена здесь в направлении поля нормалей и,. Геометрическое и физическое содержание подынтегрального выражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл подынтегрального выражения окончательной вычислительной формулы (6) 81. Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются обозначения сЬ:= е сЬ, йт:= и сЫ, вводящие векторный элемент длины и векторный элемент площади соответственно.
В этих обозначениях интегралы (12), (13) имеют вид наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для краткости скалярное произведение (А,Ю) векторов А, Ю часто записывают символом А Ю. Пример 3. Закон Фарадея~) утверждает, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в переменном магнитном поле Ю, пропорциональна скорости изменения потока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность Я. Пусть Е вектор напряженности электрического поля. Точная запись закона Фарадея с учетом ориентации и принятых выше обозначений может быть представлена в виде равенства Е дв = — — Л й~. Кружок в знаке интеграла по Г дополнительное напоминание о том, что интеграл берется по замкнутому контуру.
Работу поля вдоль '~М. Фарадей (1791 — 18б7) — выдающийся английский физик, создатель учения об электромагнитном поле. 278 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ замкнутого контура часто называют циркуляцией поля вдоль этого контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности электрического поля, пооожденного в замкнутом проводнике Г переменным магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока напряженности магнитного поля через натянутую на контур Г поверхность Я. Пример 4. Закон Ампера1) Ю дв = у йт (где Ю вектор напряженности магнитного поля, у вектор плотности тока, ео, с размерные постоянные) утверждает, что циркуляция напряженности, порожденного электрическим током магнитного поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через ограниченную контуром Г поверхность Я.
Задачи и упражнения 1. Дайте формальное доказательство равенств (7) и (9). 2. Пусть у — гладкая кривая, сЬ вЂ” элемент длины на у. а) Покажите, что Д8) сЬ ( Я8)~ Ь для любой функции ~ на 7, для которой оба интеграла определены. Ь) Проверьте, что если ~Д8) ~ ( М на 7, а 1 — длина кривой 7, то Д8) сЬ ( М1. ~А. М.
Ампер (1775 — 183б) — французский физик и математик, один из основоположников современной электродинамики. Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог заметить, что это терминологическое различие очень условно. Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл претендует на независимость от выбора системы координат, используемой при его вычислении). ~ 2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 279 с) Сформулируйте и докажите аналогичные а) и Ь) утверждения в общем случае интеграла первого рода, взятого по Й-мерной гладкой поверхности. 3.
а) Покажите, что координаты (х1, х~в, х~в) центра масс, распределенных с линейной плотностью р(х) вдоль кривой 7, следует искать из соотношений хд р(х) сЬ = х'р(х) сЬ, г' = 1,2,3. Ь) Запишите уравнение винтовой линии в ~~ и найдите координаты центра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с постоянной плотностью, равной единице. с) Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверхности Я с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно распределенных по поверхности полусферы. и) Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с плотностью р по поверхности Я. е) Покрышка колеса имеет массу 30кг и форму тора, внешний диаметр которого 1 м, а внутренний 0,5 м.
При балансировке колеса его устанавливают на балансировочный станок, раскручивают до скорости, отвечающей скорости движения порядка 100км/час, и затем останавливают тормозными колодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40см, а ширина 2 см. Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся кинетическая энергия раскрученной покрышки при остановке колеса ушла на нагревание диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с = 420 Дж/(кг К).
4. а) Покажите, что силу, действующую на точечную массу тв, расположенную в точке (хо,ув, ~в), со стороны материальной кривой 7, имеющей линейную плотность р, следует искать по формуле Е = Сто/ гд8, Р / ~,„~з где С вЂ” гравитационная постоянная, а г — вектор с координатами (х — хв, у— — Уо ~ — ~о). Ь) Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса распределена по поверхности Я. с) Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой.
и) Найдите гравитационное поле однородной материальной сферы. (Укажите поле как вне шара, ограниченного сферой, так и в самом этом шаре.) е) Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве однородным материальным шаром (рассмотрите как внешние, так и внутренние точки шара). 1) Считая Землю жидким шаром, найдите давление в нем как функцию расстояния от центра. (Радиус Земли 6400км, средняя плотность бг/смз.) 280 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.
Пусть 71 и 72 — два замкнутых проводника, по которым текут токи Х~ и 12 соответственно. Пусть с181 и с182 — векторные элементы этих проводников, отвечающие направлениям тока в них, вектор Ю12 направлен от 081 к с182, а А"21 — А "12 ° По эакону Био и Савара~) сила сУ"12, испытываемая вторым элементом со стороны первого, равна У1 12 с1~)12 2 2 ~082<~181 Ах12И о! 12!' где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а со — размерная постоянная. а) Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы Био и Савара может случиться, что дГ12 ф — с1Г~1, т.е.
«действие не равно противодействию». Ь) Напишите (интегральные) формулы для полных сил Г12 и Г21 взаимодействия проводников у1, У2 и убедитесь, что Г12 — — — К21. 6. Формула коплощади (формула Кронрода — Федерера). Пусть М"' и %" — гладкие поверхности размерностей т и и соответственно, лежащие в евклидовом пространстве высокой размерности (М, %" могут быть и абстрактными римановыми многообразиями, но сейчас это несущественно). Допустим, что т > и.
Пусть ~: М -+ Х" — гладкое отображение. При т > п отображение ф(х): Т,М -+ Т~~,)Ж" имеет непустое ядро 1сегф(х). Обозначим через Т,'-М ортогональное дополнение к 1~его(х), а через 1(7", х) обозначим якобиан отображения ф(х)~7,1Л . Т, М вЂ” ~ Т~~ )М™. Если т = п, то,У(~,х) совпадает с обычным якобианом. Пусть сто),(р) — обозначение для формы объема на й-мерной поверхности в точке р.
Будем считать, что оо(Е) = саха Е, где и1,(Е) — й-объем множества Е. а) Используя, если нужно, теорему Фубини и теорему о ранге (о локальном каноническом виде гладкого отображения), докажите следующую формулу Кронрода — Федерера: / 1(У,х) йи (х) = ~ и — (~ '(у)) г11)п(у). Мхи у~п Ь) Покажите, что если А — измеримое подмножество в М, то Это общая формула Кронрода — Федерера. с) Докажите следующее усиление теоремы Сарда (утверждающей в ее простейшем варианте, что образ множества критических точек гладкого отображения имеет меру нуль).
(См. гл. Х1, пар. 5, задача 8.) ')Био (1774 — 18б2), Савар (1791 — 1841) — французские физики. 33. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 281 ~сЬ= Ю О и 1(8) е) Пусть Ъу(1) — мера (объем) можества (х Е Р ~ 7"(х) > г1 и пусть функция 1" неотрицательна и ограничена в области Р. Покажите, что / ~ йи = — / ИЪу(~) = / Ъу(1)й. О и о Е) Пусть ср Е С®(В,К» ) и у(О) = О, а ~ Е С®(Р,К) и Т~~~~(й) — мера можества (х Е Р ! ~Дх)) > г1.
Проверьте, что / ~р о ~аи = / д (8)~~у~(8)сй. О о ~ 3. Основные интегральные формулы анализа Важнейшей формулой анализа является уже известная нам формула Ньютона — Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны, являются развитием формулы Ньютона — Лейбница, а с другой стороны, в совокупности, образуют наиболее используемую часть аппарата интегрального исчисления. В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности формулировок, на наглядном материале мы получим три классические интегральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать независимо от первых трех.
1. <формула Грина. Формула Грина1) это следующее утверждение 1. Пусть ~~ — плоскость с фиксированной в ней системой координат х, у;  — компактная область в этой плоско- ЦДж. Грин (1793 — 1841) — английский математик и математический физик. Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве обрамлена пятью меньшими плитами с блистательными именами: Фарадей, Томсон (лорд Кельвин), Грин, Максвелл, Дирак. Пусть, как и прежде, ~: М -+ %" гладкое отображение, а К вЂ” компакт в М, на котором ганями(х) ( и при всех х е К.
Тогда / о „(Кй 7 ~(у)) сЬ„(у) = О. Получите отсюда также сформууп лированный выше простейший вариант теоремы Сарда. с1) Проверьте, что если ~: Р -+ К и и: Р -+ К вЂ” гладкие функции в регулярной области Р С К", причем и не имеет критических точек в Р, то 282 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ сти, ограниченная кусочно гладкими кривыми; Р, Я вЂ” функции, глад- кие в замкнутой области О. Тогда имеет место соотношение — — дауду = РсЪ+ Яду, в котором справа стоит интеграл по границе дО области У, ориен- тированной согласованно с ориентацией самой области У. Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда Р есть квадрат 1 = ((х,у) е К~ ~ О < х < 1, 0 < у < Ц, а Я: — 0 в 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
