Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Сферу Я с точностью до множества, имеющего площадь нуль и потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать пара- метрически 2бО ГЛ ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2зг зг/2 ду Вз соя ф дф = 4яВ~. Π— зг/2 Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными координатами (у, ф) ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутренней нормалью.
Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый поток У = — 4~гВз. В данном случае полученный результат легко проверить: вектор У скорости течения в каждой точке сферы равен по величине В, ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен площади сферы 4яВ2, умноженной на В. Поток в противоположную сторону получается равным — 4яВ . з 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности. Решение рассмотренных в и. 1 задач приводит к определению интеграла от к-формы по ориентированной к-мерной поверхности.
Пусть сначала Я вЂ” гладкая к-мерная поверхность в К", заданная одной стандартной картой у: 1 — ~ Я. Пусть на Я задана й-форма ы Интеграл от формы ~о по параметризованной поверхности у: 1 — ~ Я строится следующим образом. Берем разбиение Р й-мерного стандартного промежутка 1 г. К", индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные оси. В каждом промежутке 1, разбиения Р берем вершину 1„имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней к векторов т1,..., г~, идущих в направлении координатных осей в Й соседних с 1, вершин промежутка 1, (см. рис.84). Находим векторы ~1 = = гр'(8,)т1,...,(~ = гр'(1,)т~ касательного пространства ТЯ, гр ~, вычисляем ы(х,) ®,..., (~) =: (у*с )(8,)(т1,..., т~), составляем интегральную сумму ~~~ ы(х,) ®,..., (~) и переходим к пределу, когда параметр г А(Р) разбиения стремится к нулю.
Таким образом, мы принимаем Определение 1 (интеграла от И-формы ~о по заданной картой у: 1-+ Я гладкой И-мерной поверхности). ~ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 261 Если применить зто определение к Й-форме ~(8) сЫ~ Л... Л ~И" на 1 (когда у тождественное отображение), то, очевидно, получим, что ~ЯЙ Л... ЛЙ = ~(8)сН ...сИ . (8) Таким образом, из (7) следует, что (9) ~=И1) а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычному кратному интегралу от соответствующей форме у*и функции ~ на промежутке 1. Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но они сами могли бы быть приняты в качестве исходных определений.
В частности, если О произвольная область в К" (не обязательно промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим (8') а для гладкой поверхности, заданной в виде у: .Π— ~ Я и Й-формы с на ней, положим (9') Если Я произвольная кусочно гладкая й-мерная поверхность, а ы — определенная на гладких кусках Я Й-форма, то, представив Я как объединение Ц Я, гладких параметризованных поверхностей, перег секающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности, полагаем (1о) 2б2 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соотношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о независимости полученной величины интеграла от разбиения Ц К и от выбора г параметризации отдельных его кусков. Проверим корректность данного определения.
~ Рассмотрим сначала простейший случай, когда Я есть область Р в К", а у: Р~ ~ Р диффеоморфизм области Р~ С К" на область Р . В Р. = Я й-форма ы имеет вид Дх) ох Л ... Л ох~. Тогда, с одной стороны, в силу (8) ~(х) дх'Л... Лдх" = Дх) дх'...сЬ". С другой стороны, по (9') и (8') Рс Ра Но если с1еСу'(Й) ) 0 в Р~, то по теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство 0~ =~Р(,К) и Значит, считая, что на Я = Р. имелись координаты х,...,х и криволинейные координаты 1~,..., 1~ одного класса ориентации, мы показали что величина интеграла ~ ы не зависит от того, в какои из этих 7 Я двух систем координат проводить его вычисление.
1 й Отметим, что если бы криволинеиные координаты 1,..., 1 задавали на Я другую ориентацию, т. е. при с1е$ у'(8) ( О, очевидно, правая и левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким образом о корректности определения интеграла можно говорить только в 7 случае ориентированной поверхности интегрирования. Пусть теперь у,: Р -+ Я и у~. Р~ -+ Я две параметризации одной и той же гладкой Й-мерной поверхности Я и ы Й-форма на Я. Сравним интегралы З1.
ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 2бЗ На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять следующую цепочку формальных определений, соответствующих изложенной в определении 1 конструкции интеграла от формы. Определение 1' (интеграла от формы по ориентированной поверхности Я С К"). а) Если в области Р С ~" задана форма Дх) дх1 Л... Л дх~, то Ь) Если Я С К" гладкая й-мерная ориентированная поверхность и ~р: Р -+ Я ее параметризация, а со й-форма на Я, то со:= ~ ф*со, Я П причем знак + берется, если параметризация со согласуется с заданной ориентацией Я, а знак — берется в противоположном случае. с) Если Я вЂ” кусочно гладкая й-мерная ориентированная поверхность в Б~, со Й-форма на Я (определенная там, где Я имеет касательную Поскольку ~р~ — — ~р, о (у о у~) = ~р,, о ~р, где у = у о~р~. Р~ — ~ Р, — 1 — 1 диффеоморфизм Р~ на Р., то ~р~ы = ~р*(р*ы) (см.
равенство (20) З5 гл. Х11). Значит, форму у~со в Р~ можно получить заменой х = у(1) переменных в форме у*со. А как мы только что проверили, в этом случае интегралы (11) совпадают, если с1еФ у'(1) ) 0 и отличаются знаком, если с1еФ у'(Х) ( О. Итак, показано, что если у~. Р~ ~ Я, со~: Р~ -+ Я параметризации одного класса ориентации поверхности Я, то интегралы (11) совпадают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных систем криволинейных координат на поверхности Я проверена.
Независимость интеграла (10) по ориентированной кусочно гладкой поверхности Я от способа ее разбиения Ц Я, на гладкие куски вытекаг ет из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно рассмотреть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух разбиений и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со значением на каждом из двух исходных разбиений). ~ 264 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ плоскость), то где Я1,..., Я„„,...
— разложение Я на гладкие параметризуемые Й-мерные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким поверхностям меньшей размерности. Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности влечет за собой изменение знака интеграла. Задачи и упражнения 1. а) Пусть х, у — декартовы координаты на плоскости К~. Укажите, для какого векторного поля форма ы = — — " — дх + ду является его фор- х~+у~ х~+у~ мой работы. Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы ы по следующим путям у,: [О, т] Э ~ — '~ (сов ~, яп ~) Е ~к; [О, т] э ~ — '-~ (соя ~, — яп ~) е ~к; путь 'уз состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точки (1, 0), (1, 1), ( — 1,1), ( — 1, 0); путь у4 состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно точки (1, 0), (1, — 1), ( — 1, — 1), ( — 1, 0).
2. Пусть ~ — гладкая функция в области 0 С К", а у — гладкий путь в Р с началом ро е 0 и концом р1 б О. Найдите интеграл от формы ы = ф по пути у. 3. а) Найдите интеграл от формы ы = с~у Л сЬ + сЬ Л с~х по границе стандартного единичного куба в ~~, ориентированной внешней нормалью. Ь) Укажите поле скоростей, для которого рассмотренная в а) форма ы является его формой потока.
4. а) Пусть х, у, г — декартовы координаты в К". Укажите поле скоростей, для которого форма х с~у Л й + у й Л с~х + г с~х Л с~у (х~ + у~ + ~~)з~~ была бы его формой потока. Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы ы по сфере х +у +г~ = В~, ориентированной внешней нормалью. с) Покажите, что поток поля *'"" через сферу (х — 2) +у +г~ = (.2+ 2+ 2)3/2 = 1 равен нулю. с1) Проверьте, что поток указанного в с) поля через тор, параметрические уравнения которого даны в примере 4 ~ 1 гл.
ХП, также равен нулю. ~ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 265 5. Известно, что между давлением Р, объемом ~' и температурой Т данного количества вещества имеется связь ~(Р,~~,Т) = О, называемая в термодинамике уравнением состояния. Например, для одного моля идеального РЪ' газа уравнение состояния выражается формулои Клапеирона — — и', = О, где и', †универсальн газовая постоянная. Поскольку величины Р, ~~, Т связаны уравнением состояния, зная любую пару из них, в принципе можно определить и остающуюся величину.
Значит, состояние любой системы можно характеризовать, например, точками (~; Р) плоскости ~~ с координатами ~', Р, тогда эволюции состояния системы как функции времени 1 будет отвечать некоторый путь ~ в этой плоскости. Пусть газ помещен в цилиндр, в котором без трения может перемещаться поршень. Меняя положение поршня, за счет механической работы мы можем изменить состояние газа, заключенного между поршнем и стенками цилиндра. Наоборот, меняя состояние газа (например, подогревая его), можно заставить газ совершать механическую работу (например, за счет расширения поднимать груз). В этой задаче и следующих задачах 6, 7, 8 все процессы считаются проходящими столь медленно, что в каждый конкретный момент давление и температура успевают усредниться во всем объеме вещества и, таким образом, в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению состояния. Это так называемые квазистатические процессы. а) Пусть у — путь в плоскости ~', Р, отвечающий квазистатическому переходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния ~в, Рд в состояние ~11, Р1.
Покажите, что величина А совершаемой на этом пути газом механической работы определяется следующим криволинейным интегралом: А = 1 Р йЪ'. Ь) Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального газа при переходе из состояния ~ 0, Рв в состояние ~'1, Р1 по каждому из следующих путей (рис. 85): ~д~г — изобара ОЬ (Р = Р0), затем изохора Ы (~' = ~'1); у0к~ — изохора ОК (~' = Ц); затем изобара К1 (Р = Р1); уо~ — изотерма Т = сопаФ (в предположении, что РдЪд — — Р1 ~1).
с) Покажите, что полученная в а) формула для механической работы, совершаемой заключенным между поршнем и стенками цилиндра газом, на самом деле является общей, т. е. она остается в силе для работы газа, заключенного в любой деформируемой оболочке. 6. Количество тепла, получаемого систе- р 0 Ь 0 мой в том или ином процессе изменения ее состояний, как и совершаемая системой механическая работа (см. задачу 5), зависит не только Р1 от начального и конечного состоянии системы, 1 но и от пути перехода. Важной характеристи- Ъ'0 Ъ'1 Ъ' кой вещества и совершаемого им (или над ним) термодинамического процесса является тепло- Рис. 85. 266 ГЛ.
ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ емкость отношение полученного веществом тепла к изменению его температуры. Точное определение теплоемкости можно дать в следующей форме. Пусть х — точка в плоскости состояний Е (с координатами 1', Р, или Ъ', Т, или Р, Т), а е Е ТР— вектор, указывающий направление смещения из точки х. Пусть | — малый параметр. Рассматриваем смещение из состояния х в состояние х +4е вдаль отрезка на плоскости Р, определяемого этими состояниями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
