Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 47
Текст из файла (страница 47)
с) Чо~ Е й" д(Й~) =О. Д) ~(~ ~ йо ф — ~~, ' И.Дх~ 1 дх' Покажите, что отображение д: й" (Р) -+ й"+1(Р), обладающее свойствами а), Ь), с), Й), единственно. 10. Проверьте, что отображение ~р: й" (Ъ') -+ й"(У), отвечающее отображению у: У ~ $', обладает следующими свойствами: а) Ф*(0~1 + 0~г) = У*04 + У*0~г. Ь) у (0~1 Л о~г) = у 0~1 Л ~р о~г. с) ду*м = у*йа. й) Если еще имеется отображение ф: Ъ' ~ И',то ф о у)* = у* о ф*.
11. Покажите, что гладкая й-мерная поверхность ориентируема тогда и только тогда, когда на ней существует нигде не вырождающаяся Й-форма. ГЛАВА Х111 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ~ 1. Интеграл от дифференциальной формы 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры Известно, что в постоянном поле Р перемещение на вектор ~ связано с работой, равной (Р, ~).
Пусть | г-~ х(1) определенное на отрезке1=(8Е К ~ а < 1 < Ь) гладкое отображение у: 1-+ С. Возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка ~а, 6]. Тогда на каждом промежутке 1, = (8 Е 1 ~ 1, 1 < <1 < <г,) разбиения с точностью до бесконечно малых 7г ~г ~г+1 Рис. 83.
а. Работа поля. Пусть Р(х) непрерывное векторное поле сил, действующих в области С евклидова пространства К". Перемещение пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется вычислить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути ~:~- ~(~) са. Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего элементы конструкции. ~ 1 ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 253 ЬА, = (Р(х,), ~,) ЬА, = (Г(х(1,)),х(~,)т,). Значит, откуда, переходя к пределу при измельчении разбиения отрезка 1, по- лучаем, что А = (Р(х(1,)), х(~)) сЫ.
Если выражение (Р(х(1,)), х(1)) сЫ переписать в виде (Р(х), дх), то, считая координаты в К" декартовыми, ему можно придать вид Р1 дх1+ +... + Р" дх", после чего формулу (1) можно записать как А = Р~дх'+... +Р" дх" (2) или как А=/ (2') Точный смысл написанным в (2) и (2') интегралам от 1-формы работы вдоль пути у придает формула (1).
Пример 1. Рассмотрим поле сил Р = у х , опрех +у х +у 2 2 2 2 деленное во всех точках плоскости К~, кроме начала координат. Вычислим работу этого поля вдоль кривой у1, заданной в виде х = сов 1, у = более высокого порядка выполняется равенство х(й) — х(й,) = х'(й,)(й— ~г) Вектору т, = Й,+1 — й, смещения из й, в й,+1 (рис. 83) в пространстве ~" отвечает перемещение из точки х(1,) на вектор ьх, = х,+1 — х„ который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с вектором ~, = х(1,)т„касательным к траектории в точке х(1,).
Ввиду непрерывности поля Р(х), его можно считать локально постоянным, и потому работу ЬА„отвечающую промежутку (времени) 1„можно с малой относительной погрешностью вычислять в виде 254 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ = яппи, 0 ( 8 ( 2гг, и вдоль кривой у2, заданной соотношениями х = 2+ + соя 1, у = яп1, 0 < 1 ( 2гг. В соответствии с формулами (1), (2), (2') находим — дх+ У х Й/ = х2» у2 х2+ 2 яппи. ( — яп1) соя1 сов8 + 2 2 й=2гг сов~ ~ «- яп~ ~ соя~ ~ + я~п2 ~ à — у дх + х ду — яп 8( — яп 1) + (2 + соя 1) сов 8 х2+ у2 (2 + соц ~)2 + яп2 ~ 7г 7г 0 2зг 7Г 0 1+ 2соя1 1+ 2соя1 1+ 2соя(2гг — и) сМ = сЫ+ Йс = 5+ 2соя1 5+ 2соя1 5+2соя(2гг — и) 0 0 7Г 1+ 2соя1 1+ 2сояи и†Йс =О. 5+ 2соя 1 5+ 2сояи Пример 2.
Пусть т — радиус-вектор точки (х, у, я) Е ~~, а т = ~г~. Пусть всюду в ~~ вне начала координат задано поле сил вида Р = ~(т)т. Это так называемое центральное поле. Найдем работу поля Р на пути у: [О, 1] -«ПР ~ О. Используя (2), находим Г ~(т) (х дх «- у Йу + я сЬ) = — ~(т) с~(х + у + я~) = 2 г Здесь мы, как видно, положили х2(~) + у2(~) + я2(~) = т2(~), т2(~) = = и(1), т0 = т(О), т1 — — т(1).
~ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 255 Итак, в любом центральном поле работа на пути у оказалась зависящей только от расстояний т0, т1 начала и конца пути до центра 0 поля. 1 В частности, для гравитационного поля — ~т единичнои точечнои т массы, помещенной в начало координат, получаем тг 1 1 1 1 1 Ф(т0,т1) =— ди = — — —.
2 из!2 т0 т1 Ь. Поток через поверхность. Пусть в области С ориентированного евклидова пространства К имеется установившееся течение жидкости (или газа) и х «-» ~(х) поле скоростей этого течения в области С. Пусть, кроме того, в С взята гладкая ориентированная поверхность Я. Для определенности будем считать, что ориентация Я задана полем нормалей. '1'1»ебуется определить (объемный) расход или поток жидкости через поверхность Я, точнее, требуется найти, какой объем жидкости протекает в единицу времени через поверхность Я в указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.
Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения постоянно и равно ~, то поток в единицу времени через натянутый на пару векторов (1, (2 параллелограмм П равен объему параллелепипеда, построенного на векторах ~, (1, ~2. Если ц — нормаль к П и ищется поток через П в сторону, указываемую нормалью ц, то он равен смешанному произведению (~, (1, ~2), если ц и репер (1, ~2 задают одинаковую ориентацию П (т.
е. если ц, (1, (2 репер заданной в К~ ориентации). Если же репер ~1, (2 задает в П ориентацию, противоположную определяемой нормалью ц, то поток в сторону, указанную нормалью ц, равен (~~ 41~ 42) ° Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для простоты, что поверхность Я в целом допускает гладкую параметризацию ~р: 1 — » Я С С, где 1 двумерный промежуток плоскости ~2.
Разобьем 1 на маленькие промежутки 1, (рис. 84). Образ <р(1,) каждого такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на образы (1 = <р'(1,)т1, (2 = ~р'(Ц)т2 векторов т1, т2 смещения вдоль координатных направлений. Считая, что ~(х) мало меняется в пределах куска у(1,) поверхности, и заменяя <р(Х,) указанным параллелограммом, можем считать, что поток ЬУ; через кусок <р(1,) поверхности с малой 25б ГЛ Х1П КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Рис.
84 относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля скоростей ~(х,) = ~~~р(8,)) через параллелограмм, порожденный векторами ~1, (2. Считая, что репер (1, (2 задает на Я ту же ориентацию, что и ц, находим ЛУ Жх ) 41 42). Суммируя элементарные потоки, получаем ~ = ~, ~~ = ~,и~ (т,)(6,6г), где ~4(х) = (~(х),, ) (рассмотренная в примере 8 ~ 5 гл. ХП) 2-форма потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р промежутка 1), то естественно считать, что У:= Бт 2 и„',(х,)Я~,~~) =: / и„,. Л(Р) — +О Последний символ есть интеграл от 2-формы ы2 по ориентированной поверхности Я.
Вспомнив (см. формулу (12) ~5 гл. ХП) координатное выражение формы потока ы1, в декартовых координатах, мы вправе записать так- 2 258 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы ы 2 = 1" (1) Ж~ Л Ж~ по простейшей ориентированной поверхности 1, а в правой части — интеграл от функции 1" по прямоугольнику 1. Остается вспомнить, что координатное представление Д8) сМ~ Л й~ формы у*и получается из координатного выражения формы ы прямой заменой переменных х = у(8), где у: 1 -+ С вЂ” карта поверхности Я. Выполнив эту замену, из (4) получим 2 1 э 2 У = ~1~ = ф ~~1~ —— дх2 дхз дхз дх1 д1 д1 ~-2( ( )) д8 д8 дх2 дхз дхз дх' дР дР дР дР дх~ дх~ дР дР дх1 дх2 дР дР +~~3 ~ ~Х) ) Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный интеграл Римана по прямоугольнику 1.
Таким образом, мы нашли, что ~"М(~)) ~'(И )) ~"( ®) д~о~ (~) д~о~ р) д~о~ (~) р1 р2 ~(~) ~(~) ~( ) (6) где х = ~р(8) = (~р~, ~р, у )(1, 1 ) — карта поверхности Я, задающая ту же ориентацию Я, что и указанное нам поле нормалей к Я. Если карта у: 1 -+ Я задает на Я противоположную ориентацию, то равенство (6), вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут отличаться только знаком. Окончательная формула (6), очевидно, есть просто-напросто аккуратно записанный в координатах 1, 1 предел сумм знакомых нам элементарных потоков ЬУ, = (~(х,), ~1, (2).
Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой. В общем случае гладкую поверхность Я можно разбить на гладкие куски Я„не имеющие между собой существенных пересечений, и найти поток через Я как сумму потоков через куски Я,. ~1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 259 х = В соя ф соя ~р, у = Всоцфяпу, я = Вяпф, где О < у < 2~г, — ~г/'2 < ф < ~г/'2. После подстановки в ~6) этих соотношений и ~ = (1,0, 0), получим зг/2 2зг У = ~, ~, <йрйф = В2 соя2фйф соя~р <йр = О.
— зг/2 0 Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в какую сторону (внутрь или наруЖу) ведется расчет потока. Пример 4. Пусть поле скоростей движущейся в пространстве Ф среды в декартовых координатах х, у, я определяется равенством У(х, у, я) = (Ъ'~, Ъ'~, Ъ'~) (х, у, я) = (х, у, я). Найдем в этом случае поток через сферу х +у +я = В внутрь ограниченного ею шара (т.е. в сторону внутренней нормали). Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что 2~ /2 Всояфсоя<р Всовфяпу Выпь Йр — Всояфяп~р Всо8фсояу 0 0 — ~г/2 Вяпфсояф — Вяпфяпф Всояф Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной скоростью ~ = (1,0, 0).
Если в области течения взять любую замкнутую поверхность,то,поскольку плотность среды не меняется,количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую поверхность должен быть равен нулю. Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве Я сферух +у +я~=В'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
