Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" = с1е$(Л ®)). (1) Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных 1-форм А, В, С действительно: А Л В = — В Л А и (А + В) Л С = =АЛС+ВЛС. Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров. Пример 3. Пусть т' Е .С(К",К), г = 1,...,и — проекторы. Точнее, линейная функция т': ~" -+ К такова, что на любом векторе ~ = (~~,...,~") Е ~" она принимает значение т'(~) = ~' проекции этого вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии с формулой (1) получаем ~и~ ~г~ т" Л...
Л т'"®,...,~~) = (2) ~г~ ~г~ Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения [~~,~г] векторов ~~ = ф,ф~~~), ~г = (~г~,фЦ) евклидова пространства Кз,как известно, определяются из равенства ~2 ~3 ~3 ~1 В1И ~2 ~3 ~ ~3 ~1 ~г ~г форм (степени р и О соответственно) сопоставляет кососимметриче- скую форму А" Л В~ степени р + О. Эта операция ассоциативна: (А" Л В~) Л С" = А" Л (В~ Л С"), дистрибутивна: (А" + В") Л С~ = А" Л С~ + В" Л С~, косокоммутативна: А" Л В~ = ( — 1)"~В~ Л А".
В частности, если речь идет об 1-формах А и В, то имеет место антикоммутативность А Л В = — В Л А операции, подобная антикомму- тативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обоб- щением которого и является внешнее умножение форм. Не вникая в детали общего определения внешнего произведения, примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отме- тим, что в случае внешнего произведения 1-форм Л~,..., Л„Е .С(~", К) результат Л Л... ЛЛ~ есть й-форма, которая на наборе векторов ~~,..., ~~ Е К" принимает значение ~5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235 Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно записать, что ~Г ([6,~2]) = ~Г Л я ® 42) ~Г ([6 42]) = я Ля (6,6), 3([~ ~]) 1ц 2(~ ~ ) 4(хо)®) = д,(хо)~'+ + ~ п(хо)~" = Р~1(хо) д~ , д~ В частности, сЬ'(~) = ~', или, более формально, Их'(хо)(~) Если ~1,..., ~~ определенные в С и дифференцируемые в точке хо Е Е С вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в точке хо на наборе ~1,..., ~~ векторов пространства ТС~, получаем (3) и, в частности, (4) с1х" Л...
Асах'"(~1,...,~~г) = Таким образом, из линейных форм ф1,..., ф~г, определенных на линейном пространстве ТР, = ТР,", = ~", получились определенные на этом же пространстве кососимметрические формы степени Й. Пример 6. Если ~ е С(ц(Р, К), где Р область в ~", то в любой точке х е Р определен дифференциал ф(х) функции ~, который, как было сказано, является линейной функцией ф(х): ТР— ~ ТК ~ ) = К на линейном пространстве ТР, касательном к Р в точке х. При переходе от точки к точке в области Р форма ф(х) = ~'(х), вообще говоря, Пример 5.
Пусть ~: Р -+ К определенная в некоторой области Р С ~" и дифференцируемая в точке хо Е Р функция. Как известно, дифференциал ф(хо) функции в точке является линейной функцией, определенной на векторах ~ смещения от этой точки, точнее, на векторах пространства ТР „касательного к Р (к ~") в рассматриваемой точке. Напомним, что если х1,..., х" — координаты в К", а (= ф,...,~"), то 236 ГЛ.
ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" меняется. Итак, гладкая скалярная функция ~: Р -+ К порождает в каждой точке области Р линейную форму ф'(х), или, как говорят, порождает в Р поле линейных форм, определенных на соответствующих касательных пространствах ТР . Определение 1. Будем говорить, что в области Р С К" задана вещественнозначная дифференциальная р-форма и, если в каждой точке х е Р определена кососимметрическая форма ы(х): (ТР )" -+ К. Число р обычно называют степенью или порядком дифференциальной р-формы ы.
В этой связи р-форму ы часто обозначают через ьР. Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала ф гладкой функции ~: Р— ~ К есть дифференциальная 1-форма в области Р, а ы = Их" Л...Лдх'~ есть простейший пример дифференциальной формы степени р. Пример 7. Пусть в области Р С К" задано векторное поле, т.е. с каждой точкой х е Р связан вектор Р(х). При наличии евклидовой структуры в К" это векторное поле порождает следующую дифференциальную 1-форму ы~~, в Р. Если ~ вектор, приложенный к точке х Е Р, т.е. ~ Е ТР, то положим Из свойств скалярного произведения вытекает, что ы~~,(х) = (Р(х), ) действительно является линейной формой в каждой точке хеР Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Например, если Р— непрерывное силовое поле в области Р, а ~ вектор малого смещения от точки х Е Р, то элементарная работа поля, отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно величиной (Р(х), ~).
Итак, поле сил Р в области Р евклидова пространства ~" естественным образом порождает в Р дифференциальную 1-форму и~1, которую в этом случае естественно назвать формой работы поля Р. Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал ф гладкой в области Р С К" функции ~: Р -+ К тоже можно считать 1-формой, порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле Р = игаса ~. В самом деле, ведь по определению вектор игаса Дх) таков, з 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237 что для любого вектора ~ Е ТР имеет место равенство ф(х)(~) = = (дгас1 ~(х), ~). Пример 8. Заданное в области Р евклидова пространства К" векторное поле ~ может также следующим образом порождать дифференциальную форму ы" 1 степени и — 1.
Если в точке х е Р взять соответствующий ей вектор поля 3~(х) и еще п — 1 векторов ~1,..., ~„1 Е ТР, приложенных к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на векторы ~(х), ~1,..., ~„1, равный определителю матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно, будет кососимметрической (и — 1)-формой по переменным ~1,..., ~„ При п = 3 форма ~о2~ есть обычное смешанное произведение Щх), (1,~2) векторов, из которых один ~(х) задан, а тогда по двум оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма ы,, 2 =Ж ).
Например, если в области Р имеется установившееся течение жидкости и ~(х) вектор скорости течения в точке х е Р, то величина (У(х), ~1, ~2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за единицу времени через натянутую на малые векторы ~1, ~2 Е ТР площадку (параллелограмм), Выбирая по разному векторы ~1, ~2, мы будем получать различные по конфигурации и расположению в пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое значение Щх), ~1, ~2) формы ы~~(х).
Как было сказано, оно показывает, сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площадку, т.е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную элементарную площадку. По этой причине форму ~ф, как, впрочем, и ее многомерный аналог ы", часто называют формой потока векторного поля ~ в области Р. 2.
Координатная запись дифференциальной формы. Остановимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что любая дифференциальная Й-форма в некотором смысле является линейной комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4). Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих 238 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" индексов.
Пусть 1; — й-линейная форма в К". Если в К" фиксирован базис е1,..., е„, то каждый вектор ~ Е К" получает координатное представление ~ = ~'е, в этом базисе, а форма Ь приобретает координатную запись Ц41 юг) = Цф'Ег, ~1,"Ег ) = ЦЕг, Ег„)~1 ~1г (5) Числа аг. г = Це„,..., е,„) вполне характеризуют форму 1', если известно, в каком базисе е,..., е„они получены. Эти числа, очевидно, симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма Ь. В случае кососимметрической формы Ь координатное представление (5) можно несколько преобразовать. Ч гобы направление этого преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случай соотношения (5), когда Ь вЂ” кососимметрическая 2-форма в К .
Тогда 3 для векторов ~1 — — ~" е„, ~2 = ~2" е„, где г1, гг — — 1,2,3, получаем Ц6г 42) — Ц6'егг ~2~ег2) — Цег ег2К11~~22~ = = Це1, е1)~Ж + Це1, егМЫ + Це1, ез)~Ы + + ~(ег е1)~1~2 + ~(ег ег)11~2 + Це2 ез)1112 + + ~(ез е1)Ы2 + Цез ег)1112 + Цез ез)1112 = ~ 1е1, ег)(Ыг Ыг) + Це1 ез)(Ы2 Ыг) + ~гг -~- Цея, ее) Ы~~г ~1~я) = ~ Й~еи е 2) 1<гг <г2<3 2 ~гг ~юг г Це„,..., е,„) (6) 1(гг «...гг <и Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде Це„,...,е„)е" Л... Л е")г„...,ге). 1(г1(...<г), (п где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов г1,гг, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравенствам. Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы Ь можно получить следующее представление: ~ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239 а„,„1г" Л...