Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 44

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 44 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 442020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" = с1е$(Л ®)). (1) Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных 1-форм А, В, С действительно: А Л В = — В Л А и (А + В) Л С = =АЛС+ВЛС. Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров. Пример 3. Пусть т' Е .С(К",К), г = 1,...,и — проекторы. Точнее, линейная функция т': ~" -+ К такова, что на любом векторе ~ = (~~,...,~") Е ~" она принимает значение т'(~) = ~' проекции этого вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии с формулой (1) получаем ~и~ ~г~ т" Л...

Л т'"®,...,~~) = (2) ~г~ ~г~ Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения [~~,~г] векторов ~~ = ф,ф~~~), ~г = (~г~,фЦ) евклидова пространства Кз,как известно, определяются из равенства ~2 ~3 ~3 ~1 В1И ~2 ~3 ~ ~3 ~1 ~г ~г форм (степени р и О соответственно) сопоставляет кососимметриче- скую форму А" Л В~ степени р + О. Эта операция ассоциативна: (А" Л В~) Л С" = А" Л (В~ Л С"), дистрибутивна: (А" + В") Л С~ = А" Л С~ + В" Л С~, косокоммутативна: А" Л В~ = ( — 1)"~В~ Л А".

В частности, если речь идет об 1-формах А и В, то имеет место антикоммутативность А Л В = — В Л А операции, подобная антикомму- тативности упомянутого в примере 1 векторного произведения, обоб- щением которого и является внешнее умножение форм. Не вникая в детали общего определения внешнего произведения, примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отме- тим, что в случае внешнего произведения 1-форм Л~,..., Л„Е .С(~", К) результат Л Л... ЛЛ~ есть й-форма, которая на наборе векторов ~~,..., ~~ Е К" принимает значение ~5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235 Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно записать, что ~Г ([6,~2]) = ~Г Л я ® 42) ~Г ([6 42]) = я Ля (6,6), 3([~ ~]) 1ц 2(~ ~ ) 4(хо)®) = д,(хо)~'+ + ~ п(хо)~" = Р~1(хо) д~ , д~ В частности, сЬ'(~) = ~', или, более формально, Их'(хо)(~) Если ~1,..., ~~ определенные в С и дифференцируемые в точке хо Е Е С вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в точке хо на наборе ~1,..., ~~ векторов пространства ТС~, получаем (3) и, в частности, (4) с1х" Л...

Асах'"(~1,...,~~г) = Таким образом, из линейных форм ф1,..., ф~г, определенных на линейном пространстве ТР, = ТР,", = ~", получились определенные на этом же пространстве кососимметрические формы степени Й. Пример 6. Если ~ е С(ц(Р, К), где Р область в ~", то в любой точке х е Р определен дифференциал ф(х) функции ~, который, как было сказано, является линейной функцией ф(х): ТР— ~ ТК ~ ) = К на линейном пространстве ТР, касательном к Р в точке х. При переходе от точки к точке в области Р форма ф(х) = ~'(х), вообще говоря, Пример 5.

Пусть ~: Р -+ К определенная в некоторой области Р С ~" и дифференцируемая в точке хо Е Р функция. Как известно, дифференциал ф(хо) функции в точке является линейной функцией, определенной на векторах ~ смещения от этой точки, точнее, на векторах пространства ТР „касательного к Р (к ~") в рассматриваемой точке. Напомним, что если х1,..., х" — координаты в К", а (= ф,...,~"), то 236 ГЛ.

ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" меняется. Итак, гладкая скалярная функция ~: Р -+ К порождает в каждой точке области Р линейную форму ф'(х), или, как говорят, порождает в Р поле линейных форм, определенных на соответствующих касательных пространствах ТР . Определение 1. Будем говорить, что в области Р С К" задана вещественнозначная дифференциальная р-форма и, если в каждой точке х е Р определена кососимметрическая форма ы(х): (ТР )" -+ К. Число р обычно называют степенью или порядком дифференциальной р-формы ы.

В этой связи р-форму ы часто обозначают через ьР. Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала ф гладкой функции ~: Р— ~ К есть дифференциальная 1-форма в области Р, а ы = Их" Л...Лдх'~ есть простейший пример дифференциальной формы степени р. Пример 7. Пусть в области Р С К" задано векторное поле, т.е. с каждой точкой х е Р связан вектор Р(х). При наличии евклидовой структуры в К" это векторное поле порождает следующую дифференциальную 1-форму ы~~, в Р. Если ~ вектор, приложенный к точке х Е Р, т.е. ~ Е ТР, то положим Из свойств скалярного произведения вытекает, что ы~~,(х) = (Р(х), ) действительно является линейной формой в каждой точке хеР Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Например, если Р— непрерывное силовое поле в области Р, а ~ вектор малого смещения от точки х Е Р, то элементарная работа поля, отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно величиной (Р(х), ~).

Итак, поле сил Р в области Р евклидова пространства ~" естественным образом порождает в Р дифференциальную 1-форму и~1, которую в этом случае естественно назвать формой работы поля Р. Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал ф гладкой в области Р С К" функции ~: Р -+ К тоже можно считать 1-формой, порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле Р = игаса ~. В самом деле, ведь по определению вектор игаса Дх) таков, з 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237 что для любого вектора ~ Е ТР имеет место равенство ф(х)(~) = = (дгас1 ~(х), ~). Пример 8. Заданное в области Р евклидова пространства К" векторное поле ~ может также следующим образом порождать дифференциальную форму ы" 1 степени и — 1.

Если в точке х е Р взять соответствующий ей вектор поля 3~(х) и еще п — 1 векторов ~1,..., ~„1 Е ТР, приложенных к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на векторы ~(х), ~1,..., ~„1, равный определителю матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно, будет кососимметрической (и — 1)-формой по переменным ~1,..., ~„ При п = 3 форма ~о2~ есть обычное смешанное произведение Щх), (1,~2) векторов, из которых один ~(х) задан, а тогда по двум оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма ы,, 2 =Ж ).

Например, если в области Р имеется установившееся течение жидкости и ~(х) вектор скорости течения в точке х е Р, то величина (У(х), ~1, ~2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за единицу времени через натянутую на малые векторы ~1, ~2 Е ТР площадку (параллелограмм), Выбирая по разному векторы ~1, ~2, мы будем получать различные по конфигурации и расположению в пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое значение Щх), ~1, ~2) формы ы~~(х).

Как было сказано, оно показывает, сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площадку, т.е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную элементарную площадку. По этой причине форму ~ф, как, впрочем, и ее многомерный аналог ы", часто называют формой потока векторного поля ~ в области Р. 2.

Координатная запись дифференциальной формы. Остановимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что любая дифференциальная Й-форма в некотором смысле является линейной комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4). Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих 238 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" индексов.

Пусть 1; — й-линейная форма в К". Если в К" фиксирован базис е1,..., е„, то каждый вектор ~ Е К" получает координатное представление ~ = ~'е, в этом базисе, а форма Ь приобретает координатную запись Ц41 юг) = Цф'Ег, ~1,"Ег ) = ЦЕг, Ег„)~1 ~1г (5) Числа аг. г = Це„,..., е,„) вполне характеризуют форму 1', если известно, в каком базисе е,..., е„они получены. Эти числа, очевидно, симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма Ь. В случае кососимметрической формы Ь координатное представление (5) можно несколько преобразовать. Ч гобы направление этого преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случай соотношения (5), когда Ь вЂ” кососимметрическая 2-форма в К .

Тогда 3 для векторов ~1 — — ~" е„, ~2 = ~2" е„, где г1, гг — — 1,2,3, получаем Ц6г 42) — Ц6'егг ~2~ег2) — Цег ег2К11~~22~ = = Це1, е1)~Ж + Це1, егМЫ + Це1, ез)~Ы + + ~(ег е1)~1~2 + ~(ег ег)11~2 + Це2 ез)1112 + + ~(ез е1)Ы2 + Цез ег)1112 + Цез ез)1112 = ~ 1е1, ег)(Ыг Ыг) + Це1 ез)(Ы2 Ыг) + ~гг -~- Цея, ее) Ы~~г ~1~я) = ~ Й~еи е 2) 1<гг <г2<3 2 ~гг ~юг г Це„,..., е,„) (6) 1(гг «...гг <и Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде Це„,...,е„)е" Л... Л е")г„...,ге). 1(г1(...<г), (п где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов г1,гг, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравенствам. Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы Ь можно получить следующее представление: ~ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239 а„,„1г" Л...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее