Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 40
Текст из файла (страница 40)
а) Проверьте, что принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области С С К" порождают такие непрерывные поля реперов в С, которые в каждой точке х Е С задают реперы одного класса ориентации пространства ТС,. Ь) Покажите, что в связной области С С К" непрерывные поля реперов разбиваются точно на два класса ориентации. с) На примере сферы покажите, что гладкая поверхность Я С К" может быть ориентируемой, хотя на Я не существует непрерывного поля реперов касательных к Я пространств. 4) Докажите, что на связной ориентируемой поверхности можно задать точно две различные ориентации.
4. а) В пространстве К" фиксировано подпространство К" ', взят вектор о Е К" ~К" и два репера ®,..., ~„1), ®,..., ~„1) подпространства К" '. Проверьте, что эти реперы принадлежат одному классу ориентации реперов пространства К" ' тогда и только тогда, когда реперы (и, ~„..., ~„1), (о,~„..., ~„,) задают одинаковую ориентацию пространства К". Ь) Покажите, что гладкая гиперповерхность Я С К" ориентируема тогда и только тогда, когда на Я существует непрерывное поле единичных нормальных к Я векторов.
Отсюда, в частности, вытекает ориентируемость двусторонних поверхностей. с) Покажите, что если угад ЕфО, то задаваемая уравнением Е(х,..., х") = = О поверхность ориентируема (предполагается, что уравнение имеет решение). д) Обобщите предыдущий результат на случай поверхности, задаваемой системой уравнений. е) Объясните, почему не каждую гладкую двумерную поверхность в Кз можно задать уравнением Е(х, у, л) = О, где Š— гладкая функция без критических точек (т. е. угад Е ,—ŠО).
214 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Заметим, что множество Н:= Н ~ дН~, т. е. открытая часть Н", является простейшей к-мерной поверхностью. Само же полупространство Н формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду наличия в Н" точек края дН". Множество Н" является эталоном поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем. Определение 1. Множество Я с К' называют поверхностью (размерности Й) с краем, если любая точка х Е Я имеет окрестность У в Я, гомеоморфную либо ~~, либо Н . Определение 2. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме У на Н точке х Е У соответствует точка края дН~, то х называется точкой края поверхности (с краем) Я и своей окрестности Г Совокупность всех точек края называется краем поверхности Я. Край поверхности Я, как правило, будет обозначаться символом дЯ.
Отметим, что дН при й = 1 состоит из одной точки, поэтому, сохраняя соотношение дН" = ~" ~, мы в дальнейшем будем понимать Ф как одну точку, а дФ будем считать пустым множеством. Напомним, что при гомеоморфном отображении ~о,,: С, — ~ С области С, С ~~ на область С С К" внутренние точки области С, переходят во внутренние точки образа ~р, (С,) (это — теорема Брауэра). Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора локальной карты, т.
е. определено корректно. Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности, описанный в определении 1, ~ 1. Сопоставляя эти определения, видим, что если на Я нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему определению поверхности, которое теперь можно было бы считать определением поверхности без края.
Отметим в этой связи, что термин «поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек края непусто. Понятие гладкой (класса С~"и)) поверхности Я с краем вводится, как и для поверхностей без края, требованием, чтобы Я обладала атласом карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для карт вида ~о: Н -+ У и частные производные от ~о в точках края дН" вычисляются только по области Н" определения отображения у, т.е. иногда это односторонние производные, а якобиан отображения ~о отличен от нуля всюду в Н". Поскольку ~~ можно диффеоморфизмом класса С(~) преобразовать 1 3.
КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 215 'Утверждение 1. Край И-мерной поверхности класса С~"'1 сам является поверхностью того же класса гладкости, причем поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с размерностью исходной поверхности с краем. ~ Действительно, если Аф) = ((Н~, «р„У,)) 0 ((К~, «рз, Уз)) атлас поверхности Я с краем, то А(дЯ) = ((К~ 1, «р,~д~~,«, ~, дс«',)), очевидно, является атласом того же класса гладкости для края дЯ. > Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем. Рис.
77. Пример 1. Замкнутый и-мерный шар В в К" есть и-мерная поверхность с краем. Ее край дВ есть (и — 1)-мерная сфера (см. рис. 76 и рис. 77, а). Шар В, называемый часто по аналогии с двумерным случаем и-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину п-мерной сферы, краем которой является экваториальная (и — 1)-мерная сфера (рис.
77, Ь). в куб 1~ = (8 Е К" ~ ~8'~ < 1, г = 1,...,Й), причем так, что Н~ преобразуется в часть 1н куба 1", определяемую дополнительным условием < О, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае 1 ее гладкости) можно было бы заменить К~ на 1~, а Н на ф или на куб 1" с одной присоединенной гранью 1~ 1:= («, Е К~ ~ 1~ = 1, ~8'~ < < 1, г = 2,..., Й), являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей размерности. С учетом этой всегда присутствующей свободы в выборе канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и определение 1 из ~ 1 видим, что справедливо следующее 21б ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В К" Пример 2.
Замкнутый куб Х" в ~" по лучам, исходящим из его центра, можно гомеоморфно преобразовать в замкнутый шар дВ . Следовательно, Р' как и В, есть и-мерная поверхность с краем, который в данном случае образован гранями куба (рис. 78). Отметим, что на ребрах, являющихся пересечениями граней, никакое отображение куба на шар, очевидно, не может быть регулярным (т. е. гладким и ранга п). Рис. 78.
Пример 3. Если лист Мебиуса получать описанным в примере 5, ~ 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого прямоугольника, то, очевидно, в К получится поверхность с краем, 3 причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной в Кз). При другой возможной склейке этих же сторон получится цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей. Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71 к примеру 5, ~1). На рис. 79, а, Ь, 80, а, Ь, 81, а, Ь, которые мы исполь- Рис. 79.
Рис. 80. 2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в евклидовом пространстве К фиксирован ориентирующий орторепер е,..., е ., которыи индуцирует в К декартовы координаты х,..., х, й 1 й зуем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности с краем, лежащие в К2 и Кз. Как видно, край поверхности может ока- заться несвязным, даже если сама поверхность была связной. ~ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 219 отношению к локальной проекции Я на ТБ „получают в (й — 1)-мерной плоскости ТдБ „касательной к дЯ в точке х0, репер ~2,...,~~, который и задает ориентацию ТдБ „а значит, и дЯ, согласованную с заданной репером ~1, ~2,..., ~~ ориентацией поверхности Я.
На рис. 77 — 80 на простых примерах показаны процесс и результат согласования ориентаций поверхности и ее края. Отметим, что описанная схема предполагает возможность переносить задающий ориентацию Я репер в разные точки поверхности и ее края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным. Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных интегралов. Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности. Дадим прежде всего определение такой поверхности.
Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям любого класса гладкости. Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой кривой) назовем такую кривую в ~", которая после удаления из нее конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек) распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые). Поверхность Я с ~ы размерности й назовем кусочно гладкой, если из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких поверхностей размерности не выше Й вЂ” 1, что остаток распадется на Замечание 2. В ориентированном пространстве К~ рассмотрим полупространства Н~ = Н = (х Е ~~ ~ х < О) и Н+ — — (х е й" х~ > О) с индуцированной из ~~ ориентацией. Гиперплоскость Г = = (х Е ~~ ~ х1 = О) является общим краем Н~ и Н+~.
Легко видеть, что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями Н~ и Н+, противоположны. Это относится и к случаю й = 1, в котором й это постулируется. Аналогично, если ориентированную й-мерную поверхность разрезать некоторой (Й вЂ” 1)-мерной поверхностью (например, сферу — экватором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные ориентации, индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу частей исходной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
