Главная » Просмотр файлов » Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.

Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 42

Файл №1238793 Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А.) 42 страницаУчебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793) страница 422020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

При й = 1 область Р С К1 есть промежуток с некоторыми концами а, *о (а ( о) на прямой К1, а Я в этом случае кривая в К". Формула (5), таким образом, при Й = 1 превращается в формулу (~) Ы для вычисления длины гладкой кривой. Если й = и, то Ь" — диффеоморфная области Р и-мерная область в ~". В этом случае матрица Якоби,7 = х'(1) отображения Р Э Э ф,..., 1") = 1 «-~ г(1) = (х~,...,х")(1) Е Я квадратная. Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в кратном интеграле, можно написать, что ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225 т.

е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области Я в ПР. Отметим, что при й = 2 и и = 3, т.е. когда Я двумерная поверхность в Кз, часто вместо стандартных обозначений д, = (г„г,) используют следующие: ст:= Ъ2(Я), Е:= д11 — — (г1, г1), г:= д12 = д21 —— = (т1, г2), С:= д22 = (т2, г2), а вместо 1~, 1~ пишут соответственно и, о. В этих обозначениях формула (5) приобретает вид ст = ЕС вЂ” г2дисЬ. В частности, если и = х, о = р, а поверхность Я есть график гладкой вещественнозначной функции я = ~(х, у), определенной в области Р С К, то, как легко подсчитать, 2 Их Иу.

Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полезных для дальнейшего замечаний. Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует, например, если Р измеримая по Жордану область, а г Е С®(Р, ~"). Замечание 2. Если поверхность Я, участвующую в определении 1, разбить на конечное число поверхностей Я1,..., Я с кусочно гладкими краями, то этому разбиению Я будет отвечать такое же разбиение области Р на соответствующие Я1,..., Я,„области Р,,..., Р,„. Если поверхность Я имела площадь в смысле равенства (5), то при каждом значении а = 1,..., т определены величины В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что Мы установили таким образом, что площадь |с-мерной поверхности аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл. 226 ГЛ. ХП.

ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если нужно, к исчерпанию области Р, а значит, оно позволяет расширить смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как несобственный. Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно использовать для определения площади произвольной ~а не только заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности. Определение 2. Пусть Я произвольная кусочно гладкая й-мерная поверхность в ~". Если после удаления из Я конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем Й вЂ” 1 она распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых поверхностей Я1,..., Я~,..., то полагаем Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так определенная величина Ъ~,(Я) не зависит от способа описанного разбиения поверхности Я на гладкие куски Я1,..., Я,„,..., каждый из которых лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности Я.

Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение Я на гладкие параметризуемые куски Я1,..., Ь' всегда возможно и даже с соблюдением естественного дополнительного требования локальной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт Ю С Я может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхностей Я1,..., Я~,... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что любая точка поверхности Я должна обладать окрестностью, которая пересекается не более чем с конечным числом множеств Я1,..., Ь' Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система криволинейных координат ~~,..., ~~. Естественно поэтому проверить, что определяемая равенством ~5) величина $'~,(Я) (а тем самым и величина $'~,(Я) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе Р Э (1~,..., 1~) = 1 ~ 1 = (1~,..., 1~) Е Р к новым криволинейным координатам Р,..., Р, меняющимся в соответствующей области Р С К".

~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227 < Для проверки достаточно заметить, что матрицы С=(дц) =,— и С=(д, ) = в соответствующих друг другу точках областей Р и Р связаны соотношением С =,7*0,7, где,7 = ~=( — матрица Якоби отображе~д8~ 1 дР ния Р э 1 ~ 1 е Р, а,7* транспонированная по отношению к,7 матрица.

Таким образом, с1еФ Сф) = с1еФ С(1)(с1е$,7) (й), откуда следует, что Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы координат определение Й-мерного объема или площади Й-мерной кусочно гладкой поверхности. Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем Определение 3. Про множество Е, лежащее на й-мерной кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множеством И-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега, если при любом с ) О его можно покрыть конечной или счетной системой Я1,..., Я~,...

(возможно пересекающихся) поверхностей Я„С Я так, что '> , 'Ъ~(Я ) < с. Как видно, это дословное повторение определения множества меры нуль, лежащего в К~. Легко видеть, что в области Р параметров любой локальной карты у: Р + Я кусочно гладкой поверхности Я такому множеству Е отвечает множество ~р ~(Е) С Р С ~" й-мерной меры нуль. Можно даже проверить, что это характеристическое свойство множеств Е С Я площади нуль.

На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно гладкая поверхность Я получена из кусочно гладкой поверхности Я удалением из Я множества Е площади нуль, то площади поверхностей Я и Я одинаковы. 228 ГЛ.

ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В 2" Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате получится гладкая поверхность Я, задаваемая всего лишь одной картой. Но тогда площадь Я, а значит, и площадь Я можно вычислить прямо по формуле (5). Рассмотрим примеры. Пример 1. Отображение ]0,2т~Э 1 ~ (Всов1,Вяп1) Е К2 есть карта дуги Я окружности х + у = В, получаемой удалением из этой окружности Я единственной точки Е = (В,О). Поскольку Е— множество длины нуль на Я, можно писать, что Пример 2. В примере 4 81 было указано следующее параметрическое представление двумерного тора Я в ~~: т (<р, ф) = ((0 + а сов ф) сов ~р, (б + а сов ф) яп <р, а яп ф).

В области Р = ((<р, ф) ~ 0 «р < 2~г, 0 < ф < 2~г) отображение (р, ф) ~-~ ~ т(~р, ф) диффеоморфно. Образ Я области Р при этом диффеоморфизме отличается от тора Я на множество Е, состоящее из координатной линии <р = 2т и линии ф = 2т. Множество Е состоит, таким образом, из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, имеет площадь нуль.

Значит, площадь тора можно найти по формуле (5), исходя из приведенного параметрического представления, рассматриваемого в пределах области Р. Проведем необходимые выкладки: т = ( — (б+ а сов ф) яп<р, (6+ а сов ф) сову, 0), тр = ( — аппо) сов~р, — аипфвш<р,асовф), д11 — — (т,, т,) = (б + а сов ф), д12 = д21 = (т,р,т~) = О, д22 = (тр, тр) = а, 2 с1е$ С = = а (6+ а сов ф) . д21 д22 ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229 Следовательно, 2гг 2гг Г~(Я) = Ъ2(Я) = с6р а(6+ асояф) сЦ = 4гг иб. о о Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кривых и поверхностей.

Задачи и упражнения 1. а) Пусть Р и Р— две гиперплоскости евклидова пространства К", Р— подобласть Р, а Р— ортогональная проекция Р на гиперплоскость Р. Покажите, что (и — 1)-мерные площади Р и Р связаны соотношением о(Р) = о(Р) сова, где а — угол между гиперплоскостями Р, Р. Ь) Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы йт = 1+ (Д)г + (Я)г с~хну для элемента площади графика гладкой функции г = Дх, у) в трехмерном евклидовом пространстве. с) Покажите, что если поверхность 5 в евклидовом пространстве К~ задана в форме гладкой вектор-функции т = т(и, о), определенной в области Р С Кг, то площадь поверхности 5 можно найти по формуле сг(Я) = ([т„,т„]! сгиб, где [т„', т„'] — векторное произведение векторов ~-, ~-. с1) Проверьте, что если поверхность 5 С Кз задана уравнением Р(х, у, ~) = = О, а область У поверхности 5 взаимно однозначно ортогонально проектируется на область Р плоскости (х,у), то имеет место формула гт(ц = К' с'Г ахну.

2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя параллелями и двумя меридианами сферы 5 С Кз. 3. а) Пусть (т, гр, а) — цилиндрические координаты в К~. Гладкая кривая, расположенная в плоскости гр = уо и заданная там уравнением т = т(8), где 8 — натуральный параметр, вращается вокруг оси 6. Покажите, что площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего отрезку [81, 82] изменения параметра 8, может быть найдена по формуле 8г гт = 2гг т(8) сЬ.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее