Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При й = 1 область Р С К1 есть промежуток с некоторыми концами а, *о (а ( о) на прямой К1, а Я в этом случае кривая в К". Формула (5), таким образом, при Й = 1 превращается в формулу (~) Ы для вычисления длины гладкой кривой. Если й = и, то Ь" — диффеоморфная области Р и-мерная область в ~". В этом случае матрица Якоби,7 = х'(1) отображения Р Э Э ф,..., 1") = 1 «-~ г(1) = (х~,...,х")(1) Е Я квадратная. Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в кратном интеграле, можно написать, что ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225 т.
е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области Я в ПР. Отметим, что при й = 2 и и = 3, т.е. когда Я двумерная поверхность в Кз, часто вместо стандартных обозначений д, = (г„г,) используют следующие: ст:= Ъ2(Я), Е:= д11 — — (г1, г1), г:= д12 = д21 —— = (т1, г2), С:= д22 = (т2, г2), а вместо 1~, 1~ пишут соответственно и, о. В этих обозначениях формула (5) приобретает вид ст = ЕС вЂ” г2дисЬ. В частности, если и = х, о = р, а поверхность Я есть график гладкой вещественнозначной функции я = ~(х, у), определенной в области Р С К, то, как легко подсчитать, 2 Их Иу.
Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полезных для дальнейшего замечаний. Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует, например, если Р измеримая по Жордану область, а г Е С®(Р, ~"). Замечание 2. Если поверхность Я, участвующую в определении 1, разбить на конечное число поверхностей Я1,..., Я с кусочно гладкими краями, то этому разбиению Я будет отвечать такое же разбиение области Р на соответствующие Я1,..., Я,„области Р,,..., Р,„. Если поверхность Я имела площадь в смысле равенства (5), то при каждом значении а = 1,..., т определены величины В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что Мы установили таким образом, что площадь |с-мерной поверхности аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл. 226 ГЛ. ХП.
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если нужно, к исчерпанию области Р, а значит, оно позволяет расширить смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как несобственный. Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно использовать для определения площади произвольной ~а не только заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности. Определение 2. Пусть Я произвольная кусочно гладкая й-мерная поверхность в ~". Если после удаления из Я конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем Й вЂ” 1 она распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых поверхностей Я1,..., Я~,..., то полагаем Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так определенная величина Ъ~,(Я) не зависит от способа описанного разбиения поверхности Я на гладкие куски Я1,..., Я,„,..., каждый из которых лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности Я.
Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение Я на гладкие параметризуемые куски Я1,..., Ь' всегда возможно и даже с соблюдением естественного дополнительного требования локальной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт Ю С Я может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхностей Я1,..., Я~,... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что любая точка поверхности Я должна обладать окрестностью, которая пересекается не более чем с конечным числом множеств Я1,..., Ь' Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система криволинейных координат ~~,..., ~~. Естественно поэтому проверить, что определяемая равенством ~5) величина $'~,(Я) (а тем самым и величина $'~,(Я) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе Р Э (1~,..., 1~) = 1 ~ 1 = (1~,..., 1~) Е Р к новым криволинейным координатам Р,..., Р, меняющимся в соответствующей области Р С К".
~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227 < Для проверки достаточно заметить, что матрицы С=(дц) =,— и С=(д, ) = в соответствующих друг другу точках областей Р и Р связаны соотношением С =,7*0,7, где,7 = ~=( — матрица Якоби отображе~д8~ 1 дР ния Р э 1 ~ 1 е Р, а,7* транспонированная по отношению к,7 матрица.
Таким образом, с1еФ Сф) = с1еФ С(1)(с1е$,7) (й), откуда следует, что Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы координат определение Й-мерного объема или площади Й-мерной кусочно гладкой поверхности. Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем Определение 3. Про множество Е, лежащее на й-мерной кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множеством И-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега, если при любом с ) О его можно покрыть конечной или счетной системой Я1,..., Я~,...
(возможно пересекающихся) поверхностей Я„С Я так, что '> , 'Ъ~(Я ) < с. Как видно, это дословное повторение определения множества меры нуль, лежащего в К~. Легко видеть, что в области Р параметров любой локальной карты у: Р + Я кусочно гладкой поверхности Я такому множеству Е отвечает множество ~р ~(Е) С Р С ~" й-мерной меры нуль. Можно даже проверить, что это характеристическое свойство множеств Е С Я площади нуль.
На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно гладкая поверхность Я получена из кусочно гладкой поверхности Я удалением из Я множества Е площади нуль, то площади поверхностей Я и Я одинаковы. 228 ГЛ.
ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В 2" Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате получится гладкая поверхность Я, задаваемая всего лишь одной картой. Но тогда площадь Я, а значит, и площадь Я можно вычислить прямо по формуле (5). Рассмотрим примеры. Пример 1. Отображение ]0,2т~Э 1 ~ (Всов1,Вяп1) Е К2 есть карта дуги Я окружности х + у = В, получаемой удалением из этой окружности Я единственной точки Е = (В,О). Поскольку Е— множество длины нуль на Я, можно писать, что Пример 2. В примере 4 81 было указано следующее параметрическое представление двумерного тора Я в ~~: т (<р, ф) = ((0 + а сов ф) сов ~р, (б + а сов ф) яп <р, а яп ф).
В области Р = ((<р, ф) ~ 0 «р < 2~г, 0 < ф < 2~г) отображение (р, ф) ~-~ ~ т(~р, ф) диффеоморфно. Образ Я области Р при этом диффеоморфизме отличается от тора Я на множество Е, состоящее из координатной линии <р = 2т и линии ф = 2т. Множество Е состоит, таким образом, из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть, имеет площадь нуль.
Значит, площадь тора можно найти по формуле (5), исходя из приведенного параметрического представления, рассматриваемого в пределах области Р. Проведем необходимые выкладки: т = ( — (б+ а сов ф) яп<р, (6+ а сов ф) сову, 0), тр = ( — аппо) сов~р, — аипфвш<р,асовф), д11 — — (т,, т,) = (б + а сов ф), д12 = д21 = (т,р,т~) = О, д22 = (тр, тр) = а, 2 с1е$ С = = а (6+ а сов ф) . д21 д22 ~4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229 Следовательно, 2гг 2гг Г~(Я) = Ъ2(Я) = с6р а(6+ асояф) сЦ = 4гг иб. о о Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кривых и поверхностей.
Задачи и упражнения 1. а) Пусть Р и Р— две гиперплоскости евклидова пространства К", Р— подобласть Р, а Р— ортогональная проекция Р на гиперплоскость Р. Покажите, что (и — 1)-мерные площади Р и Р связаны соотношением о(Р) = о(Р) сова, где а — угол между гиперплоскостями Р, Р. Ь) Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы йт = 1+ (Д)г + (Я)г с~хну для элемента площади графика гладкой функции г = Дх, у) в трехмерном евклидовом пространстве. с) Покажите, что если поверхность 5 в евклидовом пространстве К~ задана в форме гладкой вектор-функции т = т(и, о), определенной в области Р С Кг, то площадь поверхности 5 можно найти по формуле сг(Я) = ([т„,т„]! сгиб, где [т„', т„'] — векторное произведение векторов ~-, ~-. с1) Проверьте, что если поверхность 5 С Кз задана уравнением Р(х, у, ~) = = О, а область У поверхности 5 взаимно однозначно ортогонально проектируется на область Р плоскости (х,у), то имеет место формула гт(ц = К' с'Г ахну.
2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя параллелями и двумя меридианами сферы 5 С Кз. 3. а) Пусть (т, гр, а) — цилиндрические координаты в К~. Гладкая кривая, расположенная в плоскости гр = уо и заданная там уравнением т = т(8), где 8 — натуральный параметр, вращается вокруг оси 6. Покажите, что площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего отрезку [81, 82] изменения параметра 8, может быть найдена по формуле 8г гт = 2гг т(8) сЬ.