Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Л )г'" 1<гг «...г»<п Й-форм )г" Л... Л )г'", являющихся внешним произведением, составленным из простейших 1-форм )г,..., )г" в ~". Пусть теперь в некоторой области Р с К' задана дифференциальная Й-форма ы и некоторая система криволинейных координат х1,...,х". В кажДой точке х Е Р фиксиРУем базис е1(х),...,еп(х) пространства ТР~, составленный из единичных векторов координат- НЫХ НаПраВЛЕНИй. (НанрИМЕр, ЕСЛИ Х1,..., Хп дЕКартОВЫ КООрдИНатЫ В К", тО Е1(Х),..., Еп(Х) ЕСТЬ ПРОСТО РЕПЕР Е„..., Еп ПРОСтРаНСтВа К', параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в каждой точке х е Р на основании формул (4) и (6) получаем, что 1<гг« .г»<п или 4(т) = ~ а„...,„(*)й~' ~...~ гх'".
1<гг«. г»<п Таким образом, любая дифференциальная й-форма является комбинацией простейших Й-форм сЬ" Л... Л сЬ'", составленных из дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная форма». Коэффициенты агг г»(х) линейной комбинации (8), вообще говоря, зависят от точки х, т. е. это какие-то функции, определенные в области, где задана форма (~1,. В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала (8) ф(х) = (х)с1х1 + ...
+ †(х) с1х", д~ 1 д~ (9) а, как видно из равенств (~ () — (~) (х) ег1 (х) г Г ег~ (х) )— (егг (х) ег~ (х))~) (х)~ — 9ггг~ (х)~) (х)1 = 9г г (х)~)' (х) г1"х ® Таким образом, любую кососимметрическую форму Ь можно представить в виде линейной комбинации 240 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" имеет также место разложение 1( ) (р( ) ) ( ( )р~г( )) г г ( ) г г которое в декартовых координатах выглядит особенно просто: и~(х) = (Г(х), ) = ~ г" (х) йх'.
г=1 Далее, в К~ имеет место равенство 1( ) ~ 2( ) ~тз( ) ~1 ~2 ~3 ~2 ~2 ~2 ь~1~(х)®, ~2) = ~2 ~3 ~з ~з ~2 ~2 ~1 ~2 ~2 +~,2~ ) +~з~ ) откуда следует, что ,ф(х) = $ 1(х) дх2 Л дхз + ~ 2(х) дхз Л дх1 + ~ 3(х) дх1 Л дх2 (12) Аналогично, из разложения по строке определителя и-го порядка для формы ы" получаем следующее разложение: г=1 где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в указанном слагаемом. 3. Внешний дифференциал формы. Все, что было до сих пор сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто алгебраический характер.
Специфической для анализа операцией над дифференциальными формами является операция их (внешнего) дифференцирования. Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого порядка в области Р С К" понимать функции 1": .Р— ~ К, определенные в этой области. ~ 5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 241 Определение 2. (Внешним) дифференциалом от 0-формы ~ в случае, если ~ — дифференцируемая функция, называется обычный дифференциал ф от этой функции. Если заданная в области Р С К" дифференциальная р-форма 1р > 1) имеет дифференцируемые коэффициенты а„г„(х), то ее (внешний) оифференциал есть форма Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего произведения 1-форм, заключаем, что ~гг...гл~ ) ~ г ~ гг 1 гр д~г = с~ггг гр(~) ~1~ Л ~1~ Л ° .
° И ~1~ т.е. ~внешний) дифференциал от р-формы (р > О) всегда есть форма степени р+ 1. Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальной р-формы в области Р С К", как теперь можно понять, слишком общо, поскольку никак не связывает формы ы(х), соответствующие различным точкам области Р, Реально в анализе используются лишь формы, коэффициенты а„, г„(х) координатного представления которых являются достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемыми) функциями в области Р.
Порядок еладкости формы ы в области Р С Кгг принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее коэффициентов. Совокупность всех форм степени р > 0 с коэффициентами класса С~~)(Р, К) чаще всего обозначают символом Й" (Р, К) или Йр. Таким образом, определенная нами операция дифференцирования форм осуществляет отображение д: Й" -+ Й"+1.
Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров. Пример 9. Для 0-формы ы = ~(х, у, я) — дифференцируемой функции, определенной в области Р С ~~, — получаем д~ д~ д~ ого = — Йх + — ф + — гЬ. дх ду дя 242 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Я" Пример 10. Пусть ы(х, у) = Р(х, у) сЬ + Я(х, у) Иу — дифференциальная 1-форма в области Р пространства К, наделенг ного координатами (х,у).
Считая Р и Я дифференцируемыми в Р функциями, в соответствии с определением 2 получаем ды(х, у) = АР Л сЪ + сЦ Л Иу = — сЪ+ Йу Л И~+ Йх+ Иу Л Иу— дР дЯ дЯ дР = — Иу Л Йх + сЬ Л Иу = — — — (х, у) сЪ Л Иу. ду дх дх ду Пример 11. Для 1-формы ю = РЙЖ+ Яду+ ЛИ2', заданной в области .0 пространства К~, получаем сны = — — — Йу Л сЬ + — — сЬ Л сЪ + — — Их Л Иу.
Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы ~ = Р Йу Л й + Я й Л Йх+ В сЬ Л Иу, где Р, Я, Л вЂ” дифференцируемые в области Р С Ф функции, приводит к соотношению дР дЯ дЛ Йы = — + — + — ЙхЛИу ЛсЬ. дх ду д~ Если (х1, х2, хз) декартовы координаты в евклидовом пространс- Е ~З ~ у( ) ~ р( ) (р1 р2 рЗ)( ) ~ у (~т1 [т2 [тЗ)( .) гладкие скалярное и векторные поля в области Р С Кз, то вместе с ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответственно векторные поля д1 д~ д~ ягас1 ~ =,, — градиент скалярного поля ~, (14) з 5.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 243 доз дР2 дР1 доз д~г гоФР = дх2 дхз дхз дх1 дх1 дх2 ротор векторного поля Р (15) и скалярное поле д~г д~з Йч ~ — + + — дивергенция векторного поля ~. (16) О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов теории поля с операцией дифференцирования форм. В евклидовом ориентированном пространстве К~ между векторными полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное соот- ветствие г Заметим также, что любая 3-форма в области В С Кз имеет вид р(х1, хг, хз) сЬ1А дхг Л сиз.
Учитывая эти обстоятельства, можно ввести следующие определения для игаса~, го$ Р, йч ~: Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых координатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16) для игаса ~, го$ Р, йч ~.
Таким образом, перечисленные операторы теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции дифференцирования внешних форм, которая выполняется единообразно на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и дивергенции будет сказано в гл. Х1Ч. 4. Перенос векторов и форм при отображениях. Посмотрим внимательнее на то, что происходит с функциями (О-формами) при отображении областей.
~ н ~о~(= Д ~-+ йо~(= ф) = ы~~ н д:= игаса ~, Р И юу И с6л~у = ы' „и т:= ГОАР, Ъ1 И Ю2 И Сыгы = ~о~ ~-+ р:= йч Г (14') (15') (16') 244 ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Пусть ~р: У вЂ” ~ Ъ» отображение области У с ~~ в область Ъ» С С К". Под действием отображения ~р каждая точка 1 Е У переходит в определенную точку х = ~р(1) области ~». Если на Ъ» определена функция ~, то благодаря отображению ~р: У вЂ” ~ Ъ» на области У естественно возникает полученная из ~ функция ~р*~, которая определяется равенством (~*УН~):= У(И~)) т. е.
чтобы найти значение ~р*~ в точке 1 Е У, надо отправить | в точку х = ~р(1) Е Ъ» и вычислить там значение функции ~. Таким образом, если при отображении ~р: У -+ Ъ» точки области У переходят в точки области Ъ», то множество определенных на Ъ» функций под действием построенного соответствия 1" ~-~ <р*~ отображается (в обратную сторону) в множество функций, определенных на У. Иными словами, мы показали, что при отображении у: У -+ $» естественно возникает отображение ~р*: й~(Ъ») — ~ й~(У), которое преобразует заданные на Ъ» нуль-формы в нуль-формы, определенные на У. Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.
Пусть ~р: У вЂ” ~ Ъ» гладкое отображение области У С Я™ в область Ъ» С К"., ~р'(1): ТЦ вЂ” ~ Т1»~, (р) соответствующее <р отображение касательных пространств, и пусть ы некоторая р-форма в области Г Тогда форме ы можно сопоставить р-форму <р*ы в области У, которая в точке 1 Е У на наборе векторов т1,..., гр Е ТЦ определяется равен- ством Таким образом, каждому гладкому отображению ~р: У вЂ” ~ $» соответствует отображение <р*: Ю($») -+ Ю(У), которое переносит заданные на $» формы в область У. Из соотношения (17), очевидно, следует, что 'Р (~ + ~ ) = 'Р М ) + 'Р М ) у*(Лы) = Лу*ы, если Л е К.
(18) (19) Вспомнив закон (ф о ~р)' = ф' о <р' дифференцирования композиции отображений ~р: У вЂ” ~ Ъ», ф: Ъ» -+ И», из (17) заключаем дополнительно, что (фойер) =ф о<р ~5 НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 245 (естественный обратный ход: композиция отображений ф*: й" (И~) -+ й" (Ъ'), ~р*: й" (Ъ') -+ й" (У)). Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм. дх',, дх' (1)~1, ~г = (1)~г, 3 = 1,..., гг дР ' дР (по 1 суммирование от 1 до т).
Таким образом, ~р*ы(1)(т1, тг):= ы(~р(1))(41, ~г) = дх" Л Их" ®, ~г) = дх 1 — т дх'г 3г д62 Т1 ~21 ~2г ~21 ~2г дх'1 д~. ~г дх'г д~~г ~г т" т" т1 т 31 3г тг = Е дтг1 дтгг дР1 юг 11,1г =1 = Е (дР~ 1<31<юг<т дх" дх" й~' Л й1'(7.1,7г) = дР1 дУг дтг дл дл дРг дог до1 ( а" Ла~г(;,,) = дх'1 дУ1 (~)а» Л а»(т„тг).
дх г д11г дхт1 дУг 1<11<,уг <т Пример 13. В области Ъ' 1. К". возьмем 2-форму аг = с~к" Л сЬгг. Пусть х' = х'ф,..., Г'), г = 1,..., и координатная запись отображения 1р: У -+ Ъ' области У С К~т в Ъ'. Мы хотим найти координатное представление формы ар*11 в У. Берем точку 1 Е У и векторы т1, тг Е ТЦ. В пространстве Т1~ ~1) им отвечают векторы ~1 — — у'(1)71, ~г = 1р'~1)тг, координаты ф,...,~1~), (~г~,..., ~г~) которых выражаются через координаты (т11,..., т1 ), (7г~,..., тг~) векторов т1, тг с помощью матрицы Якоби по формулам 24б ГЛ. ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В й" Следовательно, мы показали, что д~х" х") р*(йх" Л сЬ") = ~~ ' (1) сЮ1 Л сЮ'. д~у1 Р2) 1<,11<,22<пг а„,, Ва) Иа" Л... Л Иа'" 1<г1«...гр<гг д(тг1 ~гр) а„, ВаВВВВ ' ' Йв' Л... Л Игв~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
