Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть ЬЯ(х,1е) полученное в этом процессе веществом тепло, а ЬТ(х, 1е) — изменение температуры вещества. Теплоемкостпью С = С1х,е) вещества (системы), отвечающей состоянию х и направлению е смещения из этого состояния, называется величина С(х,е) = 1пп ЬЯ(х, 1е) ~-~о ЬТ(х, 1е) В частности, если система теплоизолирована, то ее эволюция происходит без обмена теплом с внешней средой.
Это так называемый адиабатический процесс. Отвечающая такому процессу кривая на плоскости состояний Р называется адиабатой. Значит, смещению из данного состояния х в направлении адиабаты отвечает нулевая теплоемкость системы. Смещению по изотерме Т = сопа$ отвечает бесконечная теплоемкость. Особенно часто используются теплоемкости С~ = С(х,е~ ), Ср = С(х, е~ ), отвечающие смещениям по изохоре Ъ' = сопаФ и изобаре Р = сопй соответственно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне состояний данной массы вещества каждую из величин С~, Су можно считать практически постоянной.
Теплоемкости, отвечающие одному малю данного вещества, принято называть моаярными и обозначать (в отличие от прочих) прописными (а не строчными) буквами. Мы будем считать, что имеем дело с одним молем вещества. Между количеством ЬЯ полученного веществом в данном процессе тепла, изменением ЬУ его внутренней энергии и совершенной им механической работой ЬА в силу закона сохранения энергии имеется связь ЬЯ = ЬУ+ ЬА.
Таким образом, при малом смещении 1е из состояния х Е Р полученное веществом тепло можно найти как значение формы бЯ:= <Ш + Р Ж' в точке х на векторе ~е Е ТР, (формулу РВУ работы см. в задаче 5с)). Значит, если координатами состояния считать Т и Ъ; а в качестве параметра при смещении (в неизотермическом направлении) принять Т, то можно написать, что ЬЯ дУ дУ ИЪ' Л' 0 ЬТ дТ д~' йТ йТ' Производная —,~ определяет направление смещения из состояния х Е Р <11г плоскости состояний с координатами Т, К В частности, если 11, = О, то <11г смещение идет в направлении изохоры Ъ' = сопа1, и мы получаем, что С~ ~1.
ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 267 дс' = ~7;. Если Р = сопят, то —,~1, — — ~ ~ (в общем случае Ъ' = У(Р,Т)— <Л' /дЪ'~ Р=соп8$ это разрешенное относительно Ъ' уравнение состояния ~(Р, Ъ; Т) = 0). Значит, С = + +Р где индексы Р, Ъ', Т в правой части указывают параметр состояния, фикси- руемый при отыскании соответствующей частной производной. Сопоставляя полученные выражения для С1 и С~, видим, что С, — С~= ~ +Р Экспериментами на газах (опыты Джоуля' ) — Томсона) установлено и затем постулировано в модели идеального газа, что его внутренняя энергия У зависит только от температуры Т, т. е. ~~) = О.
Таким образом, для иде/дУ~ т ального газа Су — С1 = Р ~~7;) . Учитывая, что для моля идеального газа /дЪ'~ ) ° РЪ' = ВТ, отсюда получаем соотношение Ср — С1 = В, называемое в термодинамике уравнением Майера~) . То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры, позволяет записать форму бЯ в виде дУйТ+Рй'= С1 ЙТ+ Рйу. Р Ъ' бЯ = Ср — сЛ~+ Су — ЮР. В В а) Напишите формулу для количества Я тепла, получаемого молем газа при изменении его состояний вдоль пути 7 плоскости состояний .Е Ь) Считая величины С~, С1 постоянными, найдите величину Я, отвечающую каждому из путей уо~г, уокер, аког, указанных в пункте Ь) задачи 5.
с) Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через точку (~о, Ро) плоскости состояний Р с координатами Ъ', Р (Пуассон нашел, '~Дж.~.Джоуль (1818 — 1889) — английский физик; открыл закон теплового действия тока, а также определил независимо от Майера механический эквивалент теплоты. ~~Ю. Р. Майер (1814 — 1878) — немецкий ученый, врач по образованию; высказал закон сохранения и превращения энергии, нашел механический эквивалент теплоты. Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути у изменения его состояний, надо, следовательно, найти интеграл от формы С~ йТ+ + РВУ по у. Эту форму иногда удобно иметь в переменных Ъ', Р. Если воспользоваться уравнением состояния РЪ' = ВТ и соотношением С~ — С1 = В, то получим 268 ГЛ.
Х1П. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ что на адиабате РЪ'~р " = сопа$. Величина Ст /С~ называется адиаоатпиче- с 1с ской постпоянной данного газа. Для воздуха Ст /С1~ и 1,4.) Вычислите после этого работу, которую необходимо совершить, чтобы теплоизолированный от внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии (~ о, Ро), поместить в объем Ът — — 21'о.
1 7. Напомним, что цикл Карно~) изменения 1 состояния рабочего тела тепловой машины (например, газа, находящегося в цилиндре под поршнем) состоит в следующем (рис. 86). ИмеТ ются два энергоемких тела, нагреватель и холо- дильник (например, паровой котел и атмосфе- 4 2 ра), находящиеся при постоянной температуре Т~ и Тг соответственно (Тт > Тг). Рабочее тело 3 (газ) рассматриваемой тепловой машины, имея в состоянии 1 температуру Тт, приводится в контакт с нагревателем и за счет уменьшения внешнего давления по изотерме квазистатически расширяется и переводится в состояние 2. При этом машина заимствует от нагревателя тепло Ят и производит механическую работу Атг против внешнего давления. В состоянии 2 газ теплоизолируют и заставляют квазистатически расширяться до состояния 3, пока его температура не достигнет температуры Тг холодильника.
При этом машина также совершит некоторую работу Агз против внешнего давления. В состоянии 3 газ приводят в контакт с холодильником и путем увеличения давления изотермически сжимают до состояния 4. При этом над газом совершается работа (сам газ совершает отрицательную работу Аз4) и газ отдает холодильнику некоторое количество тепла Яг. Состояние 4 выбирается так, чтобы из него можно было вернуться в исходное состояние 1 квазистатическим сжатием газа по адиабате.
Итак, из состояния 4 газ возвращают в состояние 1. При этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет отрицательную работу А4т). В результате описанного кругового процесса (цикла Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, не изменится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная машиной работа равна А = Ад + Агз + Аз4 + А4т — — ф — Яг. Полученное от нагревателя тепло Ят лишь частично пошло на совершение работы А. Величину тт = = — ~~~ естественно назвать козффициентпом А Я вЂ” Я %1 полезноао дейстпоия рассматриваемой тпепловой машины. а) Используя результаты, полученные в пп.
а) и с) задачи 6, покажите, что для цикла Карно имеет место равенство ~ф- = ~~2. г цН.Л. С. Карно (1796 — 1832) — французский инженер, один нз родоначальников термодинамики. ~2. ФОРМА ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 269 Ь) Докажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Карно. Коздтдтициентп полезного дейстпвия тпепловсй машины, работпатои4ей по ииклу Карно, зависитп тполько отп тпемператпур Т1 и Т~ нагреватпеля и холодильника (но не зависит от устройства машины и вида ее рабочего тела). 8.
Пусть ~ — замкнутый путь в плоскости Р состояний рабочего тела произвольной тепловой машины (см. задачу 7), отвечающий замкнутому циклу ее работы. Количество тепла, которым рабочее тело (например, газ) обменивается с внешней средой,и температура,при которой происходит теплообмен, связаны фундаментальным неравенстпвом Клаузиуса /'-~+ < О. Здесь бЯ— бО форма теплообмена, о которой говорилось в задаче 6. а) Покажите, что для цикла Карно (см. задачу 7) неравенство Клаузиуса обращается в равенство.
Ь) Покажите, что если рабочий цикл 7 может протекать и в обратном направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство. с) Пусть у1 и у2 — те участки пути у, на которых рабочее тело тепловой машины соответственно получает тепло извне и отдает его в окружающую среду. Пусть Т1 †максимальн температура рабочего тела на участке у1, а Т~ — (его) минимальная температура на участке 'у2 цикла у.
Наконец, пусть Я1 полученное на участке у1 тепло, а Я2 — тепло, отданное на участке у2. Исходя из неравенства Клаузиуса, покажите, что ~~Я < 7~. о. т 1 1 й) Получите оценку тт < -~-~, †-'- коэффициента полезного деиствия (см. т — т 1 задачу 7) любой тепловой машины. Это — вторая теорема Карно. (Оцените заодно к. п. д. паровой машины, в которой максимальная температура пара не превышает 150'С т.
е. Т1 — — 423 К, а температура холодильника окружающей среды — порядка 20'С, т. е. Т2 — — 291К). е) Сравните результаты задач 7Ь) и 8 й) и проверьте, что тепловая машина, работающая по циклу Карно, имеет наибольший (в пределах возможного при заданных значениях Т1 и Т2) коэффициент полезного действия. 9. Дифференциальное уравнение ~У- = ~ называют уравнением с раздех дф ляющимися переменными.
Обычно его переписывают в виде д(у) с~у = Дх) с~х, в котором «переменные разделены», и затем «решают», приравнивая перво- образные / д(у) с~у = / Дх) с~х. Используя язык дифференциальных форм, дайте теперь развернутую математическую аргументацию этому алгоритму. ~ 2. сЬорма объема, интегралы первого и второго рода 1. Масса материальной поверхности. Пусть Я материальная поверхность в евклидовом пространстве )~". Предположим, что нам известна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на поверхности Я. Требуется определить массу всей поверхности Я.
270 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Для решения задачи прежде всего надо учесть, что поверхностная плотность р(х) в точке х Е Я есть предел отношения массы Ьт части поверхности, попавшей в окрестность точки х, к площади Ьп этой же части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х. Разбив поверхность Я на мелкие доли Яг и считая р непрерывной функцией на Я, можно, пренебрегая изменением р в пределах каждой малой доли, найти массу Яг из соотношения ~~Пг р(хг)~~г~ в котором Ьпг площадь поверхности Я„а хг Е Яг. Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при измельчении разбиения, получим, что т = рот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
