Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Л Йх" (суммирование по г = 1,..., Й с пропуском ди ренциала х ), то ~ ) до а '), ~11) статочно доказать для каждого слагаемого ах' Л... Л ах' Л... Л ах~. Тогда Йо = в отдельности. Пусть 1о = а(х) ах Л... — 1 ~",( )а 1 Л... Л ах' Л...
Л ах~. Теперь проведем выкладку: Дх' 1 да с~ '... ах' ... ах" (х) дх' = дх' уй — 1 0 = ( — 1)' (а(х,...,х,1,х,..., )— г — 1 1 г — 1 г+1 Хй1 — ( ' ' ' 0 х'+' х")) дх' сЬ' дх" = Ъ ~~ — 1 ~~1 ~ъ — 1 ~ъ ~Ус — 1) ~~1 ~~Ус — 1 (1 ~г — 1 1 ~г ~й — ) Ц1 Ц~ — 1 ж ток в К" Здесь такой 3 1~ 1 ой же только (Й вЂ” 1)-мерный промежуток в К е еменные х как и в ;кр 1" К" к оме того, мы здесь переобозначили переменные х ) ~1 л — 1 ~г — 1 л+1 ~г 1с ~й — 1 Отображения уй уй ~ 3.
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 295 а вместе с ней и формула (11) доказаны. ~ Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона— Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и серии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности, суть параметризации соответственно верхней Г,1 и нижней Гд~ граней промежутка 11С, ортогональных оси Ох'.
Эти координаты на обеих гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер е1,..., е, 1с е,+1,..., е1С, отличающиися от репера е1,..., е1С, пространства К отсутствием вектора е,. Вектор е, на грани Г,1 является внешней по отношению к 1" нормалью, как и вектор — е, для грани Г,о.
Репер е„е1,..., е, 1, е,+1,..., е1С, переходит в репер е1,..., е1С, пространства К после й г — 1 перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа ( — 1)' 1. Таким образом, указанная параметризация задает на Г,1 ориентацию, которая 1с превращается в ориентацию Г,1, согласованную с ориентациеи 1, если ее взять с поправочным коэффициентом ( — 1)' 1 (т.е.
не менять при нечетном г и менять при четном г). Аналогичные рассуждения показывают, что для грани Г,о придется взять поправочный коэффициент ( — 1)' к ориентации, заданной предьявленной параметризацией грани Гд~. Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы 1с от формы ы по граням Г,1 и Г,о промежутка 1, взятым с ориентациеи, индуцированной на них ориентацией промежутка Х". Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней промежутка 1 постоянна одна из координат х,..., х,х,...,х .
Значит, 1с 1 г — 1 г+1 й э соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на такой грани. Таким образом, форма Й ~ тождественно нулевая и интеграл от нее равен нулю по всем граням, отличным от Г,о, Г,1. Значит, найденную выше сумму интегралов по этим двум граням можно интерпретировать как интеграл от формы ы, взятый по всему краю д1" промежутка 1", ориентированному согласованно с ориентацией самого промежутка 1".
Формула 29б ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и перенос. Формулы (1), (6), (10) Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если заданную на отрезке [а,б) С К функцию ~ интерпретировать как 0-форму ы, а интегралом по ориентированной точке от 0-формы считать значение функции в этой точке, взятое со знаком ориентации точки, то саму формулу Ньютона — Лейбница тоже можно рассматривать как простейший (но независимый) вариант формулы (11). Следовательно, фундаментальное соотношение (11) справедливо во всех размерностях Й>1.
Формулу (11) обычно называют общей формулой Стокса. В качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из предисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы. «Впервые формулировка теоремы1) появилась в виде приписки к письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу, датированному 2 июля 1850 г. Опубликована она была в качестве восьмого вопроса к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен, которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики Кембриджского университета, с 1849 по 1882г.
проводился профессором Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен как теорема Стокса. Современниками Стокса были даны по крайней мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме». С тех пор именем Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о ценности обобщений».
Отметим, что современный язык форм восходит к Эли Картану~), а вид (11) общей формулы Стокса для поверхностей в ~", по-видимому, впервые предложил Пуанкаре. Для областей и-мерного пространства ~" формулу знал уже Остроградский, а первые дифференциальные формы написал Лейбниц. Таким образом, общую формулу Стокса (11) не случайно порой ЦИмеется в виду классическая формула Стокса (10) ~~Эли Картан (18б9 — 1951) — выдающийся французский геометр. ~ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 297 Пример 5. Покажем, что любое гладкое отображение 1:  — ~ В замкнутого шара В с ~™ в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. ~ Если бы отображение 1' не имело неподвижных точек, то, как и в примере 2, можно было бы построить гладкое отображение р:  — ~ дВ, тождественное на сфере дВ.
В области ~™ ~ О рассмотрим векторное поле — ~~„где г — радиус-вектор точки х = (х1,...,х'и) е К"' ~ О, и отвечающую этому полю форму потока г с™ ( — 1)' ~х'их Л... Л их' Л... Л ихп' ,и Й ~~.~т ' ~ 1)2 „)2~т(2 (см. формулу (8) из ~2). Поток такого поля через границу шара В = = 1х Е К ~ ~х~ = 1) в сторону внешней нормали к сфере дВ, очевидно, равен площади сферы дВ, т.е.
/ ы ~ О. Но, как легко проверить прямой дВ выкладкой, й.~ = О в ~™ ~ О, откуда с использованием общей формулы Стокса, как и в примере 2, следует, что Полученное противоречие завершает доказательство. ° Задачи и упражнения 1. а) Изменится ли формула (1) Грина, если перейти от системы координат х, у к системе координат у, х? Ь) Изменится ли при этом формула (1")? 2. а) Докажите, что формула (1) остается в силе, если функции Р, Ч непрерывны в замкнутом квадрате 1, их частные производные ~ —, непре- дР дЯ рывны во внутренних точках квадрата 1, а двойной интеграл из формулы (1') существует хотя бы как несобственный.
называют формулой Ньютона — Лейбница — Грина — Гаусса — Остроградского — Стокса — Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это еще далеко не полное ее название. Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, полученный в примере 2. 298 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ь) Проверьте, что если граница компактной области.Р состоит из кусочно гладких кривых, то в аналогичных указанным в а) предположениях формула (1) остается в силе.
3. а) Проведите подробно доказательство равенства (2'). Ь) Покажите, что если граница компактной области Р С 1~~ состоит из конечного числа гладких кривых, имеющих лишь конечное число точек перегиба, то Р— простая область по отношению к любой паре координатных осей. с) Верно ли, что если граница плоской области состоит из гладких кривых, то в К2 можно так выбрать оси координат, что по отношению к ним она окажется простой областью? 4. а) Покажите, что если функции Р, ~ в формуле Грина таковы, что — д — — — 1, то площадь п(Р) области Р можно находить по формуле п(Р) = дО дР 1' Р йх + ~ дУ. дР Ь) Выясните геометрический смысл интеграла / у дх, взятого по некоторой (быть может, и незамкнутой) кривой на плоскости с декартовыми координатами х, у. Исходя из этого, вновь истолкуйте формулу п(Р) = — 1' у пх. дй с) В качестве проверки последней формулы найдите с ее помощью площадь области 2 2 Р = (~ у) Е К вЂ” 2+ — 2 (1 а2 5.
а) Пусть х = х(1) — диффеоморфизм области Р~ С 2~ на область Р С С 22. Используя результаты задачи 4, а также независимость криволинейного интеграла от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что дх = ~х'(~) ~ й, Р~ Р~ где дх = дх' дх2, ю = й' дд, ~х'(~) ~ = бес х'(~). Ь) Выведите из а) формулу замены переменных в двойном интеграле. 6. Пусть Дх, у, 1) — гладкая функция, удовлетворяющая в области определения условию ~~~-) + ~ф) ~ О. Тогда при каждом фиксированном значении параметра ~ уравнение Дх, у, ~) = О задает кривую ~, в плоскости 1~~. Так на плоскости возникает семейство ~ ~~) кривых, зависящих от параметра 1. з 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 301 1') Опробуйте указанную в е) формулу, отыскав по ней объем эллипсоида хз 2 гз * +У,+ <1.
я) Как выглядит и-мерный аналог формул, указанных в й) и е)? 10. а) Используя формулу Гаусса — Остроградского, проверьте, что поток поля т(т (где г — радиус-вектор точки х Е К~, а т = ~г~) через гладкую, гомеоморфную сфере поверхность Я, охватывающую начало координат, равен потоку этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы ~х~ = е. Ь) Покажите, что указанный в а) поток равен 4т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
