Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ясно, что компоненты координатного представления этих полей в декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело бы переменные компоненты. Ь. После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о задании векторных полей в криволинейных системах координат более формально.
Прежде всего напомним, что система криволинейных координат 1~, Р, ~з в области 1? с Ф это диффеоморфизм <р: 1?~ — ~ 1? области 1?~ евклидова пространства параметров К~а на область 1?, в результате ко- ~ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 315 ( т,т) = <<р'(г)т,<р~(г)т) = т', т~ дрИ), дрИ), — — Яттт~ = <~„~г) Яттт~ = д, (1) й'(т) сЮ(т).
дф дф Квадратичная форма сЬ = д, ® сЫ' юг, (25) коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение торого каждая точка х = <р(1) Е 1? приобретает декартовы координаты 11, 12, 1з соответствующей точки 1 Е 1?г. Поскольку <р диффеоморфизм, касательное отображение <р'(1) ТКг — > ТК является изоморфизмом векторных пространств. Ка*=~(г) ноническому базису ~1(1) = (1,0,0), ~2(г,) = (0,1,0), ~з(1) = (0,0,1) пространства ТУ~~ отвечает базис пространства ТКз состоящий *=~(г) ' из векторов ~,(х) = <р'(1)~,(1) = Р,, г = 1,2,3, координатных направлений.
Разложению А(х) = а1~1(х) + а2~2(х) + аз~а(х) любого вектора А(х) е ТК~. по этому базису отвечает такое же разложение А(1) = а1~1(1) + а2~2(1) + аз~а(1) (с теми же компонентами а1, а2, аз!) вектора А(1) = (<р') 1А(х) по каноническому базису ~1(1), ~2(1), ~з(1) в ТКз~. При отсутствии евклидовой структуры в Кз числа а1, а2, аз составили бы наиболее естественную координатную запись вектора А(х), связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат. с. Однако принятие такого координатного представления не вполне соответствовало бы тому, о чем мы договорились в примере 4.
Дело в том,что базис ~1(х), ~г(х), ~з(х) пространства ТР~~, соответствующий каноническому базису ~1(1), ~2(г), ~з(1) в ТКгз, хотя и состоит из векторов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из о рт о в этих направлений, т. е., вообще говоря, <~„~,) (х) у~ 1. Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием структуры евклидова пространства в К и, следовательно, в каждом векторном пространстве ТК~.. Благодаря изоморфизму <р'(г): ТКг — > ТР~ ® в ТЯ можно перенести евклидову структуру пространства ТК~., положив для любой пары векторов т1, т2 Е ТВ~ <т1, т2):= (~р'т1,~р'т~) .
В частности, для квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение: 3 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 317 гональной системы (26) следующее координатное представление в ТК~: 1 1 1 е1(1) =,0,0, е2(1) = 0,,0, е3(1) = 0,0, . (27) Пример 6. Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает, что для декартовых, цилиндрических и сферических координат тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий вид: (27') е, = (1,0,0), е„= (1,0,0), ед — — (О, 1,0), е, = (0,0,1); е, = (О, О, 1); е„= (О,—,О), е = (О,,О), (27") ев = 0,0, — (27в) ео = (1,0,0), Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор поля раскладывается по базису, состоящему из о р т о в координатных направлений. Значит, отвечающий вектору А(х) Е ТК~.
поля вектор А(1) Е Т2~3 следует раскладывать не по каноническому базису ~1(1), ~2 (1) ~3 (1), а по базису е1 (1), е2 (~), е3 (~), состоящему из ортов координатных направлений. Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства ~~, можно считать, что в области Р~ С К~ задана риманова метрика (25) или (26) и векторное поле ~ — + А(~), координатное представление (А, А, А3)(~) которого в каждой точке 1 е Р~ получается в результате разложения А(1) = А'(1)е,(1) соответствующего этой точке вектора А(1) поля по ортам координатных направлений.
с$. Теперь разберемся с формами. Любая форма в Р при диффеоморфизме р: Р~ — + Р автоматически переносится в область Р~. Этот перенос, как нам известно, происходит в каждой точке х Е Р из пространства ТЯ в соответствующее пространство ТВ~. Поскольку мы перенесли в ТВ3~ евклидову структуру из ТЯ, то из определения переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в ТК~ форме ыА~(х) = (А(х),. ) соответствует точно такая же форма ~А~® = (А(1), ) в Т2~, где А(х) = у'(~)А(~).
Это же можно сказать и о формах вида ы~, ы~, не говоря уж о формах ы функциях. 2 3 о После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже можно вести только в области Р~ С Я, отвлекаясь от исходного про- 3 странства ~~, считая, что в Р~ задана риманова метрика (25), заданы 31. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 319 Г. Таким образом, если ~А .— — (А,.) = а1Й1+ а2Й2+ азЙ3, то, с одной стороны, ~~~(ег) = (А,е,) = А', (31) формы ~А, отвечающее разложению А = А'е1+А е2+Азез вектора А.
Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и цилиндрических координатах соответственно ц. Пусть теперь В = В е1+В е2+В ез, аы~~ = 61 Й~ЛЙ~+62Йз Л Л Й1 + бз Й1 Л Й2. Тогда, с одной стороны, гг~Й(Е2 ЕЗ) ' ~~ Щ Е2 ЕЗ) з В'л'(е„е2,ез) = В' (е~,е2,ез) = В', г=1 ы~(е2,ез) = (61 Й Л Й + 62Й ЛЙ + бз Й Л Й )(е2,ез) = = Ь, ~й~ Л й~(е2,ез) = Е2Яз а с другой стороны, как видно из (29), гг~А(е~) — (гг1 Й + гг2 Й + ггз Й )(е~) = %~ ' Ег Следовательно, а, = А'4Е„и мы нашли разложение ыА — — А ъ~е1 Й1 + А ъ~е2 Й2 + А ъ~ез Й А = А,е, + Адей+ А,е, = = А„е„+А,е,+А,е, = = Алея + Арер + Авев, то,как следует из результатов примера 6, и)А — — Ах сЬ + Ар йу + А, сЬ = = А„йт + А т йр+ А, сЬ = = Ад йй + А В сов гр йр + Авй йВ.
где сй1 — форма объема в Т213 (см. (28) и (27)). С другой стороны, из (30) получаем (31') (31//) (31ю) з1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 321 На основании формулы (31) отсюда заключаем, что 1 д~ 1 д~ 1 д~ ~Е1 О~1 ~/Ег гОР /Е д~з <34) д~ д~ д~ ~гас1~ = — е. + — е„+ — е, = дх ду д~ д~ 1 д~ д~ = — е„+ — — е,+ — е, = дт " т д<р д~ д~ 1 д~ 1 д~ ОВ ВсояОЬр ~' Вг дд (34') (34") ~34"') Пусть задано поле А(1) = (А е1 + А ег+ А ез)(~). Найдем координаты В, Вг, В поля го~А(8) = В(8) = (В е1+ В ег+ В ез)(8).
Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем с ~~гос А:= й')А = 4А ~/Е1 Й'+ А ~/Е~ Й + А ~/Ез Й ) = ОАз~/Ез ОА ~/Ег 2 з д~г ОА14Е1 ОАз~/Ез з ОА2,/Ег ОА14Е1 д,, д,, Й а Я1 Яг На основании соотношения (32) теперь заключаем, что 1 ~ОАз~/Ез ОА2~/Ег ,/Е Е ~ д~2 д~з 1 (ОА ~ГЕ~ ОАз ~/Ез ~Е~Е, ~ д~~ д~' з 1 (ОА ~/Ег ОА1 ~/Е1 /Е~Е ~ дР д~2 т. е. ~Е~е1 ~/Егег ~/Езез гоФА = 1 д д д ,/Е,Е,Е, Я~ Я~ д,~ 4Е1 А,/Е2А2 ~/д Аз (35) Пример 11. В декартовых, полярных и сферических координатах соответственно 3 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 323 1 д~ 1 д~ 1 д~ ЫКгас~~ = с1Ы е1+ гег+ зез ,~е1 М ~/ег д~г /ез доз Е2ЕЗ Ю ,ГЕ,Е~Е~ д11 Е1 д6 д ЕзЕ1 Ю д Е1Ег дУ Е д~г д~з Ез Жз (37) Пример 13.
В частности, для декартовых, полярных и сферических координат из (37) получаем соответственно д2У д2У д2У дхг д 2 д22 д дУ 1 д2У д2У т — +— + т дт дт тг д<рг д~г (37") Задачи и упражнения 1. Операторы огай, го1, йч и алгебраические операции. Проверьте следующие соотношения: для р.ас1: а) 7(~+ д) = 7~+ 70, Ь) ~7(у 0) = у~70+0~7у, с) ~7(А В) = (В ~7)А+(А.Ч)В+В х (~7 х А)+А х (~7 х В), Й) ~7 (~~А~) = (А ~7)А ~- А х (~' х А); для го1: е) ~7 х (~А) = ~~7 х А + ~7~ х А, Г) ~7 х (А х.В) = (.В ~7)А — (А ~7)В+(~7 .В)А — (~7 А)В; для Йч: я) ~7 (~А) = ~7~ А+ ~~7 А, Ь) ~7 (А х.В) =.В (~7 х А) — А (~7 х.В) и перепишите их в символах огай, го1, йч. (Указания.
А 7 = Аг — -т+ А — ~2. +Аз — ~з-, В 7 ф 7 В; А х (В х С) = В(А С) — С(А - В).) 1. Соотношения (34), (36) можно использовать для получения записи оператора Лапласа Ь = йчдгас1 в произвольной триортогональной системе координат: 324 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ 2. а) Запишите в декартовых координатах операторы (20) — (22). Ь) Проверьте прямым вычислением соотношения (20), (21). с) Проверьте формулу (24) в декартовых координатах. с1) Запишите формулу (24) через оператор ~7 и докажите ее, используя формулы векторной алгебры. 3. Из рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите, что~ у =-Я.
4. а) Укажите параметры Ламе Н~, Нг, Н3 декартовых, цилиндрических и сферических координат в К3. Ь) Перепишите формулы (28), (34) — (37), используя параметры Ламе. 5. Поле А = дгас1 — „, где т = х~ + у~ + ~~, запишите в 1 а) декартовых координатах х, у, ~; Ь) цилиндрических координатах; с) сферических координатах. с1) Найдите гоФ А и йч А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
