Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 55
Текст из файла (страница 55)
с) Проинтерпретируйте интеграл Гаусса у ~ — н'„- — '"' йя а ~п кек поток поля 5 г(т~ через поверхность 5. з й) Вычислите интеграл Гаусса по границе компактнои области Р С К, рассмотрев как случай, когда Р содержит внутри себя начало координат, так и случай, когда начало координат лежит вне области Р.
е) Сопоставляя задачи 7 и 10 а) — й), укажите и-мерный вариант интеграла Гаусса и соответствующего векторного поля. Дайте и-мерную формулировку задач а) — Й) и проверьте ее. 11. а) Покажите, что замкнутая жесткая поверхность Я С К остается в з равновесии при действии равномерно по ней распределенного давления. (На основании принципов статики задача сводится к проверке равенств О и Йт = 5 = О, Ц~~, п1йт = О, где и — вектор единичной нормали, г — радиус-вектор, 5 ~т,п~ — векторное произведение г и и, ) Ь) Твердое тело объема Ъ' полностью погружено в жидкость, имеющую удельный вес 1. Покажите, что полный статический эффект давления жидкости на тело сводится к одной силе Р величины Ъ; направленной вертикально вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
12. Пусть Г: 1" — ~ Р— гладкое (не обязательно гомеоморфное) отображение промежутка 1" С ~" в область Р пространства К", в которой определена й-форма ~. По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем называть к-путем и положим по определению / и~ = / Г*ил Просмотрите дог казательство общей формулы Стокса и убедитесь, что она верна не только для Й-мерных поверхностей, но и для Й-путей. 13. Используя общую формулу Стокса, докажите по индукции формулу замены переменных в кратном интеграле (принцип доказательства указан в задаче 5 а)).
14. Интегрирование по частям в кратном интеграле. Пусть Р— ограниченная область в К™ с регулярной (гладкой или кусочно гладкой) границей дР, ориентированной внешней единичной нормалью и, = = (п,...,п ). Пусть ~, д — гладкие функции в Р. 302 ГЛ. ХП1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а) Покажите, что Ь) Докажите следующую формулу интегрирования по частям: ГЛАВА ХГК ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ~ 1.
Дифференциальные операции векторного анализа 1. Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматриваются функции х ~+ Т(х), которые каждой точке х фиксированной области Р сопоставляют некоторый специальный объект Т(х), называемый тпензором. Если в области Р задана такая функция, то говорят, что в Р задано тензорное поле.
Мы не намерены здесь давать определение тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной геометрии. Скажем только, что числовые функции Р Э х ~+ Дх) Е К, а также вектор-функции К" Э Р Э х ~+ $'(х) Е ТК" = К" являются частными случаями тензорных полей и называются соответственно скалярным и векторным полем в области Р (эту терминологию мы употребляли и раньше). Дифференциальная р-форма ы в Р есть функция К" > Р Э х ~+ ~-+ ы(х) е .С((К")", К), которую можно назвать полем форм степени р в области Р. Это тоже частный случай тензорного поля. Здесь мы прежде всего будем интересоваться скалярными и векторными полями в областях ориентированного евклидова пространства К". Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных приложениях анализа.
2. Векторные поля и формы в К~. Напомним, что в евклидовом векторном пространстве К со скалярным произведением (, ) между линейными функциями А: К~ — ~ К и векторами А Е Кз имеется со- 304 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ 4( )(4) =(А( ) Ю ~в (х) (6, 4г) = ( В (х), 6, 4г), () (2) где А(х), .В(х), ~, ~1, ~г Е ТР .
Мы видим уже знакомые нам форму работы ы = ы4 векторного 1 1 поля А и форму потока ~~ = ~~~ векторного поля В. Скалярному полю ~: Р -+ К можно следующим образом сопоставить О-форму и 3-форму в Р: о з ~,л, (3) (4) где дЪ' элемент объема (форма объема) в ориентированном евклидовом пространстве ~~. ответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид А(~) = (А, ~), где А вполне определенный вектор из Ф. Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная функция В: Ф х Кз -+ К однозначно записывается в виде В®, ~г) = = (В,~1,~г), где .В некоторый, вполне определенный вектор из ~к, а (.В, ~1, ~г), как всегда, смешанное произведение векторов .В, ~1, ~г или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном пространстве Кз с каждым его вектором можно указанным способом связать линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной формы равносильно заданию соответствующего вектора в ~~. Если в К~ имеется скалярное произведение, то оно естественным образом возникает и в любом касательном пространстве ТР~~„состоящем из векторов, приложенных к точке х Е К, а ориентация К ориентирует каждое пространство ТР.'„. Значит, если в ТР~~ задать 1-форму ы~(х) или 2-форму ы~(х), то при перечисленных условиях это равносильно заданию в ТУ~~ некоторого вектора А(х) Е ТР~~„соответствующего форме ы~ (х), или вектора .В(х) Е Т'Я."„, отвечающего форме ы~(х). Следовательно, задание в некоторой области Р ориентированного евклидова пространства Ф 1-формы ы1 или 2-формы ыР равносильно заданию в Р соответствующего форме векторного поля А или .В.
В явном виде это соответствие состоит в том, что ~1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 305 Ввиду соответствий (1) — (4) операциям над формами отвечают определенные операции над векторными и скалярными полями. Это наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно. ~ Утверждение 1, конечно, очевидно. Приведем, однако, например, для 1-форм полную запись доказательства: с~1~'~А1 + с~2~'~Аг с~1 ( ~1 ' ) + с~г ( ~2~ ' ) 1 1 1 = (с~1А1+ с~гАг, ) = ~оа,А +агАг' ~ Из доказательства видно, что о1 и ог можно считать функциями (не обязательно постоянными) в области Р задания форм и полей.
Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми символами (, ), [, ~, скалярное и векторное произведения векторов А и .В в Кз, когда это будет удобно, обозначать соответственно через А.ВиАхВ. утверждение 2. Если А, .В, А1, Аг — векторные поля в евклидовом ориентированном пространстве Кз, то 1 1 2 ОА, Л ЫАг ~"А1хАг 1 2 3 А Л ы~ — ыА (5) (6) Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных полями А1, Аг, отвечает векторное произведение А1 х Аг этих полей, поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму. В этом же смысле внешнему произведению 1-формы ыА и 2-фор- 1 мы 1о~, порожденных векторными полями А и .В соответственно, отг вечает скалярное произведение А .В этих полей.
~ Для доказательства фиксируем в Ф ортонормированный базис и отвечающую ему декартову систему координат х, х, х . В декартовых координатах г=1 утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой степени отвечает линейная комбинация соответствующих им векторных или скалярных полей. 306 ГЛ. Х1У. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ т.
е. 1 с~х1 + Аг с~хг + Аз сиз (7) В1( .) В2( .) ВЗ( .) ~г ~з ~2 ~2 ~2 с~в(х)® 42) = В1( ) ~ 2 Л ~ 3 + В2( ) ~ 3 Л ~ 1 + ВЗ( ) ~ 1 Л ~ 2)(~ ~ ) т. е. =В с~х Лс~х +В с~х Лс~х +В с~х Лс~х. (8) Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8), получаем с~.~, Л ы.~, — — (А1 с~х' + А1 с~х + А1с~х ) Л (Аг с~х + Аг с~х + Агах ) = = (А1А2 — А1А2)с~х Лс~х +(А1А2 — А1А2)с~х Лс~х + + (А1Аг гАгАг1) сЬ'1 Л сЬ.г ~гВ где .В = А1 х Аг. Координаты были использованы при доказательстве лишь для того, чтобы проще было найти вектор .В соответствующей 2-формы. Само же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит. Аналогично, перемножив равенства (7) и (8), получим (А1В1+А2В2+АЗВЗ) У 1Л У 2Л У 3 3 Р' = А(х) . В(х). 1» В декартовых координатах с~х1Лс~х Лс~х есть форма объема в Кз, а стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений координат векторов А и .В есть скалярное произведение этих векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что р(х) = З 1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 307 3. Дифференциальные операторы дгаг1, гоФ, Жч и ~7 Определение 1. Внешнему дифференцированию О-форм (функций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом пространстве Кз отвечают соответственно операции нахождения ерадиента (ягаг1) скалярного поля, ротора (го1) и дивереенции (йч) векторного поля, определенные соотношениями .~ о У Цгас1,11 .г 14~оА ~го1 А ~ г . з а в ° ыж в. (9) (10) (11) 0 ~с)у 1 ~оА г 'ов з ~с) =.1, А1 ~ 1+А2 ~ 2+АЗ ~ 3 = В ах Лах +В ах Лах +В ах Лах, = рах Л ах Л ах~.
(3') (7') (8') (4') Поскольку ~с) 1-~д г" .'= Йс)у = ~~ = дх + — 2 дх + дх 0 Ю 1 дУ г Ю з дх1 д г д з то из (7') следует, что в этих координатах д~ д~ д~ ягаг1,1' = е1 — + ег + ез —, дх1 дх2 дхз~ (9') фиксированный в Кз ортонормированный базис. ГДЕ Е1, Ег, ЕЗ 11 — 4574 В силу установленного равенствами (1) — (4) соответствия между формами, скалярными и векторными полями в Кз, соотношения (9)— (11) являются корректным определением операций егаг1, го1 и йч, выполняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями.
Эти операции, или, как говорят, операторы теории поля, отвечают одной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой к формам различной степени. Укажем сразу же явный вид этих операторов в декартовых координатах х,х,х пространства Кз. Как мы выяснили, в этом случае 308 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Поскольку ы„„~ .— — ды.~ — — с~(А с~х + А с~х + А с~х ) = то из (8') следует, что в декартовых координатах Для запоминания последнее соотношение часто записывают в следующем символическом виде: Е1 Е2 ЕЗ гоФА = д д д А1 А2 АЗ (10") Далее, поскольку 3 . ~ 2 ~(д1 ~ 2 ~ ~ 3 д2 ~ 3 ~ ~ 1 дЗ ~ 1р ~ 2) дд1 дд2 ддЗ вЂ” + + сЬ Лс~х Лдх то из (4') следует, что в декартовых координатах дд1 дд2 АЗ Дх1 + Дх2 ДхЗ' (11') Из полученных формул (9'), (10'), (11') видно, что огай, го1 и с11ч являются линейными дифференциальными операциями (операторами).
Оператор огай определен на дифференцируемых скалярных полях и сопоставляет им векторные поля. Оператор го1 тоже векторнозначен, но определен на дифференцируемых векторных полях. Оператор йч определен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в соответствие скалярные поля. ~ 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 309 Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме). 1. ЙчЕ = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
