Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Однако физическая интерпретация равенства (5') как закона сохранения массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть справедливо всегда. Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в начале координат величины йч Е из примера 2. Формально в начале координат не определено и исходное поле Е', но, если искать йчЕ, исходя из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать, что йчЕ(О) = +ос. Значит, под интегралом в правой части (5) оказалась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала координат вообще нет зарядов, а весь заряд д мы умудрились поместить в нулевой объем в одну точку О, в которой плотность заряда, естественно, стала бесконечной.
Мы сталкиваемся здесь с так называемои о (дельта)-функцией Дирака1). ~П. А. М. Дирак (1902 — 1984) — английский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Подробнее о 6-функции Дирака будет сказано в гл. ХЪ'П, 3 4, п.4 и 35, п.4. 3 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 331 Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы, взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет нужды определять отдельно Д-функцию как функцию точки, важнее определить интеграл от нее.
Если считать, что физически «функция» д~,(х) = Д(х0, х) должна отвечать плотности такого распределения, например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена только в одной точке х0, то естественно положить, что 1, когда х0 Е Ъ; 0(х0, х) сЛ" = О, когда х0 ф К Ь.
Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного поля начнем со следующего примера. Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг фиксированной оси (пусть это ось Оя). Найдем ротор поля о линейных скоростей точек простран- Таким образом, с точки зрения математической идеализации представлений о возможном распределении физической величины (массы, заряда, и т. п.) в пространстве, следует считать, что ее плотность распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора сингулярных «функций» (типа 0-функции Дирака), отвечающих сосредоточению величины в отдельных точках пространства. Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства йч.Е(х) = = -'~~5(О; х).
Тогда применительно к полю .Е интеграл в правой части соотношения (5') действительно оказывается равным либо д/я0, либо О, в зависимости от того, содержит ли область Ъ' начало координат (и сосредоточенный в нем заряд) или не содержит. В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме электрических зарядов, содержащихся в теле.
В этом же смысле надо трактовать плотность р распределения электрического заряда в системе уравнений Максвелла, рассмотренной в 3 1 (формулы (12)). 332 ГЛ. Х1Ъ". ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ ства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент времени). В цилиндрических координатах (т,<р,я) поле и(т,<р,я) имеет простую запись: и(т, <р, я) = рте, .
Тогда по формуле (35") из 3 1 сразу находим, что го$ о = 2ые . То есть го1 о в данном случае является вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина 2ы с точностью до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а направление вектора, с учетом ориентации всего пространства К~, вполне определяет и направление вращения. А дв дЯ,(х) (го1А) е; = 1пп д-+О К (х) (7) где через Я,(х) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким образом, отнесенная к единице площади циркуляция поля А на окружности дЯ, в плоскости, ортогональной г-й координатной оси, характеризует г-ю компоненту вектора го$ А. Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого те- Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх).
Таким образом, ротор векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в окрестности этой точки. Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве характеристики завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне описать завихренность поля в окрестность точки, придется считать циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях.
Реализуем сказанное. Возьмем круг Я,(х) с центром в точке х, лежащей в плоскости, перпендикулярной к направлению г-й координатной оси, г = 1, 2, 3. Ориентируем К(х) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт е, этой координатной оси. Пусть д диаметр Я,(х). Из формулы (4) для гладкого поля А сразу получаем, что ззз з 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ с. Градиент. О градиенте скалярного поля, т.е. попросту о градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили, поэтому здесь остается только напомнить главное.
Поскольку ы~,~,~ (~) = (~гас1~,~) = ф(~) = Р~~, где Р~~ производная функции ~ по вектору ~, то вектор огай~ ортогонален поверхностям уровня функции ~, указывает в каждой точке направление наиболее быстрого роста значений функции, а его величина ~ огай Д дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой измеряются смещения в пространстве изменения аргумента). О градиенте как плотности будет сказано ниже.
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы а. Векторные варианты формулы Гаусса — Остроградского. Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей, аналогичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно получить из следующих классических формул векторного анализа, связанных с формулой Гаусса — Остроградского: Г ~7 .Всй1 = Йт .В (теорема о дивергенции), Ъ' дЪ' ~7 х АсЛ1 = йт х А (теорема о роторе), (8) (9) ла. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально линейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если н имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростеи точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости и направление вращения вокруг мгновенной оси.
То есть ротор полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рассматривать как некоторую плотность распределения локальных вращений среды. 334 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ (10) йт дЪ'(х) ~7 В(х) = 1пп а-+о ~1(х) йт х А д[ '(х) ~7 х А(х) = 1пп а-+0 ~1(х) ~7~(х) = 1пп дЪ'(х) а-+0 $'(х) (6') (12) Правые части равенств (8) — (10) можно интерпретировать соответственно как скалярный поток векторного поля Ю, как векторный поток векторного поля А и как векторный поток скалярного поля 1" через поверхность д~1, ограничивающую область $'.
Тогда величины ЖчЮ, го$ А, дгас1 1", стоящие в левых частях равенств (6'), (11), (12), можно интерпретировать как соответствующие плотности распределения источников этих полей. Заметим, что правые части соотношений (6'), (11), (12) не зависят от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвариантности градиента, ротора и дивергенции. Ь. Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как формулы (8) — (10) были результатом совмещения формулы Гаусса — Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает в качестве первого из этих трех соотношений). Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений совпадает с равенством (5') и является формулой Гаусса — Остроградского.
Векторные равенства (9), (10) вытекают из (8), если применить эту формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля. Сохраняя те же обозначения $'(х), И, что и в равенстве (6), из формул (8) — (10) единообразно получаем 335 ~ 2. ИНТЕГРА ЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ йт. (~7 х А) = сК8 А, Я дЯ Г (йтх~7) хЮ= ИвхЮ, Я дЯ Г йт х ~7~ = И8~. Я дЯ (13) (14) (15) Формулы (14), (15) вытекают из формулы Сто лы Стокса,13 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
