Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Пример 10. В противовес примеру 9 возьмем в качестве области Р полноторие. Для полнотория группа л1(Р) не тривиальна (см. пример 7), а л2(Р) тривиальна, поскольку любое отображение |": Я2 -+ — + Р двумерной сферы в Р в пределах Р стягивается в постоянное (образ сферы стягивается в точку). В этой области не всякое безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором некоторого поля. Задачи и упражнения 1. Покажите, что любое центральное поле А = ~(т)т потенциально. 2.
Пусть Е = — вегас| У вЂ” потенциальное силовое поле. Покажите, что положения устойчивого равновесия частицы в таком поле находятся в точках минимума потенциала У этого поля. 3. Для электростатического поля Ж система уравнений Максвелла Я 1, (12)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений ~7 Г = ~-, ~7 х Ж = О. Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в области Р = Ф ~ О всякая замкнутая 1-форма точна (Кз ~ Π— одно- связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точной. На языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А в Ф ~ О является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В без источников (йч.В = О) является в этой области ротором некоторого поля.
352 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Условие ~7 х Е = О, по крайней мере локально, подразумевает, что Е = = — ягас1 у. Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое электростатическое поле есть сумма (или интеграл) таких полей, то оно тоже всегда потенциально.
Подставляя .Е = — ~7у в первое из уравнений электростатического поля, получим, что его потенциал у удовлетворяет уравнению Пуассона') Ьу =,Р . Потенциал у полностью определяет поле .Е, поэтому описание поля .Е сводится к отысканию функции у — решения уравнения Пуассона. Зная потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу. а) Два заряда — о, +о находятся в точках (О, О, — д/2), (О, О, д/2) пространства Кз, наделенного декартовыми координатами (х, у, ~).
Покажите, что на большом по сравнению с величиной д удалении от этих зарядов потенциал создаваемого ими электростатического поля имеет вид — ЗУД+ О 3 где т — модуль радиус-вектора т точки (х, у, ~). Ь) Удаление от зарядов на большое расстояние равносильно сближению зарядов, т.е. уменьшению величины д. Если теперь величину дд =: р фиксировать и уменьшать д, то в пределе в области Кз ~ 0 получится функция у = 4 — р.
Удобно ввести вектор р, равный по величине р и направленный ~'о гз от — д к +о. Пару зарядов — о, +о и получаемую описанным предельным переходом конструкцию называют диполем, а вектор р — дипольным моментом. Полученная в пределе функция у называется потенциалом диполя. Найдите асимптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему угол 0 с направлением дипольного момента. с) Пусть уо — потенциал единичного точечного заряда, а у1 — потенциал диполя, имеющего дипольный момент р1.
Покажите, что у1 — — — (р1 ~7)уо. с1) Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для пары зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов (точнее, для двух диполей с дипольными моментами р1, р2) и получить квадруполь и соответствующий ему потенциал.
В общем случае можно получить мультиполь порядка 7' с потенциалом р = ( — 1)~(р~ ~7)(р~ 1 ~7)... (р1 . ~7)уо = ~ й,а,— — — кае — ГГ, где й,а, — так нааываеыые компоненты момен'Иа'Оу а. ' та мультиполя. Проведите выкладки и проверьте формулу для потенциала мультиполя в случае квадруполя. е) Покажите, что главный член асимптотики потенциала скопления зарядов при удалении от этого скопления равен 4 —; — — „, где ~ — суммарныи заряд ~~С.
Д. Пуассон (1781 — 1840) — французский механик, математик и физик; основные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного потенциала и притяжения сфероидами. 3 3. ПОТЕНЦИАЛЪНЫЕ ПОЛЯ 353 скопления. Г) Покажите, что главный член асимптотики потенциала электрически нейтрального тела, состоящего из зарядов противоположного знака (например, молекула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от него равен ~-~ — Р— ф-. Здесь е, — единичный вектор, направленный из тела на уреО т наблюдателя; р = ~,д;д;, где д; — величина з-го заряда, а д; — его радиус- вектор; начало координат выбрано в одной из точек тела.
8) Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от скопления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенциалов мультиполей. Покажите это на примере первых двух членов такого потенциала (см. с1), е) и Г)). 4. Проверьте, односвязны ли следующие области: а) круг((х,у) ЕК ~х +у <1); Ь) круг с выколотым центром ((х,у) Е К~ ~ 0 < х +у < 1); с) шар с выколотым центром ((х,у,~) Е К~ ~ 0 < х + у +~~ < 1); Й1 кольцо (1х у1 Е 11~ у < х Е- у < 1); е) шаРовоекольЦо ((х,У,х1Е 11~ у < х Е-У Е-х' < 1~; 1 Г) полноторие в К~.
5. а) Дайте определение гомотопии пути с закрепленными концами. Ь) Докажите, что область односвязна тогда и только тогда, когда любые два пути в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны в смысле определения а). 6. Покажите, что: а) любое непрерывное отображение ~: У -+ 52 окружности У (одномерной сферы) в двумерную сферу Я~ стягивается по Я~ в точку (в постоянное отображение); Ь) любое непрерывное отображение ~: Я~ -+ У тоже гомотопно отображению в одну точку; с) любое отображение ~: У -+ У гомотопно при некотором п е Ж отображению у у-'у пр, где у — полярный угол точки окружности; д) любое отображение сферы Я~ в полноторие гомотопно отображению в одну точку; е) любое отображение окружности Я в полноторие гомотопно при неко- 1 тором п е Ж замкнутому пути, пробегающему и раз окружность, охватывающую дырку полнотория.
7. В области Кз ~ 0 (пространство с выброшенной точкой 0) постройте: а) замкнутую, но не точную 2-форму; Ь) векторное поле без источников, которое не является ротором какого- либо векторного поля в этой области. 8. а) Могут ли в области Р = К" ~ 0 (пространство К" с выброшенной точкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени р < п — 1? 354 ГЛ. Х1Ч. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ Ь) Постройте в области Р = 2" ~ 0 замкнутую, но не точную форму степени р = п — 1. 9.
Если 1-форма ы замкнута в области Р С 2", то в силу утверждения 2 любая точка х Е Р имеет окрестность Г(х), в пределах которой форма ~ точна. Далее ~ — замкнутая форма. а) Покажите, что если два пути у,: [О, 1] -+ Р, г' = 1,2, имеют одинаковые начала и концы и отличаются лишь на промежутке [а„В] С [0,1], образ которого при каждом из отображений у, лежит в пределах одной и той же окрестности У(х), то / ~ = / м.
~1 72 Ь) Покажите, что для любого пути [0,1] Э 1 ~-~ у(1) е Р можно указать такое число б ) О, что если путь у имеет те же начало и конец, что и путь у, и уклоняется от у не больше чем на б, т. е. шах ~Я~) — у(~) ~ < б, то /'~ = / ~. о<с<~ с) Покажите, что если два пути ~~, .р с общими началом и концом гомотопны в области Р как пути с закрепленными концами, то для замкнутой в Р формы ы имеет место равенство / ю = / ы.
~г 10. а) Позднее будет доказано, что любое непрерывное отображение Г: 12 -+ Р квадрата 12 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать гладким отображением (даже с полиномиальными компонентами). Выведите отсюда, что если пути ~~, у2 в области Р гомотопны, то при любом к ) ) 0 можно найти такие гладко гомотопные между собой пути у~, у2, что шах ~у,(~) — у,(~)~ ( к, г = 1,2. о<ю<~ Ь) Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы по гладко гомотопным путям от замкнутой в области Р формы равны между собой, то они равны и для любых гомотопных в этой области путей (без предположения о гладкости этой гомотопии).
Сами пути, разумеется, предполагаются настолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования по ним. 11. а) Покажите, что если формы ьР, ьР ~, ьР ~ таковы, что ьР = Й~Р ~ = Й~Р ', то (по крайней мере локально) можно указать форму ~Р 2 такую, что ьР ~ = ьР + АР 2. (То, что любые две формы, отличающиеся на дифференциал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал, очевидно, вытекает из равенства Рю = 0.) Ь) Покажите, что потенциал <р электростатического поля (задача 3) определяется с точностью до аддитивной постоянной, которая фиксируется, если потребовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю. 12. Из системы уравнений Максвелла Я 1, (12)) получается следующая пара уравнений магнитостатики: ~7 Л = О, ~7х Л = — — ~-~-.
Первое из этих уран~о~ нений показывает,что, по крайней мере локально, поле Л имеет векторный потенциал А, т. е. Л = ~7 х А. а) Опишите произвол в выборе потенциала А магнитного поля Л (см. за- ~ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ 355 ~ 4. Примеры приложений Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также пояснить физический смысл формулы Гаусса — Остроградского — Стокса как Ц Г. Л. Ф. Гельмгольц (1821 — 1894) — немецкий физик и математик, один из первооткрывателей общего закона сохранения энергии. Кстати, именно он впервые четко разделил понятия силы и энергии. дачу 11 а)). Ь) Пусть х, у, г — декартовы координаты в Кз. Найдите потенциал А однородного магнитного поля Л,направленного вдоль оси Ог,при соблюдении каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А должно иметь вид (О, Ад, 0); поле А должно иметь вид (А, О, 0); поле А должно иметь вид (А~, Ад, 0); поле А должно быть инвариантно относительно поворотов вокруг оси Ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
